浙教版八年级上2.3等腰三角形的性质定理(二)同步集训含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2．3　等腰三角形的性质定理(二)‎ ‎1．(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝80°，则∠DAC＝40°；若BC＝‎6 cm，则CD＝‎3cm；‎ ‎(2)在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝‎2.5 cm，则BC＝‎5cm，∠ADB＝90°；‎ ‎(3)在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝50°，则∠BAC＝100°，∠ADC＝90°．‎ ‎2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝__3__．‎ ‎(第2题)‎ ‎　　　‎ ‎(第3题)‎ ‎3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，延长BA至点D.若∠CAE＝36°，则∠B＝54°，∠CAD＝108°．‎ ‎4. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，有下列结论：①AD⊥BC，②BD＝DC，③∠B＝∠C，④∠BAD＝∠CAD.其中正确的是①②③④(填序号)．‎ ‎5．等腰三角形的“三线合一”指的是(D)‎ A．中线、高线、角平分线互相重合 B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合 C．顶角的平分线、中线、高线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的高线、底边上的中线互相重合 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第6题)‎ ‎6．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是(C)‎ A．AC和BC，焊接点C B．AB和AC，焊接点A C．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A ‎(第7题)‎ ‎7．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明理由．‎ ‎【解】　猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD.理由如下：‎ ‎∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，‎ ‎∴△ABO≌△ACO(SSS)，‎ ‎∴∠BAO＝∠CAO.‎ ‎∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)．‎ ‎(第8题)‎ ‎8．如图，在△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，求∠PAQ的度数．‎ ‎【解】　∵PM垂直平分AB，‎ ‎∴PA＝PB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠PAB＝∠B.‎ 同理，∠QAC＝∠C.‎ ‎∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，‎ ‎∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°，‎ ‎∴∠PAB＋∠QAC＝70°.‎ ‎∵∠PAQ＝110°－(∠PAB＋∠QAC)，‎ ‎∴∠PAQ＝110°－70°＝40°.‎ ‎(第9题)‎ ‎9．如图，已知等腰△ABC的周长为‎16 cm，AD是顶角∠BAC的平分线，AB∶AD＝5∶4，且△ABD的周长为‎12 cm.求△ABC各边的长．‎ ‎【解】　设AB＝5x，则AD＝4x，AC＝5x，BC＝16－10x.‎ ‎∵AB＝AC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴BD＝DC＝BC＝8－5x，‎ ‎∴5x＋4x＋(8－5x)＝12，解得x＝1.‎ ‎∴AB＝5x＝5，AC＝5x＝5，BC＝16－10x＝6.‎ ‎(第10题)‎ ‎10．如图所示是一人字架设计图，已知AB＝AC，∠B＝22°.为使中柱AH垂直于横梁BC，工人师傅取了BC的中点H，按图计算出AH的长．装上后，那么AH⊥BC，你觉得这样的设计是否达到要求？理由是什么？如果要计算出∠BAH和∠CAH的度数，你会算吗？‎ ‎【解】　这样的设计符合要求．理由如下：‎ ‎∵AB＝AC，H是BC的中点，‎ ‎∴AH⊥BC(等腰三角形三线合一)．‎ 故这样的设计符合要求．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C＝22°，‎ ‎∴∠BAC＝180°－22°－22°＝136°.‎ ‎∵AB＝AC，H是BC的中点，‎ ‎∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝68°.‎ ‎(第11题)‎ ‎11．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．‎ ‎【解】　EF⊥BC.理由如下：‎ 过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G.‎ ‎∵AB＝AC，AD⊥BC，‎ ‎∴2∠CAD＝∠BAC(等腰三角形三线合一)．‎ 又∵∠BAC是△AEF的外角，‎ ‎∴∠BAC＝∠E＋∠AFE.‎ ‎∵∠E＝∠AFE，‎ ‎∴∠BAC＝2∠E.‎ ‎∴∠CAD＝∠E，‎ ‎∴AD∥EF，‎ ‎∴∠EGC＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴EF⊥BC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第12题)‎ ‎12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC的补角∠EAC，AF是BC边上的中线．求证：AD⊥AF.‎ ‎【解】　∵AB＝AC，AF是BC边上的中线，‎ ‎∴∠FAC＝∠BAC.‎ ‎∵AD平分∠CAE，‎ ‎∴∠CAD＝∠CAE.‎ 又∵∠BAC＋∠CAE＝180°，‎ ‎∴∠FAC＋∠CAD＝(∠BAC＋∠CAE)＝90°，‎ 即∠DAF＝90°，‎ ‎∴AD⊥AF.‎ ‎(第13题)‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边做等边△ABE和△ACD，连结ED交AB于点F.求证：‎ ‎(1)BC＝AB；‎ ‎(2)EF＝FD.‎ ‎【解】　(1)过点E作EG⊥AB于点G.‎ ‎∵△ABE为等边三角形，‎ ‎∴BG＝AB，∠BEG＝∠AEB＝30°，BA＝BE.‎ ‎∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠BGE＝∠BCA＝90°，∠BAC＝∠BEG.‎ 在△ACB和△EGB中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵ ‎∴△ACB≌△EGB(AAS)，‎ ‎∴BC＝BG.‎ ‎∴BC＝AB.‎ ‎(2)∵△ACB≌△EGB，‎ ‎∴AC＝EG.‎ ‎∵△ACD为等边三角形，‎ ‎∴∠CAD＝60°，AC＝AD，‎ ‎∴EG＝DA.‎ ‎∵∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠DAF＝∠CAD＋∠BAC＝90°.‎ ‎∴∠EGF＝∠DAF.‎ 在△EGF和△DAF中，‎ ‎∵ ‎∴△EGF≌△DAF(AAS)，‎ ‎∴EF＝FD.‎ ‎14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA的延长线上一，E是AC的中点．‎ ‎(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．‎ ‎①作∠DAC的平分线AM；‎ ‎②连接BE并延长交AM于点F.‎ ‎(2)猜想与证明：试猜想AF与BC的位置关系和数量关系，并说明理由．‎ ‎(第14题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解】　(1)作图如图所示．‎ ‎(2)AF∥BC，且AF＝BC.理由如下：‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠C，‎ ‎∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C.‎ 由作图可得∠DAC＝2∠FAC.‎ ‎∴∠C＝∠FAC，‎ ‎∴AF∥BC.‎ ‎∵E为AC的中点，‎ ‎∴AE＝CE.‎ 在△AEF和△CEB中，‎ ‎∵ ‎∴△AEF≌△CEB(ASA)，‎ ‎∴AF＝BC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费