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第一节 数列的概念与简单表示法
【最新考纲】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图表法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{ɑn}的第n项与序号n
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之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项ɑn与它的前一项ɑn－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
6．ɑn与Sn的关系
若数列{ɑn}的前n项和为Sn，通项公式为ɑn，
则ɑn＝
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(3)如果数列{ɑn}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有ɑn＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知数列{ɑn}的递推公式为ɑn＋1＝，且ɑ2＝1，则可以写出数列{ɑn}的任何一项．( )
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答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．设数列{ɑn}的前n项和Sn＝n2，则ɑ8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64
解析：当n＝8时，ɑ8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：A
3．对于数列{ɑn}，“ɑn＋1＞|ɑn|(n＝1，2，…)”是“{ɑn}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当ɑn＋1＞|ɑn|时，∵|ɑn|≥ɑn，∴ɑn＋1＞ɑn，
∴{ɑn}是递增数列．
当ɑn＝－时，数列{ɑn}是递增数列，但ɑn＋1＜|ɑn|.
答案：B
4．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)．
则第7个三角形数是( )
A．27 B．28 C．29 D．30
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解析：由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：B
5．(2017·唐山调研)数列{ɑn}满足：ɑ1＝1，且当n≥2时，ɑn＝ɑn－1，则ɑ5＝________．
解析：因为ɑ1＝1，且当n≥2时，ɑn＝ɑn－1，
则＝.所以ɑ5＝····ɑ1＝××××1＝.
答案：
两种关系
1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
2．ɑn＝
三种方法
由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是：
1．ɑn＋1－ɑn＝f(n)型，采用叠加法．
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2.＝f(n)型，采用叠乘法．
3．ɑn＋1＝pɑn＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.
答案：C
2．若Sn为数列{ɑn}的前n项和，且Sn＝，则等于( )
A. B. C. D．30
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解析：当n≥2时，ɑn＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.
答案：D
3．若数列{ɑn}的通项公式是ɑn＝(－1)n(3n－2)，则ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ10等于( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
解析：由题意知，ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]
＝3×5＝15.
答案：A
4．(2016·广东六校一联)已知数列{ɑn}的前n项和Sn＝n2－2n，则ɑ2＋ɑ18＝( )
A．36 B．35 C．34 D．33
解析：当n≥2时，ɑn＝Sn－Sn－1＝2n－3，
故ɑ2＋ɑ18＝(2×2－3)＋(2×18－3)＝34.
答案：C
5．若数列{ɑn}满足：ɑ1＝19，ɑn＋1＝ɑn－3(n∈N*)，则数列{ɑn}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：∵ɑ1＝19，ɑn＋1－ɑn＝－3，
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∴数列{ɑn}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
∴ɑn＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
设{ɑn}的前k项和数值最大，则有k∈N*，
∴∴≤k≤，∴k∈N*，∴k＝7.
∴满足条件的n的值为7.
答案：B
6．数列{ɑn}满足ɑ1＝2，ɑn＝，其前n项积为Tn，则T2 017＝( )
A. B．－ C．2 D．－2
解析：由ɑn＝，得ɑn＋1＝，而ɑ1＝2，则有ɑ2＝－3，ɑ3＝－，ɑ4＝，ɑ5＝2，
故数列{ɑn}是以4为周期的周期数列，且ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4＝1，
所以T2 017＝ɑ1＝1504×2＝2
答案：C
二、填空题
7．在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
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解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．
∴ɑ10＝0.08.
答案：10
8．(经典再现)若数列{ɑn}的前n项和Sn＝ɑn＋，则{ɑn}的通项公式是ɑn＝________．
解析：当n＝1时，S1＝ɑ1＋，∴ɑ1＝1.
当n≥2时，ɑn＝Sn－Sn－1＝ɑn＋－
＝(ɑn－ɑn－1)，∴ɑn＝－2ɑn－1，即＝－2，
∴{ɑn}是以1为首项，－2为公比的等比数列，
∴ɑn＝1×(－2)n－1，即ɑn＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
9．(2016·太原二模)已知数列{ɑn}满足ɑ1＝1，ɑn－ɑn＋1＝nɑnɑn＋1(n∈N*)，则ɑn＝________．
解析：由已知得，－＝n，所以－＝n－1，
－＝n－2，…，－＝1，所以－＝，ɑ1＝1，所以＝，
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所以ɑn＝.
答案：
三、解答题
10．数列{ɑn}的通项公式是ɑn＝n2－7n＋6(n∈N*)．
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解：(1)当n＝4时，ɑ4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令ɑn＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令ɑn＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．
∵n∈N*，∴数列从第7项起各项都是正数．
11．已知Sn为正项数列{ɑn}的前n项和，且满足Sn＝ɑ＋ɑn(n∈N*)．
(1)求ɑ1，ɑ2，ɑ3，ɑ4的值；
(2)求数列{ɑn}的通项公式．
解：(1)由Sn＝ɑ＋ɑn(n∈N*)可得
ɑ1＝ɑ＋ɑ1，解得ɑ1＝1；
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S2＝ɑ1＋ɑ2＝ɑ＋ɑ2，解得ɑ2＝2；
同理，ɑ3＝3，ɑ4＝4.
(2)Sn＝＋ɑ，①
当n≥2时，Sn－1＝＋ɑ，②
①－②即得(ɑn－ɑn－1－1)(ɑn＋ɑn－1)＝0.
由于ɑn＋ɑn－1≠0，所以ɑn－ɑn－1＝1，
又由(1)知ɑ1＝1，
故数列{ɑn}为首项为1，公差为1的等差数列，
故ɑn＝n.
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