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2017年陕西省中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.计算:=( )
A. B. C. D.0
【答案】C.
【解析】
试题分析:原式=﹣1=,故选C.
考点:有理数的混合运算.
2.如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的,则它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:从正面看下边是一个较大的矩形,上便是一个角的矩形,故选B.
考点:简单组合体的三视图.
3.若一个正比例函数的图象经过A(3,﹣6),B(m,﹣4)两点,则m的值为( )
A.2 B.8 C.﹣2 D.﹣8
【答案】A.
【解析】
考点:一次函数图象上点的坐标特征.
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4.如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上,若∠1=25°,则∠2的大小为( )
A.55° B.75° C.65° D.85°
【答案】C.
【解析】
试题分析:∵∠1=25°,∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°=65°.∵a∥b,∴∠2=∠3=65°.故选C.
考点:平行线的性质.
5.化简:,结果正确的是( )
A.1 B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:原式= =.故选B.
考点:分式的加减法.
6.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为( )
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A. B.6 C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,∴AB==,∠CAB=45°,∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同,∴∠C′AB′=∠CAB=45°,AB′=AB=,∴∠CAB′=90°,∴B′C==,故选A.
考点:勾股定理.
7.如图,已知直线l1:y=﹣2x+4与直线l2:y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(﹣2,0),则k的取值范围是( )
A.﹣2<k<2 B.﹣2<k<0 C.0<k<4 D.0<k<2
【答案】D.
【解析】
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考点:两条直线相交或平行问题;一次函数图象上点的坐标特征.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE交AE于点F,则BF的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
考点:相似三角形的判定与性质;矩形的性质.
9.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为( )
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A.5 B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析:连接OA、OB、OP,∵∠C=30°,∴∠APB=∠C=30°,∵PB=AB,∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°,∵PB=AB,∴OB⊥AP,AD=PD,∴∠OBP=∠OBA=60°,∵OB=OA,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=5,则Rt△PBD中,PD=cos30°•PB=×5=,∴AP=2PD=,故选D.
考点:三角形的外接圆与外心;等腰三角形的性质.
10.已知抛物线(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′,若点M′在这条抛物线上,则点M的坐标为( )
A.(1,﹣5) B.(3,﹣13) C.(2,﹣8) D.(4,﹣20)
【答案】C.
【解析】
试题分析:=,∴点M(m,﹣m2﹣4),∴点M′(﹣m,m2+4),∴m2+2m2﹣4=m2+4.解得m=±2.∵m>0,∴m=2,∴M(2,﹣8).故选C.
考点:二次函数的性质.
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二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
11.在实数﹣5,﹣,0,π,中,最大的一个数是 .
【答案】π.
【解析】
考点:实数大小比较.
12.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为 .
B.tan38°15′≈ .(结果精确到0.01)
【答案】A.64°;B.2.03.
【解析】
考点:计算器—三角函数;计算器—数的开方;三角形内角和定理.
13.已知A,B两点分别在反比例函数(m≠0)和(m≠)的图象上,若点A与点B关于x轴对称,则m的值为 .
【答案】1.
【解析】
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试题分析:设A(a,b),则B(a,﹣b),依题意得:,所以 =0,即5m﹣5=0,解得m=1.故答案为:1.
考点:反比例函数图象上点的坐标特征;关于x轴、y轴对称的点的坐标.
14.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 .
【答案】18.
【解析】
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积;
由勾股定理得:AC2=AM2+MC2,而AC=6;
∴2λ2=36,λ2=18,故答案为:18.
考点:全等三角形的判定与性质.
三、解答题(本大题共11小题,共78分)
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15.计算:.
【答案】.
【解析】
试题分析:根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案.
试题解析:原式===.
考点:二次根式的混合运算;负整数指数幂.
16.解方程:.
【答案】x=﹣6.
【解析】
试题分析:利用解分式方程的步骤和完全平方公式,平方差公式即可得出结论.
