2017年初三学生能力素养竞赛数学试题及答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年初三学生能力素养竞赛 数学试题及答案 ‎ ‎ 时量：90分钟 满分：100分 ‎ 注意事项：1.答题前请在密封线内指定区域填写相关信息；‎ ‎ 2.本卷共三大题，16小题，共8页，切勿漏题漏页；‎ ‎ 3.答题时请在指定区域内作答. ‎ 题号 一 二 三 总分 合分人 复查人 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 得分 一. 选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在括号内）‎ ‎1．下列计算中正确的是 （ D ）‎ ‎ A． B. ‎ ‎ C. 　 D. 　‎ ‎2. 如果是随机投掷一枚骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则关于的一元二次方程有两个不等实数根的概率P＝ ( A )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，则的面积S△ABO为 （ B　 ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎ ‎ ‎ 第3题图 第4题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. 如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ( C )‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P,Q出发t秒时， △BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AB＝6cm；②直线NH的解析式为；③△QBP可能与△ABE相似；④当t＝13秒时，∠PBQ＝30°.其中正确的结论个数是 （ B ）‎ A．1 B.2 C.3 D.4‎ 第5题图 ‎ ‎ ‎ ‎ 二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎6．是的整数部分，是的小数部分，则＝ 3 .‎ ‎7. 从 这六个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么这6个数中所有满足条件的的值之和是 -2 .‎ ‎8. 如图，正方形ABCD边长为2，以AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则 1 .‎ ‎9. 如图（1）所示，用形状相似、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的矩形ABCD，若AE＝2，CE＝4BE，那么这个矩形的面积是 8 .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎ 第8题图 第9题图 ‎10. 定义符号的含义为：当≥时；当＜时，‎ ‎．如：，．则 的最小值是______________. ‎ 三. 解答题（共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎11.（满分8分）对定义一种新运算T，规定：‎ ‎（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 解：⑴根据题意，易得： ---------------------------------2分 ‎ 解得： ---------------------------------------------------4分 ‎ ‎（2）化简原式--------6分 根据,可求得，代入原式.-------------------------8分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12.（满分8分）关于的方程.‎ ‎（1）若这个方程有两个不等实根，且一个根为2，求k的值；‎ ‎（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．‎ 解: （1）由题意得△＝＞0　‎ 化简得 ＞0，解得k＜5．---------------------------------------2分 又 解得： ‎ ‎ --------------------------------------------------------4分 ‎（2）设方程的两个根为，，‎ 根据题意得，--------------------------------------5分 ‎-------6分 解得：‎ 由（1）知，符合条件。-------------------------------------------8分 ‎16‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13. （满分10分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示．(注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天)‎ ‎（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；‎ ‎（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？‎ 图（2）‎ 图（1）‎ 解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为 ‎ -----------------------------4分 ‎（2）设t时刻的纯收益为y，则由题意得 y＝P－Q，即 ----------------6分 当0≤t≤200时，配方整理得y＝－(t－50)2＋100，‎ 所以，当t＝50时，y取得区间[0，200]上的最大值100；------------------8分 当200＜t≤300时，配方整理得y＝－(t－350)2＋100，‎ 所以，当t＝300时，y取得区间（200，300]上的最大值87.5．---------------9分 综上，由100＞87.5可知，y在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 ---------------------10分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．（满分10分）已知抛物线 与轴交于两点，与y轴正半轴交于点C（0，b），O为原点,且.‎ ‎（1）求抛物线的解析式及A、B、C点的坐标；.‎ ‎（2）点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，连结PQ与BC交于M，设AP＝k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由. ‎ 解：（1）抛物线图象如图所示，依题意： ----1分 ‎ 即，而，--------------------------2分 所以有，解得（舍去） ---------3分 从而为所求的抛物线解析式； ‎ 令得A（-8，0）、B（-4，0）、C（0，4）----5分 ‎ ‎（2） 与相似有两种情况：‎ 当PQ∥AC，AP＝OQ＝k，由，‎ 得，解得 --------------------7分 ‎ ‚当PQ与AC不平行，设有∠ACB＝∠MPB，‎ 过B作AC的垂线，垂足为D，‎ 利用,求得BD＝，由Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ，则有，即，化简得,解得或，但由CQ＝4-k，知0＜k＜4，所以只有k＝2 -----------9分 综上‚所求的k值是或k＝2. ------------------------10分 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15. （满分12分）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．‎ ‎ （1）求证：PC＝PQ；‎ ‎ （2）若,求的长；‎ ‎ （3）求证：．‎ 解：（1）证明：∵C是的中点，∴，‎ ‎∴∠CAD＝∠ABC ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。‎ ‎∴∠CAD＋∠AQC＝90°‎ 又CE⊥AB，∴∠ABC＋∠PCQ＝90°‎ ‎∴∠AQC＝∠PCQ ‎∴在△PCQ中，PC＝PQ ----------------------------------------4分 ‎（2）解：∵CE⊥直径AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC＝，CF＝8，‎ 得.∴由勾股定理，得 ‎∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC＝，‎ 得.易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴‎ ‎∴。----------------------------------------8分 ‎（3）证明：由∽得：‎ ‎,‎ 又,∽,‎ ‎---------------------------------------------12分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．（满分12分）若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2，…… ，规则是：第1个数是1，其后写1个2，第3个数是1，其后写2个2，……，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k＋1个1之间插入k个2（k＝1，2，3,……）.‎ 试问：（1）第2017个数是1还是2？‎ ‎（2）前2017个数的和是多少？前2017个数的平方和是多少？‎ ‎（3）前2017个数两两乘积的和是多少？‎ 解：（1）把该列数如下分组：‎ ‎1 第1组 ‎ 2 1 第2组 ‎ 2 2 1 第3组 ‎ 2 2 2 1 第4组 ‎ 2 2 2 2 1 第5组 ‎ -------‎ ‎2 2 2 2 2 1 第n组 (有n-1个2)‎ 易得，第2017个数为第64组的第1个数，是2；---------3分 （直接猜对2，得2分） ‎ ‎（2）前2017个数的和为，---------------------------5分 前2017个数的平方和是 -----------------------7分 ‎ ‎（3）记这2017个数为 ‎--------------------------------------12分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费