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2016-2017学年江苏省盐城市东台市唐洋中学九年级(上)第一次月考数学试卷
一、选择题:(每题3分,共24分)
1.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=50°,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
2.如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠C的度数为( )
A.116° B.58° C.42° D.32°
3.如图,ABCD为⊙O内接四边形,若∠D=85°,则∠B=( )
A.85° B.95° C.105° D.115°
4.已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是( )
A.15πcm2 B.15cm2 C.20πcm2 D.20cm2
5.已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为7,那么点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定
6.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于( )
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A.20° B.30° C.40° D.50°
7.掷一枚硬币2次,正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图所示,小华从一个圆形场地的A点出发,沿着与半径OA夹角为α的方向行走,走到场地边缘B后,再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走.按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上,此时∠AOE=56°,则α的度数是( )
A.52° B.60° C.72° D.76°
二、填空题:(每题3分,共30分)
9.已知⊙O的直径等于12cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的交点个数为 .
10.如果圆的半径为6,那么60°的圆心角所对的弧长为 .
11.如图,CD⊥AB于E,若∠B=60°,则∠A= 度.
12.如图,AB为⊙O直径,点C、D在⊙O上,已知∠AOD=50°,AD∥OC,则∠BOC= 度.
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13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E,则其内切圆的半径r等于 .
14.正六边形的半径为2,则它的周长为 .
15.从0,1,2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标,再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标,则点P落在双曲线y=上的概率为 .
16.如图,已知点A、B、C的坐标分别为(0,3),(2,1),(2,﹣3),则△ABC的外心坐标是 .
17.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B两点,点C在⊙O上,如果∠ACB=70°,那么∠P的度数是 .
18.如图,MN为⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,过A作AC⊥MN于点C,过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是 .
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三、解答题:(19-22每题8分,23-26每题10分,27、28每题12分共96分)
19.已知:如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,BC,AC分别交⊙O于D、E两点,若=,求证:AB=AC.
20.小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,8中任意选择一个数字,然后两人各转动一次如图所示的转盘(转盘被分为面积相等的四个扇形),两人转出的数字之和等于谁事先选择的数,谁就获胜;若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数,就在做一次上述游戏,直至决出胜负.若小军事先选择的数是5,用列表或画树状图的方法求他获胜的概率.
21.如图,AB、CD是⊙O的两条弦,延长AB、CD交于点P,连接AD、BC交于点E.∠P=30°,∠ABC=50°,求∠A的度数.
22.如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A、B、C.
(1)请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标 ;
(2)⊙O的半径为 (结果保留根号);
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(3)求的长(结果保留π).
23.已知,如图,点B、C、D在⊙O上,四边形OCBD是平行四边形,
(1)求证: =;
(2)若⊙O的半径为2,求的长.
24.一个不透明的布袋里装有3个球,其中2个红球,1个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)求摸出1个球是白球的概率;
(2)摸出1个球,记下颜色后放回,并搅均,再摸出1个球.求两次摸出的球恰好颜色不同的概率(要求画树状图或列表);
(3)现再将n个白球放入布袋,搅均后,使摸出1个球是白球的概率为.求n的值.
25.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OD⊥AB于点O,分别交AC、CF于点E、D,且CF是⊙O的切线.
(1)求证:DE=DC;
(2)若⊙O的半径为5,OE=1,求DE的长.
26.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠
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ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
27.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过B作BF∥DE,交⊙O于点F,过F点作FH∥AC交BC的延长线于点H.
(1)求证:DE=DC;
(2)求∠BOF的度数;
(3)求证:FH与⊙O相切.
28.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD平分∠ACB交⊙O于点D.
(1)AD与BD相等吗?为什么?
(2)若AB=10,AC=6,求CD的长;
(3)若P为⊙O上异于A、B、C、D的点,试探究PA、PD、PB之间的数量关系.
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参考答案与试题解析
一、选择题:(每题3分,共24分)
1.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=50°,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
【考点】圆周角定理.
【分析】在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,由此可得出答案.
【解答】解:由题意得∠BOC=2∠A=100°.
故选D.
2.如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠C的度数为( )
A.116° B.58° C.42° D.32°
【考点】圆周角定理;直角三角形的性质.
【分析】由AB是⊙O的直径,推出∠ADB=90°,再由∠ABD=58°,求出∠A=32°,根据圆周角定理推出∠C=32°.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
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∴∠ADB=90°,
∵∠ABD=58°,
∴∠A=32°,
∴∠C=32°.
故选D.
3.如图,ABCD为⊙O内接四边形,若∠D=85°,则∠B=( )
A.85° B.95° C.105° D.115°
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可.