试题解析:去分母得,(x+3)2﹣2(x﹣3)=(x﹣3)(x+3),去括号得,x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9,移项,系数化为1,得x=﹣6,经检验,x=﹣6是原方程的解.
考点:解分式方程.
17.如图,在钝角△ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】作图见解析.
【解析】
考点:作图—基本作图.
18.
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养成良好的早锻炼习惯,对学生的学习和生活都非常有益,某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况,校政教处在七年级随机抽取了部分学生,并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x(分钟)进行了调查.现把调查结果分成A、B、C、D四组,如下表所示,同时,将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图和扇形统计图;
(2)所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 区间内;
(3)已知该校七年级共有1200名学生,请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟.(早锻炼:指学生在早晨7:00~7:40之间的锻炼)
【答案】(1)作图见解析;(2)C;(3)1020.
【解析】
百分比为1﹣(5%+10%+65%)=20%,补全图形如下:
(2)由于共有200个数据,其中位数是第100、101个数据的平均数,则其中位数位于C
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区间内,故答案为:C;
(3)1200×(65%+20%)=1020(人).
答:估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟.
考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数.
19.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G.求证:AG=CG.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析:根据正方向的性质,可得∠ADF=CDE=90°,AD=CD,根据全等三角形的判定与性质,可得答案.
考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
20.某市一湖的湖心岛有一颗百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离,于是,有一天,他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离.测量方法如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A处,用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米,然后,小军在A处蹲下,用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米.请你利用以上测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参考数据:sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452.)
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【答案】34米.
【解析】
试题分析:作BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为点D、E,设AN=x米,则BD=CE=x米,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.
试题解析:如图,作BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为点D、E,设AN=x米,则BD=CE=x米,在Rt△MBD中,MD=x•tan23°,在Rt△MCE中,ME=x•tan24°,∵ME﹣MD=DE=BC,∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1,∴x=,解得x≈34(米).
答:“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米.
考点:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
21.在精准扶贫中,某村的李师傅在县政府的扶持下,去年下半年,他对家里的3个温室大棚进行修整改造,然后,1个大棚种植香瓜,另外2个大棚种植甜瓜,今年上半年喜获丰收,现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完,他高兴地说:“我的日子终于好了”.
最近,李师傅在扶贫工作者的指导下,计划在农业合作社承包5个大棚,以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜,他根据种植经验及今年上半年的市场情况,打算下半年种植时,两个品种同时种,一个大棚只种一个品种的瓜,并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下:
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现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个,明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后,获得的利润为y元.
根据以上提供的信息,请你解答下列问题:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)求出李师傅种植的8个大棚中,香瓜至少种植几个大棚?才能使获得的利润不低于10万元.
【答案】(1)y=7500x+68000;(2)5.
【解析】
试题分析:(1)利用总利润=种植香瓜的利润+种植甜瓜的利润即可得出结论;
(2)利用(1)得出的结论大于等于100000建立不等式,即可确定出结论.
试题解析:(1)由题意得,y=(2000×12﹣8000)x+(4500×3﹣5000)(8﹣x)=7500x+68000;
(2)由题意得,7500x+6800≥100000,∴x≥,∵x为整数,∴李师傅种植的8个大棚中,香瓜至少种植5个大棚.
考点:一次函数的应用;最值问题.
22.端午节“赛龙舟,吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间,小邱家包了三种不同馅的粽子,分别是:红枣粽子(记为A),豆沙粽子(记为B),肉粽子(记为C),这些粽子除了馅不同,其余均相同.粽子煮好后,小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子,一个豆沙粽子和一个肉粽子;给一个花盘中放入了两个肉粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子.
根据以上情况,请你回答下列问题:
(1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是多少?
(2
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)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子,再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子,请用列表法或画树状图的方法,求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率.
【答案】(1);(2).
【解析】
(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,C)、
(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)、(C,C),∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是:.
考点:列表法与树状图法;概率公式.
