浙教版八年级下2.2一元二次方程的解法同步练习含答案解析.docx

浙教版八年级下册第2章 2.2一元二次方程的解法 同步练习 一、单选题（共15题；共30分）‎ ‎1、已知关于x的二次方程x2+2x+k=0，要使该方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） ‎ A、0 B、1 C、2 D、3‎ ‎2、若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2 ， 则x1（x2+x1）+的最小值为（　　） ‎ A、1 B、2 C、 D、‎ ‎3、已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（  ） ‎ A、（x﹣p）2=5 B、（x﹣p）2=9 C、（x﹣p+2）2=9 D、（x﹣p+2）2=5‎ ‎4、若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（  ） ‎ A、2005 B、2003 C、﹣2005 D、4010‎ ‎5、把方程 x2﹣x﹣5=0，化成（x+m）2=n的形式得（   ） ‎ A、（x﹣ ）2= B、（x﹣ ）2= C、（x﹣ ）2= D、（x﹣ ）2= ‎ ‎6、用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（   ） ‎ A、（x+4）2=9 B、（x﹣4）2=9 ‎ C、（x﹣8）2=16 D、（x+8）2=57‎ ‎7、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（   ） ‎ A、x2+3x+4=0 B、x2+4x﹣3=0 C、x2﹣4x+3=0 D、x2+3x﹣4=0‎ ‎8、若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（   ） ‎ A、10 B、9 C、8 D、7‎ ‎9、已知关于x的方程 x2﹣（m﹣3）x+m2=0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是（   ） ‎ A、2 B、1 C、0 D、﹣1‎ ‎10、把方程x2﹣4x﹣7=0化成（x﹣m）2=n的形式，则m、n的值是（   ） ‎ A、2，7 B、﹣2，11 C、﹣2，7 D、2，11‎ ‎11、方程x（x+1）=5（x+1）的根是（   ） ‎ A、﹣1 B、5 C、1或5 D、﹣1或5‎ ‎12、用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（   ） ‎ A、（x﹣4）2=9 B、（x+4）2=9 C、（x﹣8）2=16 D、（x+8）2=57‎ ‎13、若关于y的一元二次方程ky2﹣2y﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） ‎ A、k＞﹣1 B、k＞﹣1且k≠0 C、k＜1 D、k＜1 且k≠0‎ ‎14、用配方法解一元二次方程x2﹣6x=8时，此方程可变形为（   ） ‎ A、（x﹣3）2=17 B、（x﹣3）2=1 C、（x+3）2=17 D、（x+3）2=1‎ ‎15、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（   ） ‎ A、x2+3x+4=0 B、x2+4x﹣3=0 C、x2﹣4x+3=0 D、x2+3x﹣4=0‎ 二、填空题（共5题；共5分）‎ ‎16、三角形的两边长为2和4，第三边长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长是________． ‎ ‎17、已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________ ‎ ‎18、写出二次项系数为5，以x1=1，x2=2为根的一元二次方程________ ‎ ‎19、若方程kx2﹣9x+8=0的一个根为1，则另一个根为________ ‎ ‎20、若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：________． ‎ 三、解答题（共3题；共15分）‎ ‎21、用反证法证明：若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数． ‎ ‎22、若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m+4=0的两个根，求m的值． ‎ ‎23、比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴而行，到相距16米的银树下参加探讨环境保护的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后，提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度． ‎ 四、综合题（共2题；共25分）‎ ‎24、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5． ‎ ‎(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ‎ ‎(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长． ‎ ‎25、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题： ‎ ‎(1)若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根． ‎ ‎(2)已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值； ‎ ‎(3)已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1、【答案】A 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：∵关于x的二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴4﹣4k＞0，即k＜1， 故选：A． 【分析】根据二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根得到△=4﹣4k＞0，求出k的取值范围即可． ‎ ‎2、【答案】D 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤ x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2， x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2 =4m2﹣（m2+3m﹣2） =3m2﹣3m+2 =3（m﹣）2+， 所以m=时，x1（x2+x1）+有最小值，最小值为． 故选D． 【分析】根据判别式的意义得到m≤， 再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+=（x2+x1）2﹣x1x2=3m2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m﹣）2+， 然后利用非负数的性质可判断x1（x2+x1）+的最小值为． ‎ ‎3、【答案】B 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：∵x2﹣6x+q=0 ∴x2﹣6x=﹣q ∴x2﹣6x+9=﹣q+9 ∴（x﹣3）2=9﹣q 据题意得p=3，9﹣q=7 ∴p=3，q=2 ∴x2﹣6x+q=2是x2﹣6x+2=2 ∴x2﹣6x=0 ‎ ‎∴x2﹣6x+9=9 ∴（x﹣3）2=9 即（x﹣p）2=9 故选：B． 