【解答】解:∵ABCD为⊙O内接四边形,∠D=85°,
∴∠B=180°﹣∠D=180°﹣85°=95°.
故选B.
4.已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是( )
A.15πcm2 B.15cm2 C.20πcm2 D.20cm2
【考点】圆锥的计算.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.
【解答】解:圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π.
故选A.
5.已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为7,那么点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定
【考点】点与圆的位置关系.
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【分析】根据点在圆上,则d=r;点在圆外,d>r;点在圆内,d<r(d即点到圆心的距离,r即圆的半径).
【解答】解:∵OP=7>5,
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外.
故选:C.
6.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
【考点】切线的性质;圆周角定理.
【分析】先连接BC,由于AB 是直径,可知∠BCA=90°,而∠A=25°,易求∠CBA,又DC是切线,利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=25°,再利用三角形外角性质可求∠D.
【解答】解:如右图所示,连接BC,
∵AB 是直径,
∴∠BCA=90°,
又∵∠A=25°,
∴∠CBA=90°﹣25°=65°,
∵DC是切线,
∴∠BCD=∠A=25°,
∴∠D=∠CBA﹣∠BCD=65°﹣25°=40°.
故选C.
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7.掷一枚硬币2次,正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先可以利用列举法,求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结果,然后利用概率公式直接求解即可.
【解答】解:∵随机掷一枚均匀的硬币两次,可能出现的情况为:正正,正反,反正,反反,
∴两次都是正面朝上的概率是,
故选B.
8.如图所示,小华从一个圆形场地的A点出发,沿着与半径OA夹角为α的方向行走,走到场地边缘B后,再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走.按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上,此时∠AOE=56°,则α的度数是( )
A.52° B.60° C.72° D.76°
【考点】圆周角定理.
【分析】根据圆心角是360度,即可求得∠AOB=76°,再根据等腰三角形的性质可求∠α=∠BAO==52°.
【解答】解:连接OC,OD,
∵∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠EDO=α,
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∵OA=OB=OC,
∴∠ABO=∠BCO=α,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=180°﹣2α,
∴4∠AOB+∠AOE=360°,
∴∠AOB=76°,
∴在等腰三角形AOB中,
∠α=∠BAO==52°.
故选A.
二、填空题:(每题3分,共30分)
9.已知⊙O的直径等于12cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的交点个数为 2 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】首先求得该圆的半径,再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断.若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离,
进而利用直线与圆相交有两个交点,相切有一个交点,相离没有交点,即可得出答案.
【解答】解:根据题意,得该圆的半径是6 cm,即大于圆心到直线的距离5 cm,则直线和圆相交,
故直线l与⊙O的交点个数为2.
故答案为:2
10.如果圆的半径为6,那么60°的圆心角所对的弧长为 2π .
【考点】弧长的计算.
【分析】直接根据弧长公式进行计算.
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【解答】解:根据弧长的公式l===2π.
11.如图,CD⊥AB于E,若∠B=60°,则∠A= 30 度.
【考点】圆周角定理.
【分析】先由直角三角形两锐角互余算出∠C=30°,再由同弧所对的圆周角相等,得∠A=∠C=30°.
【解答】解:∵CD⊥AB,∠B=60°
∴∠C=30°
∴∠A=∠C=30°.
12.如图,AB为⊙O直径,点C、D在⊙O上,已知∠AOD=50°,AD∥OC,则∠BOC= 65 度.
【考点】圆的认识;平行线的性质.
【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A,利用三角形内角和定理可计算出∠A,然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数.
【解答】解:∵OD=OC,
∴∠D=∠A,
而∠AOD=50°,
∴∠A==65°,
又∵AD∥OC,
∴∠BOC=∠A=65°.
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故答案为:65.
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,内切圆⊙O分别切边AC、BC于点D、E,则其内切圆的半径r等于 2 .
【考点】三角形的内切圆与内心.
【分析】利用切线的性质,易证得四边形OECD是正方形;那么根据切线长定理可得:CE=CD=(AC+BC﹣AB),由此可求出r的长.
【解答】解:如图,
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8;
根据勾股定理AB==10;
四边形OECD中,OE=OD,∠OEC=∠ODC=∠C=90°;
∴四边形OECD是正方形;
由切线长定理,得:AD=AF,BF=BE,CE=CD;
∴CE=CD=(AC+BC﹣AB);
即:r=(6+8﹣10)=2.
故答案为:2.
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14.正六边形的半径为2,则它的周长为 12 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】由正六边形的半径为2,则OA=OB=2;由∠AOB=60°,得出△AOB是等边三角形,则AB=OA=OB=2,即可得出结果.