23.如图,已知⊙O的半径为5,PA是⊙O的一条切线,切点为A,连接PO并延长,交⊙O于点B,过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D,连接BC,当∠P=30°时.
(1)求弦AC的长;
(2)求证:BC∥PA.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
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在Rt△ODA中,AD=OA•sin60°=,∴AC=2AD=;
(2)∵AC⊥PB,∠P=30°,∴∠PAC=60°,∵∠AOP=60°,∴∠BOA=120°,∴∠BCA=60°,∴∠PAC=∠BCA,∴BC∥PA.
考点:切线的性质.
24.在同一直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2x﹣3与抛物线y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.
(1)求抛物线C1,C2的函数表达式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3,C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3;(2)A(﹣3,
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0),B(1,0);(3)存在满足条件的点P、Q,其坐标为P(﹣2,5),Q(2,5)或P(﹣2,﹣3),Q(2,﹣3).
【解析】
试题分析:(1)由对称可求得a、n的值,则可求得两函数的对称轴,可求得m的值,则可求得两抛物线的函数表达式;
(2)由C2的函数表达式可求得A、B的坐标;
(3)由题意可知AB只能为平行四边形的边,利用平行四边形的性质,可设出P点坐标,表示出Q点坐标,代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标.
试题解析:
(t+4,t2﹣2t﹣3)或(t﹣4,t2﹣2t﹣3),①当Q(t+4,t2﹣2t﹣3)时,则t2﹣2t﹣3=(t+4)2+2(t+4)﹣3,解得t=﹣2,∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5,∴P(﹣2,5),Q(2,5);
②当Q(t﹣4,t2﹣2t﹣3)时,则t2﹣2t﹣3=(t﹣4)2+2(t﹣4)﹣3,解得t=2,∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,∴P(﹣2,﹣3),Q(2,﹣3),综上可知存在满足条件的点P、Q,其坐标为P(﹣2,5),Q(2,5)或P(﹣2,﹣3),Q(2,﹣3).
考点:二次函数综合题;存在型;分类讨论;轴对称的性质.
25.问题提出
(1)如图①,△ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为 ;
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB
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与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌.)同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图③,已测出AB=24m,MB=10m,△AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8m.
请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米)
【答案】(1);(2)PQ=;(3)喷灌龙头的射程至少为19.71米.
【解析】
试题分析:(1)构建Rt△AOD中,利用cos∠OAD=cos30°=,可得OA的长;
(2)经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分,根据此结论作出PQ,利用勾股定理进行计算即可;
(3)如图3,作辅助线,先确定圆心和半径,根据勾股定理计算半径:
在Rt△AOD中,由勾股定理解得:r=13根据三角形面积计算高MN的长,证明△ADC∽△ANM,列比例式求DC的长,确定点O在△AMB内部,利用勾股定理计算OM,则最大距离FM的长可利用相加得出结论.
试题解析:(1)如图1,过O作OD⊥AC于D,则AD=AC=×12=6,∵O是内心,△ABC是等边三角形,∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°,在Rt△AOD中,cos∠
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OAD=cos30°=,∴OA=6÷=,故答案为:;
(r﹣8)2,解得:r=13,∴OD=5,过点M作MN⊥AB,垂足为N,∵S△ABM=96,AB=24,∴AB•MN=96,×24×MN=96,∴MN=8,NB=6,AN=18,∵CD∥MN,∴△ADC∽△ANM,∴,∴,∴DC=,∴OD<CD,∴点O在△AMB内部,∴连接MO并延长交于点F,则MF为草坪上的点到M点的最大距离,∵在上任取一点异于点F的点G,连接GO,GM,∴MF=OM+OF=OM+OG>MG,即MF>MG,过O作OH⊥MN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3,∴OM===,∴MF=OM+r=+13≈19.71(米).
答:喷灌龙头的射程至少为19.71米.
考点:圆的综合题;最值问题;存在型;阅读型;压轴题.
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