【分析】已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，把x2﹣6x+q=0配方即可得到一个关于q的方程，求得q的值，再利用配方法即可确定x2﹣6x+q=2配方后的形式． ‎ ‎4、【答案】B 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系 【解析】【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2． α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：α2+2α=2005． 所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003． 故选B． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1 ， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解． ‎ ‎5、【答案】D 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：方程 x2﹣x﹣5=0，整理得：x2﹣3x=15， 配方得：x2﹣3x+ = ，即（x﹣ ）2= ， 故选D 【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断． ‎ ‎6、【答案】A 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：∵x2+8x+7=0， ∴x2+8x=﹣7， ⇒x2+8x+16=﹣7+16， ∴（x+4）2=9． ∴故选A． 【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． ‎ ‎7、【答案】C 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1， 则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3 ∴p=﹣4，q=3， ∴原方程为x2﹣4x+3=0． 故选C． 【分析】由根与系数的关系求得p，q的值． ‎ ‎8、【答案】C 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得α+β=2，αβ=﹣2， 所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣2）=8． 故选C． 【分析】根据根与系数的关系得到α+β=2，αβ=﹣2，再利用完全平方公式变形得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算． ‎ ‎9、【答案】B 【考点】根的判别式，一元一次不等式组的整数解 【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣3）]2﹣4× m2=9﹣6m＞0， 解得：m＜ ， ∴m的最大整数值是1． 故选B． 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围后，再取最大整数． ‎ ‎10、【答案】D 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣4x=7， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2﹣4x+（﹣2）2=7+（﹣2）2 配方，得 ∴（x﹣2）2=11， ∴m=2，n=11， 故选D． 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤方程x2﹣4x﹣7=0化成（x﹣m）2=n的形式，即可确定m，n的值． ‎ ‎11、【答案】D 【考点】因式分解-提公因式法，解一元二次方程-因式分解法 【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣5）=0 x+1=0或x﹣5=0 ∴x1=﹣1，x2=5． 故选D． 【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的两个根． ‎ ‎12、【答案】B 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：方程x2+8x+7=0， 变形得：x2+8x=﹣7， 配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9， ‎ 故选B 【分析】方程常数项移到右边，两边加上16，配方得到结果，即可做出判断． ‎ ‎13、【答案】B 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解： ∵一元二次方程ky2﹣2y﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0， 即（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1， 又ky2﹣2y﹣1=0是关于y的一元二次方程， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0， 故选B． 【分析】利用一元二次方程根的判别式可得到关于k的不等式，求解即可． ‎ ‎14、【答案】A 【考点】解一元二次方程-配方法 【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程x2﹣6x=8时，此方程可以变形为（x﹣3）2=17． 故选A． 【分析】利用完全平方公式的结构特征将方程变形即可． ‎ ‎15、【答案】C 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：方程两根分别为x1=3，x2=1， 则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3 ∴p=﹣4，q=3， ∴原方程为x2﹣4x+3=0． 故选C． 【分析】由根与系数的关系求得p，q的值． ‎ 二、填空题 ‎16、【答案】10 【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系 【解析】【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得第三边的边长为2或4． ∵2＜第三边的边长＜6， ∴第三边的边长为4， ∴这个三角形的周长是2+4+4=10． 故答案为10． 【分析】先解方程求得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． ‎ ‎17、【答案】k＞﹣1且k≠0 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即22﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1， ∴实数k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故答案为k＞﹣1且k≠0． ‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围． ‎ ‎18、【答案】5x2﹣15x+10=0 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：∵1+2=3，1×2=2， ∴以x1=1，x2=2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2=0， 当二次项系数为5，方程为5x2﹣15x+10=0． 