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第五节 数系的扩充与复数的引入
【最新考纲】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义.2.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的数叫复数，其中ɑ，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则ɑ＋bi为实数，若b≠0，则ɑ＋bi为虚数，若ɑ＝0且b≠0，则ɑ＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：ɑ＋bi＝c＋di⇔ɑ＝c，b＝d(ɑ，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：ɑ＋bi与c＋di共轭⇔ɑ＝c，b＝－d(ɑ，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝ɑ＋bi的模，即|z|＝|ɑ＋bi|＝．
2．复数的几何意义
复数z＝ɑ＋biＦ―→一一对应复平面内的点Z(ɑ，b)Ｆ―→一一对应平面向量＝(ɑ，b)．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝ɑ＋bi，z2＝c＋di，ɑ，b，c，d∈R
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z1±z2＝(ɑ＋bi)±(c＋di)＝(ɑ±c)＋(b±d)i．
z1·z2＝(ɑ＋bi)(c＋di)＝(ɑc－bd)＋(bc＋ɑd)i．
＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如右图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝1＋i的虚部为i.( )
(2)若z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，当ɑ＝0时，z是纯虚数．( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原
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点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2016·课标全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：利用两复数相等的充要条件：实部与实部、虚部与虚部分别相等，求出x，y，再利用复数模的定义求解．
∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
答案：B
3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(－2，1)，所以该点位于复平面的第二象限．
答案：B
4．(2017·广州一模)复数(1＋i)2＋的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：本题主要考查复数的四则运算．复数(1＋i)2＋＝1＋2i＋i2＋＝2i＋1－i＝1＋i，所以复数(1＋i)2＋的共轭复数是1－i.
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答案：B
5．(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________．
解析：因为i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1.
答案：－1
一个关键
复数分类的关键是抓住z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当ɑ＝0，且b≠0时，z为纯虚数．
一个实质
复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
一种方法
化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，
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复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．
两点注意
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．利用复数相等ɑ＋bi＝c＋di列方程时，注意ɑ，b，c，d∈R的前提条件．
一、选择题
1．(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i C．1 D．－1
解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
答案：A
2．(2015·山东卷)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
解析：由已知得z＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i.
答案：A
3．(2015·福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B
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＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A．{－1} B．{1} C．{1，－1} D．∅
解析：∵A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}，B＝{1，－1}，
∴A∩B＝{－1，1}．
答案：C
4．(2016·郑州一检)设i是虚数单位，若复数m＋(m∈R)是纯虚数，则m的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：由m＋＝m＋3－i为纯虚数，则m＋3＝0，所以m＝－3.
答案：A
5．在复平面内，复数z和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
解析：由＝－＋i该复数对应的点为，其关于虚轴的对称点为，
故复数z＝＋i.
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答案：A
6．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：设z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，则z2＝ɑ2－b2＋2ɑbi，
由z2≥0，得则b＝0，或ɑ，b都为0，即z为实数，故选项A为真．
同理选项B为真；选项C为假，选项D为真．
答案：C
二、填空题
7．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是________．
解析：由于iz＝2＋4i，
所以z＝＝4－2i，
故z对应点的坐标为(4，－2)．
答案：(4，－2)
8．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2＝________．
解析：∵z＝1＋i，∴z＝1－i，
则z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
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答案：0
9．(2015·重庆卷)设复数ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的模为，则(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝________．
解：∵|ɑ＋bi|＝＝，∴(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝ɑ2＋b2＝3.
答案：3
三、解答题
10．在复平面内，复数5＋4i，－1＋2i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，求点C对应复数的模．
解：由题意知点A(5，4)，B(－1，2)，所以点C的坐标为(2，3)，所以点C对应的复数为z＝2＋3i，它的模为＝.
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝＋2＝＋2＝2－i，
设z2＝ɑ＋2i(ɑ∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(ɑ＋2i)＝(2ɑ＋2)＋(4－ɑ)i，
又z1·z2是实数，∴ɑ＝4，从而z2＝4＋2i.
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三角函数与平面向量的高考热点题型
三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专题的热点题型有：一是三角恒等变换的综合应用；二是三角函数与解三角形的综合问题；三是三角函数与平面向量的综合应用，中档难度。在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形使用公式，充分发挥平面向量的工具作用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就为利用数形结合思想创造了条件.
热点1 三角恒等变换的综合应用
要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．
(2016·潍坊质检)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
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解：f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，
g(x)＝2sin2＝1－cos x，
(1)由f(α)＝得sin α＝.
又α是第一象限角，所以cos α＞0.
从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，
则sin x＋cos x≥1，于是sin≥，
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为
{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
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1．将f(x)化简为sin x，将g(x)化简为1－cos x，从而沟通了g(α)与f(α)之间的关系．
2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
3．把形如y＝ɑsin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
【变式训练】 (2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有f(x)＝－
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间
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上是增函数，
且f＝－，f＝－，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
热点2 三角函数与解三角形的综合问题
从近几年课标全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是ɑ，b，c.已知bsin A＝3csin B，ɑ＝3，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin的值．
解：(1)由＝，可得bsin A＝ɑsin B.
又由bsin A＝3csin B，可得ɑ＝3c.
由于ɑ＝3，则c＝1.
依据余弦定理，且cos B＝，
∴b2＝ɑ2＋c2－2ɑc·cos B＝32＋12－6×＝6.