【解答】解:如图所示:
∵正六边形的半径为2,
∴OA=0B=2,
∴正六边形的中心角∠AOB==60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB,
∴AB=2,
∴正六边形的周长为6×2=12.
15.从0,1,2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标,再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标,则点P落在双曲线y=上的概率为 .
【考点】列表法与树状图法;反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出点P落在双曲线y=上的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:列表得:
0
1
2
0
﹣﹣﹣
(0,1)
(0,2)
1
(1,0)
﹣﹣﹣
(1,2)
2
(2,0)
(2,1)
﹣﹣﹣
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所有等可能的情况有6种,其中落在双曲线y=上的情况有(1,2)和(2,1)共2种,
则P==.
故答案为.
16.如图,已知点A、B、C的坐标分别为(0,3),(2,1),(2,﹣3),则△ABC的外心坐标是 (﹣2,﹣1) .
【考点】三角形的外接圆与外心;坐标与图形性质.
【分析】分别作AB的垂直平分线和BC的垂直平分线,两线交于E,则E为△ABC的外接圆的圆心,根据图形和A、B、C的坐标即可求出E的坐标.
【解答】解:分别作AB的垂直平分线和BC的垂直平分线,两线交于E,
则E为△ABC的外接圆的圆心,如图:
∵A(0,3),B(2,1),C(2,﹣3),
∴△ABC的外接圆的圆心E的坐标是(﹣2,﹣1),
故答案为:(﹣2,﹣1).
17.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B两点,点C在⊙O上,如果∠ACB=70°,那么∠P的度数是 40° .
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【考点】切线的性质;多边形内角与外角;圆周角定理.
【分析】连接OA,OB,由PA与PB都为圆O的切线,利用切线的性质得到OA垂直于AP,OB垂直于BP,可得出两个角为直角,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数,在四边形PABO中,根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数.
【解答】解:连接OA,OB,如图所示:
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴OA⊥AP,OB⊥BP,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对,且∠ACB=70°,
∴∠AOB=2∠ACB=140°,
则∠P=360°﹣(90°+90°+140°)=40°.
故答案为:40°
18.如图,MN为⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,过A作AC⊥MN于点C,过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是 14 .
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【考点】轴对称-最短路线问题;勾股定理;垂径定理.
【分析】先由MN=20求出⊙O的半径,再连接OA、OB,由勾股定理得出OD、OC的长,作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=BD=6,过点B′作AC的垂线,交AC的延长线于点E,在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值.
【解答】解:∵MN=20,
∴⊙O的半径=10,
连接OA、OB,
在Rt△OBD中,OB=10,BD=6,
∴OD===8;
同理,在Rt△AOC中,OA=10,AC=8,
∴OC===6,
∴CD=8+6=14,
作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=BD=6,过点B′作AC的垂线,交AC的延长线于点E,
在Rt△AB′E中,
∵AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14,
∴AB′===14.
故答案为:14.
三、解答题:(19-22每题8分,23-26每题10分,27、28每题12分共96分)
19.已知:如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,BC,AC分别交⊙O于D、E两点,若=,求证:AB=AC.
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【考点】圆周角定理;全等三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系.
【分析】连接AD,根据圆周角定理可知∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD,再根据ASA定理得出△ABD≌△ACD,进而可得出结论.
【解答】证明:连接AD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵=,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(ASA).
∴AB=AC.
20.小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,8中任意选择一个数字,然后两人各转动一次如图所示的转盘(转盘被分为面积相等的四个扇形),两人转出的数字之和等于谁事先选择的数,谁就获胜;若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数,就在做一次上述游戏,直至决出胜负.若小军事先选择的数是5,用列表或画树状图的方法求他获胜的概率.
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【考点】列表法与树状图法.
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出两指针所指数字的和为5情况数,即可确定小军胜的概率.
【解答】解:列表如下:
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
所有等可能的情况有16种,其中两指针所指数字的和为5的情况有4种,
所以小军获胜的概率==.
21.如图,AB、CD是⊙O的两条弦,延长AB、CD交于点P,连接AD、BC交于点E.∠P=30°,∠ABC=50°,求∠A的度数.
【考点】圆周角定理;三角形内角和定理;三角形的外角性质.
【分析】由∠ABC为△BCP的外角可知∠ABC=∠P+∠C,可求出∠C的度数,由圆周角定理可求知∠A=∠C.
【解答】解:∵∠ABC为△BCP的外角
∴∠ABC=∠P+∠C
∵∠ABC=50°,∠P=30°
∴∠C=20°
由圆周角定理,得∠A=∠C,
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∴∠A=20°
22.如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A、B、C.