故答案为5x2﹣15x+10=0． 【分析】先计算出1+2和1×2，则根据根与系数的关系写出二次项系数为1的一元二方程，然后把两方程两边乘以5即可得到满足条件的方程． ‎ ‎19、【答案】8 【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系 【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1 ， 把x=1代入方程得k﹣9+8=0，解得k=1， 方程化为x2﹣9x+8=0， ∵1+x1=9， ∴x1=8． 故答案为8． 【分析】设方程的另一根为x1 ， 根据一元二次方程的根的解的定义把x=1代入方程得k﹣9+8=0，可解得k=1，则方程化为x2﹣9x+8=0，然后根据根与系数的关系得到1+x1=9，再解一次方程即可． ‎ ‎20、【答案】＜m≤1 【考点】解一元二次方程-因式分解法，根与系数的关系，三角形三边关系 【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0， ∴x﹣1=0或x2﹣2x+m=0， ∴原方程的一个根为1， 设x2﹣2x+m=0的两根为a、b， 则△=4﹣4m≥0，a+b=2，ab=m， 又∴|a﹣b|= = ＜1， ∴4﹣4m＜1， 解得m＞ ， ∴ ＜m≤1． 故答案为： ＜m≤1． 【分析】先根据因式分解法得到x﹣1=0或x2﹣2x+m=0，设x2﹣2x+m=0的两根为a、b，根据判别式和根与系数的关系得到△=4﹣4m≥0，a+b=2，ab=m＞0，解得0＜m≤1． ‎ 三、解答题 ‎21、【答案】证明：假设若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，且两根互为倒数， 设两根为x1 ， x2 ， 由题意可得：x1•x2==1， ‎ 解得：k=15， 故8x2﹣（15﹣1）x+18﹣7=0 即4x2﹣7x+4=0 则b2﹣4ac=49﹣64=﹣15＜0， 此方程无实数根，故假设不成立，原命题正确， 即若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数． 【考点】根的判别式，反证法 【解析】【分析】首先假设若二次方程8x2﹣（k﹣1）x+k﹣7=0有两个不等实数根，且两根互为倒数，进而利用根与系数的关系得出k的值，再利用根的判别式得出矛盾，问题得证． ‎ ‎22、【答案】解：当底为6时，另两边为腰，即方程x2﹣（m+2）x+2m+4=0有两个相等的实数根， ∴△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m+4）=0， 解得：m=6或m=﹣2， 当m=﹣2时，方程x2﹣（m+2）x+2m+4=0的两个根为0，不符合题意， 当m=6时，原方程为x2﹣8x+16=（x﹣4）2=0， 此时方程的两个根为4， ∵4，4，6能为三角形的三条边， ∴m=6成立； 当腰为6时，将x=6代入x2﹣（m+2）x+2m+4=0中， 得：36﹣6（m+2）+2（m+2）=0， 解得：m=7， 当m=7时，原方程为x2﹣9x+18=（x﹣3）（x﹣6）=0， 解得：x=3，或x=6， ∵3，6，6能为三角形的三条边， ∴m=7成立． 综上可知：m的值为6或7 【考点】一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形的性质 【解析】【分析】分底为6和腰为6两种情况考虑：底为6时，则方程有两个相等的实数根，利用根的判别式△=0即可求出m的值；腰为6时，将x=6代入原方程求出m的值．综上即可得出结论． ‎ ‎23、【答案】解：设蜗牛神的速度是每小时x米，蚂蚁王的速度是每小时4x米． 由题意得： = +2． 解得：x=6 经检验：x=6是原方程的解． ∴4x=24． 答：蜗牛神的速度是每小时6米，蚂蚁王的速度是每小时24米 【考点】解一元二次方程-因式分解法，分式方程的应用 【解析】【分析】本题用到的关系式是：路程=速度×时间．可根据蜗牛神走16米的时间=蚂蚁王走16米的时间+2小时，来列方程求解． ‎ 四、综合题 ‎24、【答案】（1）解：根据题意得 [x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]=0， 解得，x1=k+1，x2=k+2， 若△ABC是直角三角形，且BC是斜边， 那么有（k+1）2+（k+2）2=52 ， 解得k1=2，k2=﹣5（不合题意舍去）， ∴k=2 （2）解：①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0 4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0， 不可能是等腰三角形． ②如果AB=5，或者AC=5 x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0 k2﹣7k+12=0 （k﹣4）（k﹣3）=0 k=4或者k=3（都符合题意） k=4时： x2﹣11x+30=0 （x﹣5）（x﹣6）=0，∴AB=5，AC=6，周长L=5+5+6=16， k=3时： x2﹣9x+20=0 （x﹣4）（x﹣5）=0，∴AB=4，AC=5，周长L=4+5+5=14 【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理 【解析】【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）2+（k+2）2=52 ， 易求k，结合实际意义可求k的值；（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x1=BC或x2=BC，易求k=4或3，再分两种情况求周长． ‎ ‎25、【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0， 解得：x1=3，x2=1 （2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0， ∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解， 当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5， + = = = =﹣47； 当a=b时，原式=2 （3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1 ， x2 ， 则 + = =﹣ ， • = = ， 则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数 【考点】根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a ‎﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1 ， x2 ， 得出 + =﹣ ， • = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案． ‎