于是b＝.
(2)由cos B＝，0＜B＜π，得sin B＝，
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cos 2B＝2cos2B－1＝－，
sin 2B＝2sin Bcos B＝，
所以sin＝sin 2Bcos－cos 2Bsin＝.
1．以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．
【变式训练】 在△ABC中，ɑ，b分别是锐角A，B的对边，向量m＝(b，sin B)，n＝，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若B＝，BC边上的中线AM＝，求△ABC的面积．
解：(1)由m∥n，得bcos－ɑsin B＝0.
由正弦定理，得sin B＝sin Asin B，
由于sin B≠0，且A为锐角，
∴sin A＝，所以A＝.
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(2)由(1)知A＝B＝，
∴AC＝b＝ɑ，且C＝π.
又AM是△ABC中BC边上的中线，
∴MC＝BC＝ɑ.
在△AMC中，AM＝，由余弦定理得
AM2＝AC2＋MC2－2AC·MC·cos C，
∴7＝ɑ2＋－2ɑ··cosπ，
解得ɑ＝2.
从而ɑ＝b＝2.
故S△ABC＝ɑ·b·sin C＝×2×2·sinπ＝.
热点3 三角函数与平面向量的综合应用(满分现场)
平面向量与三角函数交汇命题是近几年高考试题的一大亮点，主要涉及三种情形：(1)以向量为载体，考查三角变换与求值；(2)向量与解三角形交汇求边与角；(3)以三角函数表示向量的坐标，研究向量运算及函数的有关性质．
(经典母题)(本小题满分12分)(2014·山东卷)已知向量ɑ＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝ɑ·b，且y＝f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
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(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
规范解答：(1)由题意知f(x)＝ɑ·b＝msin 2x＋ncos 2x.1分
因为y＝f(x)的图象过点和，
所以即4分
解得5分
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.7分
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得sin＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝，
因为g(x)＝2sin＝2cos 2x.10分
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
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所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.12分
【满分规则】 (1)本题的易失分点是：
①记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差，求错m，n的值．
②弄错图象平移变换的方向与长度．
③信息提取能力差，不能根据条件准确求出φ值．
(2)满分规则：
①熟记数量积坐标运算公式与三角变换公式，平时加强基本训练，提高方程求解能力．
②函数图象变换的关键是看x轴上是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω(x＋)确定平移长度，二者均是针对自变量x而言的．
③善于捕捉条件信息，准确进行文字语言与符号语言的转化．
【构建模板】 第一步：利用数量积与三角变换求f(x)；
第二步：构建关于m，n的方程组，求m，n的值；
第三步：利用图象的平移变换确定出函数g(x)；
第四步：根据最值条件求φ值；
第五步：利用三角函数的性质求出函数g(x)的递增区间．
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三角函数与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决．
【变式训练】 已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是ɑ，b，c，且满足(2ɑ－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解：(1)m·n＝sin·cos＋cos2
＝sin＋
＝sin＋，
∵m·n＝1，∴sin＝.
∵cos＝1－2sin2＝，
∴cos＝－cos＝－.
(2)∵(2ɑ－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.
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∴cos B＝，
由0＜B＜π，知B＝.
因此0＜A＜，＜＋＜.
所以＜sin＜1.
又∵f(x)＝sin＋.
∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
1．已知函数f(x)＝ɑsin x＋bcos的图象经过点，.
(1)求实数ɑ，b的值；
(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间．
解：(1)∵函数f(x)＝ɑsin x＋bcos的图象经过点，
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，
∴×ɑ＋b＝，且－ɑ－b＝0.
解得：ɑ＝1，b＝－1.
(2)由(1)知：f(2x)＝sin 2x－cos＝sin 2x－cos 2x＝sin，
函数f(2x)的周期T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数的增区间为，k∈Z.
2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋ɑcos(x＋2θ)，其中ɑ∈R，θ∈.
(1)当ɑ＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求ɑ，θ的值．
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解：(1)f(x)＝sin＋cos＝(sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin.
因为x∈[0，π]，所以－x∈.
故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
由θ∈，知cos θ≠0，解得.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，且ɑ＞c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)ɑ和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解：(1)由·＝2，得c·ɑcos B＝2.
又cos B＝，所以ɑc＝6.
由余弦定理，得ɑ2＋c2＝b2＋2ɑccos B.
又b＝3，所以ɑ2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得ɑ＝2，c＝3或ɑ＝3，c＝2.
因为ɑ＞c，所以ɑ＝3，c＝2.
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(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.
因为ɑ＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
4．(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c.若f＝0，ɑ＝1，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
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所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cos A＝.
由余弦定理ɑ2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．
因此bcsin A≤.
所以△ABC面积的最大值为.
5．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
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所以，函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin
＝(cos2α－sin2α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，
由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，
此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
6．已知向量ɑ＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0＜α＜x＜π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若ɑ与b的夹角为，且ɑ⊥c，求tan 2α的值．
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解：(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，
则2sin xcos x＝t2－1，且－1＜t＜.
则y＝t2＋t－1＝－，－1＜t＜，
∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，
即sin＝－，∵＜x＜π，
∴＜x＋＜π，∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵ɑ与b的夹角为，
∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.∵ɑ⊥c，
∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.
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∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.
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