(1)请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标 (2,﹣1) ;
(2)⊙O的半径为 2 (结果保留根号);
(3)求的长(结果保留π).
【考点】垂径定理;坐标与图形性质;勾股定理;弧长的计算.
【分析】(1)连接AB,BC,分别作出这两条弦的垂直平分线,两垂直平分线交于点D,即为所求圆心,由图形即可得到D的坐标;
(2)由FD=CG,AF=DG,且夹角为直角相等,利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等,由全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由同角的余角相等得到∠ADC为直角,利用弧长公式即可求出的长.
【解答】解:(1)连接AB,BC,分别作出AB与BC的垂直平分线,交于点D,即为圆心,由图形可得出D(2,﹣1);
(2)在Rt△AED中,AE=2,ED=4,
根据勾股定理得:AD==2;
(3)∵DF=CG=2,∠AFD=∠DGC=90°,AF=DG=4,
∴△AFD≌△DGC(SAS),
∴∠ADF=∠DCG,
∵∠DCG+∠CDG=90°,
∴∠ADF+∠CDG=90°,即∠ADC=90°,
则的长l==π.
故答案为:(1)(2,﹣1);(2)2
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23.已知,如图,点B、C、D在⊙O上,四边形OCBD是平行四边形,
(1)求证: =;
(2)若⊙O的半径为2,求的长.
【考点】弧长的计算;平行四边形的性质.
【分析】(1)连接OB,如图,利用平行四边形的性质得OC=BD,OD=BC,然后利用OC=OD得到BD=BC,然后根据弦、弧和圆心角的关系得到=;
(2)先判断△OBD和△OBC为等边三角形,则∠BOC=∠BOD=60°,所以∠COD=120°,然后利用弧长公式计算的长.
【解答】(1)证明:连接OB,如图,
∵四边形OCBD是平行四边形,
∴OC=BD,OD=BC,
而OC=OD,
∴BD=BC,
∴=;
(2)解:∵OD=BD=OB=OC=BC=2,
∴△OBD和△OBC为等边三角形,
∴∠BOC=∠BOD=60°,
∴∠COD=120°,
∴的长==π.
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24.一个不透明的布袋里装有3个球,其中2个红球,1个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)求摸出1个球是白球的概率;
(2)摸出1个球,记下颜色后放回,并搅均,再摸出1个球.求两次摸出的球恰好颜色不同的概率(要求画树状图或列表);
(3)现再将n个白球放入布袋,搅均后,使摸出1个球是白球的概率为.求n的值.
【考点】列表法与树状图法;分式方程的应用.
【分析】(1)由一个不透明的布袋里装有3个球,其中2个红球,1个白球,根据概率公式直接求解即可求得答案;
(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率;
(3)根据概率公式列方程,解方程即可求得n的值.
【解答】解:(1)∵一个不透明的布袋里装有3个球,其中2个红球,1个白球,
∴摸出1个球是白球的概率为;
(2)画树状图、列表得:
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第二次
第一次
白
红1
红2
白
白,白
白,红1
白,红2
红1
红1,白
红1,红1
红1,红2
红2
红2,白
红2,红1
红2,红2
∴一共有9种等可能的结果,两次摸出的球恰好颜色不同的有4种,
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为;
(3)由题意得:,
解得:n=4.
经检验,n=4是所列方程的解,且符合题意,
∴n=4.
25.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,OD⊥AB于点O,分别交AC、CF于点E、D,且CF是⊙O的切线.
(1)求证:DE=DC;
(2)若⊙O的半径为5,OE=1,求DE的长.
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【考点】切线的性质;勾股定理;垂径定理.
【分析】(1)连接OC,根据切线的性质以及直角三角形的两锐角互余,和等腰三角形的性质证得∠DEC=∠ACD,根据等角对等边即可证得;
(2)作DF⊥EC于点F,根据△AOC∽△ACB,相似三角形的对应边的比相等求得AC的长,则EF即可求得,然后根据△AOE∽△DFE,利用相似三角形的对应边的比相等求得.
【解答】(1)证明:连接OC.
∵CF是切线,
∴∠OCD=90°,即∠ACD+∠ACO=90°,
∵OD⊥AB于点O,
∴∠A+∠AEO=90°,
又∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠AEO=∠ACD,
∵∠DEC=∠AEC,
∴∠DEC=∠ACD,
∴DE=DC;
(2)作DF⊥EC于点F.
在直角△AOE中,AE===.
∵AB是圆的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
又∵∠A=∠A,
∴△AOE∽△ACB,
∴=,即=,
∴BC=.
