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1.3 二次函数的性质
1．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是(A)
A. y＝(x＋2)2 B. y＝2x2－2
C. y＝－2x2－2 D. y＝2(x－2)2
2．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(D)
A. m＝－1 B. m＝3
C. m≤－1 D. m≥－1
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
则下列说法正确的是(D)
A. 抛物线的开口向下
B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是直线x＝－
4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x＝2．
5．已知函数y＝2x2－4x－3，当－2≤x≤2时，该函数的最小值是__－5__，最大值是__13__．
(第6题)
6．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx＋1与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(1，m)．
(1)求k的值．
(2)若点Q与点P关于直线y＝x对称，求点Q的坐标．
(3)若过P，Q两点的抛物线与y轴的交点为N，求该抛物线的函数表达式及其对称轴．
【解】 (1)把点P(1，m)代入y＝，得m＝2，
∴点P(1，2)．
把点P(1，2)代入y＝kx＋1，得k＝1.
(2)设点Q(a，b)．
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∵点Q与点P关于直线y＝x对称，点P(1，2)，
∴＝，∴b＝a－1.
∵直线y＝x过原点，
∴OP＝OQ，∴＝，
解得a1＝2，a2＝－1(不合题意，舍去)．∴点Q(2，1)．
(3)设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.
由题意，得
解得
∴y＝－x2＋x＋，
∴对称轴为直线x＝－＝.
7．已知二次函数y＝ax2－bx－2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a－b为整数时，ab的值为(A)
A. 或1 B. 或1
C. 或 D. 或
【解】 由题意可知a＞0，－＞0，a＋b－2＝0，
∴b＞0，且b＝2－a，∴a－b＝a－(2－a)＝2a－2.
易得0＜a＜2，∴－2＜2a－2＜2.
又∵a－b为整数，∴2a－2＝－1或0或1，
∴或或∴ab＝或1.
8．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数表达式．
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②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
【解】 (1)y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)①∵对称轴为直线x＝－＝，
∴m＝2，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－5x＋6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的函数表达式为y＝x2－5x＋6＋k.
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝52－4(6＋k)＝0，∴k＝，
∴把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
9．已知在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
(第9题)
(1)求点C的坐标．
(2)若抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过C，A两点，求此抛物线的函数表达式．
(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，P为线段DB上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M.问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)如解图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H.
(第9题解)
在Rt△OAB中，
∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2，
∴OB＝4，OA＝2 .
由折叠可知，∠COB＝30°，OC＝OA＝2 ，
∴∠COH＝60°，∴OH＝，CH＝3，
∴点C的坐标为(，3)．
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过C(，3)和
A(2 ，0)两点，
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∴ 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2 x.
(3)存在．
∵抛物线y＝－x2＋2 x的顶点坐标为(，3)，即为点C，∴CD⊥x轴．
∵MP⊥x轴，∴MP∥CD.
如解图，设MP的延长线与x轴的交点为N，PN＝t.
∵∠BOA＝30°，∴ON＝t，∴点P(t，t)．
过点P作PQ⊥CD于点Q，过点M作ME⊥CD于点E.
把x＝t代入y＝－x2＋2 x，得y＝－3t2＋6t，∴点M(t，－3t2＋6t)，E(，－3t2＋6t)．
同理可得点Q(，t)，D(，1)．
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即3－(－3t2＋6t)＝t－1，
解得t1＝，t2＝1(点P与点D重合，舍去)．
∴点P的坐标为.
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时点P的坐标为.
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于点，点A的坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(第10题)
(2)F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E，G.当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标．
(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连结DM.是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵点B是点A关于y轴的对称点，
∴抛物线的对称轴为y轴．
∴抛物线的顶点坐标为，
故抛物线的函数表达式可设为y＝ax2＋.
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∵点A(－1，2)在抛物线y＝ax2＋上，
∴a＋＝2，解得a＝－.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋.
(2)①当点F在第一象限时，如解图①，
令y＝0，则－x2＋＝0，
解得x1＝3，x2＝－3.
∴点C的坐标为(3，0)．
设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n，
则有解得
∴直线AC的函数表达式为y＝－x＋.
设正方形OEFG的边长为p，则点F(p，p)．
∵点F(p，p)在直线y＝－x＋上，
∴－p＋＝p，解得p＝1.
∴点F的坐标为(1，1)．
②当点F在第二象限时，
同理可得点F的坐标为(－3，3)，
此时点F不在线段AC上，故舍去．
综上所述，点F的坐标为(1，1)．
(第10题解)
(3)过点M作MH⊥DN于点H，如解图②，
则OD＝t，OE＝t＋1.
∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2.
当x＝t时，y＝－t＋，则点N，DN＝－t＋.
当x＝t＋1时，y＝－(t＋1)＋＝－t＋1，则点M，ME＝－t＋1.
在Rt△DEM中，DM2＝12＋＝t2－t＋2.
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在Rt△NHM中，MH＝1，NH＝－＝，
∴MN2＝12＋＝.
①当DN＝DM时，
＝t2－t＋2，解得t＝.
②当DN＝MN时，
－t＋＝＝，解得t＝3－.
③当MN＝DM时，
＝t2－t＋2，解得t1＝1，t2＝3(不合题意，舍去)．
综上所述，当△DMN是等腰三角形时，t的值为或3－或1.
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