2016-2017学年江苏省无锡市江阴市XX中学八年级（上）第4周周练数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每题2分，共20分．）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣3=x2+2x﹣1 C．x2=0 D．x2﹣2xy﹣5y2=0
2．若方程x2+（m2﹣1）x+m=0的两根互为相反数，则m的值为（ ）
A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣1
3．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
4．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外切圆有且只有一个
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
5．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（ ）
A．65° B．25° C．15° D．35°
6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BC=6，∠B=30°，则AB的长为（ ）
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A．12 B． C． D．
8．已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点（不包括点A点B），则∠APB的度数为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
9．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是（﹣1，2），则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则a= ．
12．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个根，则a+b= ；ab= ．
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13．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了15次手，则参加本次聚会的共有 人．
14．已知正六边形的边心距为，则该正六边形的面积是 ．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，⊙A与BC相切于D，与AB相交于E，连结DE，则∠BDE= 度．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE= ．
17．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
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三、解答题（本大题共9小题，共84分．）
19．解下列方程：
（1）（2x+3）2﹣25=0
（2）x2+4x﹣2=0 （用配方法）
（3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0
（4）3a2+4a﹣4=0．
20．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标 ．
（2）⊙D的半径为 ．
（3）求的长（结果保留π）．
22．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
23．某商场六月份投资11万元购进一批商品，计划以后每月以相同的增长率进行投资，八月份投资18.59万元．
（1）求该商场投资的月平均增长率；
（2）从六月份到八月份，该商场三个月为购进商品共投资多少万元？
24．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长．
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25．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D，DE⊥OC，垂足为E．
求证：（1）AD=CD；（2）DE是⊙O1的切线．
26．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在弧上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，探究线段DE、BE、AE之间满足的等量关系并说明理由；
（3）如图②，若点E在弧上，写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）
27．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式．
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（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．
（3）在AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF的值；若不存在，请说明理由．
四、附加题（共1小题，满分0分）
28．如图（1），形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）．当x=0（s）时，点E与点C重合．
（1）当x=3时，如图（2），S= cm2，当x=6时，S= cm2，当x=9时，S= cm2；
（2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（3）思考：当3＜x＜6时，是否存在某一x的值，使得S=46，并求出此时x的值；
（4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
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2016-2017学年江苏省无锡市江阴市XX中学八年级（上）第4周周练数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每题2分，共20分．）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2﹣3=x2+2x﹣1 C．x2=0 D．x2﹣2xy﹣5y2=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：C．
2．若方程x2+（m2﹣1）x+m=0的两根互为相反数，则m的值为（ ）
A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】因为方程x2+（m2﹣1）x+m=0的两根互为相反数，所以m2﹣1=0，由此求出m，然后代入判别式中检验即可求出m的值．
【解答】解：∵方程x2+（m2﹣1）x+m=0的两根互为相反数，
∴x1+x2=﹣=0
∴m2﹣1=0，
解得m=±1，
∵互为相反数的积小于等于0，即m≤0，
∴m=﹣1．
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故选D．
3．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据△的意义得到k≠0且△=4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△=4﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外切圆有且只有一个
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
【考点】三角形的外接圆与外心；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据三角形的外接圆与外心的性质、角平分线的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理判断即可．
【解答】解：三角形没有外切圆，A不符合题意；
三角形的外心到这个三角形的三个顶点距离相等，B不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C不符合题意；
等弧所对的圆心角相等，D符合题意，
故选：D．
5．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（ ）
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A．65° B．25° C．15° D．35°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，
∴∠D=×50°=25°．
故选B．
6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
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∴∠C=40°．
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BC=6，∠B=30°，则AB的长为（ ）
A．12 B． C． D．
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理得出∠C的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠C=90°．
∵BC=6，∠B=30°，
∴AB===4．
故选B．
8．已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点（不包括点A点B），则∠APB的度数为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据⊙O的一条弦长恰好等于半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形．所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，则∠APB=×60°=30°；
②
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当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，∠APB=150°．
故选C．
9．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【考点】切线长定理．
【分析】利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是（﹣1，2），则点Q的坐标是（ ）