∴在直角△ABC中,AC===.
则EC=AC﹣AE=.
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∵DE=DC,DF⊥EC,
∴EF=EC=.
∵∠AEO=∠DEF,∠AOE=∠EFD=90°,
∴△AOE∽△DFE,
∴=,即=,
∴DE=•=.
26.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【考点】扇形面积的计算;等腰三角形的性质;切线的判定;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)连接OC.只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;
(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.
【解答】(1)证明:连接OC.
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∵AC=CD,∠ACD=120°,
∴∠A=∠D=30°.
∵OA=OC,
∴∠2=∠A=30°.
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°.即OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:∵∠A=30°,
∴∠1=2∠A=60°.
∴S扇形BOC=.
在Rt△OCD中,
∵,
∴.
∴.
∴图中阴影部分的面积为: .
27.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过B作BF∥DE,交⊙O于点F,过F点作FH∥AC交BC的延长线于点H.
(1)求证:DE=DC;
(2)求∠BOF的度数;
(3)求证:FH与⊙O相切.
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【考点】切线的判定;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理.
【分析】(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB,而∠DEC=∠ABC,即可得答案;
(2)由∠BAC=45°得∠ABC=∠ACB=67.5°,在△DEC中,由DE=DC知∠EDC=45°,再由BF∥DE得∠FBC=∠EDC=45°,从而得出∠OBF度数,最后根据OB=OF可得;
(3)由(2)知∠FBH及∠OFB的度数,根据FH∥AC可得∠H的度数,再△BFH中可得∠BFH度数,继而知∠OFH=90°,即可得证.
【解答】解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠DEC=∠ABC,
∴∠DEC=∠C,
∴DE=DC;
(2)∵∠BAC=45°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=67.5°,
∵DE=DC,
∴∠EDC=45°,
∵BF∥DE,
∴∠FBC=∠EDC=45°,
∴∠OBF=∠ABC﹣∠FBC=22.5°,
又∵OB=OF,
∴∠BOF=135°;
(3)∵FH∥AC,
∴∠H=∠ACB=67.5°,
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又∵∠FBC=45°,
∴∠BFH=67.5°,
∵OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB=22.5°,
∴∠OFH=∠OFB+∠BFH=90°,即OF⊥FH,且OF为⊙O的半径,
∴FH与⊙O相切.
28.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD平分∠ACB交⊙O于点D.
(1)AD与BD相等吗?为什么?
(2)若AB=10,AC=6,求CD的长;
(3)若P为⊙O上异于A、B、C、D的点,试探究PA、PD、PB之间的数量关系.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)结论:AD=BD.只要证明=即可.
(2)如图2中,作DF⊥CA,垂足F在CA的延长线上,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.由Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),推出AF=BG,由Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),推出CF=CG,由△CDF是等腰直角三角形,得CD=CF,求出CF即可解决问题.
(3)分三种情形讨论①如图3中,当点P在上时,结论:PA+PB=PD.②如图4中,当点P在上时,结论:PA﹣PB=PD.③如图5中,当点P在上时,结论:PB﹣PA=PD.
【解答】解:(1)结论:AD=BD.
理由:如图1中,
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∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG,
=,
∴DA=DB.
(2)如图2中,作DF⊥CA,垂足F在CA的延长线上,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.
∵∠AFD=∠BGD=90°,
在Rt△ADF和Rt△BDG,
,
∴Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),
∴AF=BG.
同理:Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),
∴CF=CG.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=6,AB=10,
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∴BC==8,
∴6+AF=8﹣AF,
∴AF=1,
∴CF=7,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=45°,
∵△CDF是等腰直角三角形,
∴CD=CF=7.
(3)①如图3中,当点P在上时,结论:PA+PB=PD.
理由:将△PDB绕点D逆时针旋转90°得到△FAD,
∵∠PAB+∠PBD=180°,∠FAD=∠PBD,
∴∠FAD+∠PAD=180°,
∴P、A、F共线,
∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PF=PD,∵PB=AF,
∴PF=PA+AF=PA+PB=PD.,
∴PA+PB=PD.
②如图4中,当点P在上时,结论:PA﹣PB=PD.
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理由:在AP上取一点F,使得AF=PB,
在△FAD和△PBD中,
,
∴△FAD≌△PBD,
∴DF=DP,∠ADF=∠BDP,
∠FDP=∠ADB=90°,
∴△FDP是等腰直角三角形,
∴PF=PD,
∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD,
∴PA﹣PB=PD.
③如图5中,当点P在上时,结论:PB﹣PA=PD.(证明方法类似②).
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2017年2月25日
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