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2．7 探索勾股定理(二)
1．在△ABC中，BC＝4，AB＝9，AC＝7，则∠C＝90°．
2. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm，其周长为24 cm，则此三角形的面积是24cm2.
3．若三角形的三边长分别为n＋1，n＋2，n＋3，当n＝2时，这个三角形是直角三角形．
4．有六根木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12(单位：cm)，从中取出三根首尾顺次相接，能搭成一个直角三角形的是(C)
A．2，4，8 B．4，8，10
C．6，8，10 D．8，10，12
5．已知一个三角形的三边长分别为1，，，则此三角形的最大内角是(B)
A. 锐角 B. 直角
C. 钝角 D. 不能确定
6．以△ABC的三边长为直径的半圆的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＝S3，则△ABC的形状为(B)
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 无法确定
7．一个三角形的两条边长分别为1和2，若要使这个三角形成为直角三角形，则下列说法正确的是(D)
A．第三边长为3 B．第三边的平方为3
C．第三边的平方为5 D．第三边的平方为3或5
(第8题)
8．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是(C)
A. 6
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B. 7
C. 8
D. 9
9．已知|a－3|＋(b－)2与c2－8c＋16互为相反数，问：以a，b，c为边的三角形是什么三角形？
【解】 根据题意，得
|a－3|＋(b－)2＋c2－8c＋16＝0，
即|a－3|＋(b－)2＋(c－4)2＝0.
∵|a－3|≥0，(b－)2≥0，(c－4)2≥0，
∴a－3＝0，b－＝0，c－4＝0，
∴a＝3，b＝，c＝4.
∵a2＋b2＝9＋7＝16＝c2，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
10．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．
(第10题)
【解】 BE⊥EF.理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，
由题意，得AB＝4a，AE＝2a，DE＝2a，DF＝a，CF＝3a，BC＝4a.
在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝20a2.
在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝5a2.
在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝25a2.
∴BE2＋EF2＝BF2，∴△BEF为直角三角形，∠BEF＝90°，即BE⊥EF.
11．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11
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时，△ABC为钝角三角形．
(2)猜想，当a2＋b2__>__c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2__＜__c2时，△ABC为钝角三角形．
(第12题)
12．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝150°．
【解】 将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DBA，
则DB＝PB＝8，DA＝PC＝10，∠DBP＝∠ABC＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠DPB＝60°，
PD＝PB＝8，
∴PA2＋PD2＝62＋82＝102＝DA2，
∴△ADP是直角三角形，∴∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD＋∠DPB＝150°.
13．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为__13__cm.
【解】 将长方体的侧面沿PQ剪开，如解图．
(第13题解)
显然PQ′的长即为蚂蚁爬行的最短路径．
在Rt△PP′Q′中，
PP′＝2＋4＋2＋4＝12(cm)，P′Q′＝5 cm，
∴PQ′＝＝＝13(cm)．
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(第13题) (第14题)
14．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2.求BD的长．
(第14题)
【解】 过点A分别作AE⊥BC，AF⊥BD，垂足分别为E，F.由于△ABC和△ABD均为等腰三角形，由三线合一可知E是BC的中点，F是BD的中点．
在△ABE中，AB＝2，BE＝BC＝，∠AEB＝Rt∠，
∴AE＝＝ .
在△ABD中，∵AB＝AD，∴可设∠ADB＝∠ABD＝α.
∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠DBA＝α.
∴∠CDA＝∠CDB＋∠ADB＝α＋α＝2α.
∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝2α.
∵DC∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝2α.
由三线合一可知AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝∠CAB＝α＝∠FBA.
又∵∠AFB＝∠BEA＝Rt∠，AB＝BA，
∴△AFB≌△BEA(AAS)，
∴BF＝AE＝ .
∴BD＝2BF＝.
(第15题)
15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝.求∠CPA
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的度数．
【解】 将△APB绕点A逆时针旋转90°到△AQC位置，则易得△APQ为等腰Rt△，且有△AQC≌△APB，
∴QA＝PA＝1，QC＝PB＝3.
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ2＝PA2＋AQ2＝2，∠APQ＝45°.
在△CPQ中，PC2＋PQ2＝7＋2＝9＝CQ2，
∴∠QPC＝90°，
∴∠CPA＝∠QPC＋∠APQ＝135°.
(第16题)
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．
(1)求证：AP2＋PB·PC＝16；
(2)若BC边上有100个不同的点(不与B，C重合)P1，P2，…，P100，设mi＝AP＋PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．
【解】 (1)过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2.
∵AP2－PD2＝AD2，
∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16.
(2)由(1)知mi＝AP＋PiB·PiC＝16，
∴m1＝m2＝…＝m100＝16，
∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600.
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