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A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2）
【考点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．
【分析】因为⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是（﹣1，2），则点Q的坐纵标是2，设PQ=2x，作MA⊥PQ，利用垂径定理可求QA=PA=x，连接MP，则MP=MO=x+1，在Rt△AMP中，利用勾股定理即可求出x的值，从而求出Q的横坐标=﹣（2x+1）．
【解答】解：∵⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，点P的坐标是（﹣1，2）
∴点Q的纵坐标是2
设PQ=2x，作MA⊥PQ，
利用垂径定理可知QA=PA=x，
连接MP，则MP=MO=x+1，
在Rt△AMP中，MA2+AP2=MP2
∴22+x2=（x+1）2∴x=1.5
∴PQ=3，Q的横坐标=﹣（1+3）=﹣4
∴Q（﹣4，2）
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则a= ﹣7 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
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【分析】把x=﹣1代入方程就能求出a的值．
【解答】解：∵x=﹣1是方程的一个根，
∴﹣1能使方程两边等式成立，
把x=﹣1代入方程有：（﹣1）2﹣a×（﹣1）+6=0，
1+a+6=0，
a=﹣7．
12．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个根，则a+b= ﹣2 ；ab= ﹣5 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系可直接得出答案．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个根，
∴a+b=﹣2，ab=﹣5；
故答案为：﹣2，﹣5．
13．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了15次手，则参加本次聚会的共有 6 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x﹣1）个人握手，所以共握手次，根据共握手次数=15为等量关系列出方程求出符合题意的解即可．
【解答】解：设有x人参加聚会，由题意可得： =15，
整理，得x2﹣x﹣30=0，
解得x1=6，x2=﹣5（不合题意舍去）．
答：共有6人参加聚会．
故答案为：6．
14．已知正六边形的边心距为，则该正六边形的面积是 6 ．
【考点】正多边形和圆．
【分析】
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先求出正六边形的边心距，连接正六边形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形求得边长，再求面积．
【解答】解：作出正6边形的边心距，连接正6边形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，
在中心的直角三角形的角为360°÷6÷2=30°；
∴这个正6边形的边长的一半=×tan30°=1，
则边长为2，
面积为：6××2×=6．
故答案是：6．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，⊙A与BC相切于D，与AB相交于E，连结DE，则∠BDE= 25 度．
【考点】切线的性质．
【分析】根据切线的性质以及三角形的性质和三角形的内角和定理分析即可．
【解答】解：∵⊙A与BC相切于D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=40，
∴∠BAD=50°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=65°，
∴∠BDE=25°，
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故答案为25．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE= 70° ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数，由补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD与∠BAD是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOD=140°，
∴∠BAD=∠BOD=×140°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣70°=110°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°．
故答案为：70°．
17．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 140 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接OE，由∠ACB=90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙
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O上，即可得∠EOA=2∠ECA，又由∠ECA的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OE，
∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
即点C在⊙O上，
∴∠EOA=2∠ECA，
∵∠ECA=2°×35=70°，
∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°．
∵量角器0刻度线的端点N与点A重合，
∴点E在量角器上对应的读数是140，
故答案为：140．
18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
【考点】垂径定理；轴对称的性质．
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
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∴OE===3，
OF===4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
三、解答题（本大题共9小题，共84分．）
19．解下列方程：
（1）（2x+3）2﹣25=0
（2）x2+4x﹣2=0 （用配方法）
（3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0
（4）3a2+4a﹣4=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【分析】（1）利用直接开方法即可得出x的值；
（2）利用配方法可求出x的值；
（3）利用因式分解法可得出x的值；
（4）利用因式分解法可得出a的值．
【解答】解：（1）∵移项得，（2x+3）2=25，
开方得，2x+3=±5，
∴x1=1，x2=﹣4；
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（2）∵原方程可化为（x+2）2=6，
开方得，x+2=±，
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
（3）∵原方程可化为（x﹣3）（3x﹣3）=0
∴x﹣3=0或3x﹣3=0，
∴x1=3，x2=1；
（4）∵原方程可化为（3a﹣2）（a+2）=0，
∴3a﹣2=0或a+2=0，
∴a1=，a2=﹣2．
20．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，即x2﹣4x=1，
∴原式=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2=3x2﹣12x+9=3（ ）+9=12．
21．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）．
（1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标 （2，﹣1） ．
（2）⊙D的半径为 2 ．
（3）求的长（结果保留π）．
【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算．
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【分析】（1）利用垂径定理的知识可得：作线段AB与BC的垂直平分线，交点即为点D，继而可求得圆心D的坐标；
（2）利用勾股定理即可求得⊙D的半径；
（3）易证得△ADF≌△DCG，则可得∠ADC=90°，然后由弧长公式，求得答案．
【解答】解：（1）如图，作线段AB与BC的垂直平分线，交点即为点D，
∴圆心D的坐标为：（2，﹣1）；
故答案为（2，﹣1）；
（2）连接AD，
则AD===2；
故答案为：2；
（3）在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴∠ADF=∠DCG，
∵∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，
即∠ADC=90°，
∴的长为： =π．
22．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
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（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质．
【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，
整理得：（m﹣1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得：x1=x2=0.5，
故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．
23．某商场六月份投资11万元购进一批商品，计划以后每月以相同的增长率进行投资，八月份投资18.59万元．
（1）求该商场投资的月平均增长率；
