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1.2 二次函数的图象(一)
1．下列函数中，图象的最低点是原点的是(B)
A. y＝－3x2 B. y＝2x2
C. y＝2x＋1 D. y＝
2．抛物线y＝x2，y＝x2, y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数是(B)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3．已知抛物线y＝(m－1)xm2－m的开口向上，则m的值为(D)
A. 2或－1 B. 1
C. －1 D. 2
4．若二次函数y＝(m－1)x2＋m2－1的图象的顶点在坐标原点，则m的值是(C)
A.±1 B.1
C.－1 D.2
5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图象可能是(C)
6．抛物线y＝－0.35x2的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴；当x＝0时，y有最大值(填“大”或“小”)，这个值为__0__．
7．抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝4x－3交于点A(m，1)．
(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式．
(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(3)写出抛物线y＝ax2与直线y＝4x－3的另一个交点B的坐标．
【解】 (1)∵点A(m，1)在y＝4x－3上，
∴1＝4m－3，∴m＝1，∴点A(1，1)．
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又∵点A(1，1)在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a·12，∴a＝1，∴y＝x2.
(2)开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
(3)根据题意，得
解得∴点B(3，9)．
8．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1)．
9．如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围为≤a≤2．
(第9题)
【解】 由题意，得点A(1，2)，C(2，1)．
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把x＝1，y＝2代入y＝ax2，得a＝2；
把x＝2，y＝1代入y＝ax2，得a＝，
∴a的取值范围是≤a≤2.
10．如图，平行于x轴的直线AC分别交二次函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝3－．
(第10题)
【解】 设点A(0，m)(m>0)．
由x2＝m，得x＝，∴点B(，m)．
由＝m，得x＝，∴点C(，m)．
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为，
∴y1＝()2＝3m，∴点D(，3m)．
∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3m，∴＝3m，
∴x＝3，∴点E(3，3m)．
∴DE＝3－.
∵AB＝，∴＝＝3－.
11．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD(不含AD)构成．矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，那么这辆卡车能否通过该隧道？
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(第11题)
【解】 (1)由题意，得点E(0，6)，D(4，2)．
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c，
则有解得
∴y＝－x2＋6.
(2)当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2，∴这辆卡车能通过该隧道．
12．如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，B作x轴的垂线交抛物线y＝x2于点C，D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别为yE，yF.
(第12题)
(1)特例探究(填空)：
当m＝1，n＝2时，yE＝__2__，yF＝__2__；
当m＝3，n＝5时，yE＝__15__，yF＝__15__．
(2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：连结EF，AE，当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．
【解】 (2)∵点C为抛物线y＝x2上的点，AC⊥x轴，∴xC＝xA＝m，∴点C(m，m2)．
易求得直线yOC＝mx，
又∵xE＝n，∴yE＝mn.
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同理，点D(n，n2)，易求得直线yOD＝nx，
∴yF＝nm＝mn.∴yE＝yF.
(3)∵yE＝yF，AF⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴EF∥OB，EF＝AB＝n－m.
∴S四边形OFEB＝(n－m＋n)·yE＝(2n－m)·yE，S△OFE＝(n－m)·yE.
∵S四边形OFEB＝3S△OFE，
∴(2n－m)·yE＝3×(n－m)·yE，
∴2n－m＝3(n－m)，∴n＝2m.
此时EF＝n－m＝2m－m＝m＝OA，
∴EF平行且等于OA，∴四边形OFEA为平行四边形．
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