（2）从六月份到八月份，该商场三个月为购进商品共投资多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该商场投资的月平均增长率是x，从6月到8月两月在增长，可列出方程求解．
（2）求出增长率，就可求出7月、8月的投资，三个月加起来即可．
【解答】解：（1）设该商场投资的月平均增长率是x．
11（1+x）2=18.59
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解得：x1═30%，x2=﹣2.3（不合题意舍去），
答：该商场投资的月平均增长率是30%．
（2）11×（1+30%）=14.3（万元），
11+14.3+18.59=43.89（万元），
答：该商场三个月为购进商品共投资43.89万元．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【分析】（1）根据在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆周角相等，可以判断出BC、MD的位置关系；
（2）根据垂径定理和AE=16，BE=4，可以得到AB和OE的长度，然后根据勾股定理可以求得CE的长度，进而求得CD的长度．
【解答】解：（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M=∠D，
∴，
∴∠M=∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=16，BE=4，
∴∠OEC=90°，EC=ED，AB=AE+BE=20，
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∴OC=10，OE=OB﹣BE=6，
∴CE=，
∴CD=2CE=16，
即线段CD的长是16．
25．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D，DE⊥OC，垂足为E．
求证：（1）AD=CD；（2）DE是⊙O1的切线．
【考点】切线的判定；垂线；平行公理及推论；三角形中位线定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ODA=90°，根据垂径定理即可得到答案；
（2）连接O1D，根据三角形的中位线定理推出O1D∥OC，由DE⊥OC得到O1D⊥DE，根据切线的判定即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD、，
∵OA是圆O1的直径，
∴∠ODA=90°，
即：OD⊥AC，
∵OD过圆心O，
∴AD=DC．
（2）证明：连接O1D，
∵AD=DC，O1A=O1O，
∴O1D是△AOC的中位线，
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∴O1D∥OC，
∵DE⊥OC，
∴O1D⊥DE，
∵O1D是⊙O的半径，
∴DE是⊙O1的切线．
26．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在弧上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，探究线段DE、BE、AE之间满足的等量关系并说明理由；
（3）如图②，若点E在弧上，写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
（2）DE﹣BE=AE，易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需证明DE﹣BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；
（3）BE﹣DE=AE，类比（2）的思路不难得出的结论．
【解答】解：
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（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵∠1和∠2都对，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）DE﹣BE=AE，理由如下：
由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．
∴EF=AE．
即DE﹣DF=AE．
∴DE﹣BE=AE．
（3）BE﹣DE=AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．
易证△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．
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∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．
∴EF=AE．
即BE﹣BF=AE．
∴BE﹣DE=AE．
27．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式．
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．
（3）在AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF的值；若不存在，请说明理由．
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【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；
（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．
【解答】解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S△OCF=xy=，
∴xy=2，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；
（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，
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在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB==，
∴EH=m，OE=2m，
∴E坐标为（m， m），
∵E在反比例y=图象上，
∴m=，
∴m1=，m2=﹣（舍去），
∴OE=2，EA=4﹣2，EG=，
∵4﹣2＜，
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；
（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
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∴BC=FB•cos∠FBC=x，FC=FB•sin∠FBC=x，
∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2﹣x，
∴OE=OA﹣AE=x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+，
∴E（ x+1， x+），F（4﹣x， x），
∵E、F都在双曲线y=的图象上，
∴（ x+1）（ x+）=（4﹣x）•x，
解得：x1=4，x2=，
∵F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），
∴x=4不合题意，
∴BF=时，EF⊥AE．
四、附加题（共1小题，满分0分）
28．如图（1），形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠
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ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm，矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）．当x=0（s）时，点E与点C重合．
（1）当x=3时，如图（2），S= 36 cm2，当x=6时，S= 54 cm2，当x=9时，S= 18 cm2；
（2）当3＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（3）思考：当3＜x＜6时，是否存在某一x的值，使得S=46，并求出此时x的值；
（4）当x为何值时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据题意画图图形，然后由矩形的面积公式或者进行计算；
（2）当3＜x＜6时，重叠部分是不规则的四边形，不能直接用x表示，要采用面积的分割法来求，先求S△ABC，S△AMN，再求S△BEH，然后求重叠部分的面积；
（3）将S=46代入（2）的函数关系式中，解方程即可．
（4）切点在线段AB上，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质进行解答
【解答】解：（1）当x=3时，CE=6cm．
如图2所示，
则S=CE•EF=6×6=36（cm2）；
当x=6时，CE=12cm．
如图3所示，
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∵DG=6，AD=12，且GH∥BC
∴GH是△ACB的中位线，
阴影部分为四边形GHBD，四边形GHBD为直角梯形，则
S==54（cm2）
当x=9时，CE=18cm．
如图4所示，
∵∠ODG=90°，∠DOG=45°，
∴阴影部分△GDO是等腰直角三角形，则S=OD•GD=×6×6=18（cm2）．
故答案分别是：36；54；18；
（2）如图5，
设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M；
∴S=S△ABC﹣S△AMN﹣S△BHE=×12×12﹣×6×6﹣×（12﹣2x）2=﹣2x2+24x﹣18，
∴当3＜x＜6时，S=﹣2x2+24x﹣18．
（3）假设存在，
由（2）知，当3＜x＜6时，S=﹣2x2+24x﹣18，
∵S=46，
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∴46=﹣2x2+24x﹣18，
∴x=8（舍）或x=4．
即：存在时间t=4秒时，使得S=46．
（4）如图7，
过点O作OD⊥AB于点P，由题意得OP=6cm；
∵∠ABC=45°，∠OPB=90°，
∴OB=OP=6cm，
∴x==9﹣3（s）．
即：x═9﹣3（s）时，△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切．
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2017年3月4日
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