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揭阳市2016－2017学年度高中二年级学业水平考试
数学（理科）
（测试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合，，则
（A）{1,2} （B）{0,1,2} （C） （D）
（2）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的共轭复数=
（A） （B） （C） （D）
（3）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平行”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）若，且，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为
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（A） （B） （C） （D）
（6）在图1的程序框图中，若输入的x值为2，则输出的y值为 （A）0 （B） （C） （D）
（7）已知向量，，则函
数的最小正周期为
（A） （B） （C） （D）
（8）在区间上随机选取一个数，若的概率为，则
实数的值为
（A） （B）2 （C）4 （D）5
（9）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是
（A） （B） （C） （D）
（10）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是
（A） （B）2 （C）－2 （D）
（11）已知直线：，点，. 若直线上存在点满足，则实数 的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
(12) 已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
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本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题∽第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题∽第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题
卡相应的横线上．
（13）展开式中常数项是 ．
（14）已知实数满足不等式组，则的最小值为 .
（15）某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一
名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为 .
（16）在△ABC中，角的对边分别为，已知是、的等差中项，且，
则△面积的最大值为 .
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．
(Ⅰ)求数列和的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
如图3，已知四棱锥的底面为矩形，D为
的中点，AC⊥平面BCC1B1．
（Ⅰ）证明：AB//平面CDB1;
（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,
（1）求BD的长；
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（2）求B1D与平面ABB1所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分） 图3
某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：
（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
（Ⅱ）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.
（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的概率;
（2）已知该地区型车每小时的租金为1元，型车每小时的租金为1.2元，设为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求的数学期望.
（20）（本小题满分12分）
已知如图4，圆、椭圆均
经过点M，圆的圆心为，椭圆的两
焦点分别为.
（Ⅰ）分别求圆和椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线与圆交于、两点，试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）确定函数的单调性；
（Ⅱ）证明：函数在上存在最小值.
请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
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将圆上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)若，解不等式；
(Ⅱ)如果当时，，求a的取值范围．
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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
D
C
A
C
B
B
C
D
部分解析：
（9）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为.
（10）由题知则，.
（11）问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，数形结合易得.
（12）当时，函数有两个零点，不符合题意，故，，令得或，由题意知，，且，解得．
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
60
-2
小民、小乐、小军
（16）由得，由余弦定得,
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即，又（当且仅当时等号成立）得，所以
，即△面积的最大值为.
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）由数列是等差数列且
∴公差，----------------------------------------------------1分
∴，-------------------------------------3分
∵=3，=9，∴
∴数列的公比，--------------------------------------5分
∴，
∴；------------------------------------------------------------7分
(Ⅱ)由得
-------------------------------------------9分
.---------------------------------------------------------------------------------12分
（18）解：（Ⅰ）证明：连结交于E，连结DE，--------------------------------1分
∵D、E分别为和的中点，
∴DE//AB,---------------------------------------------------------------------------- ---- --------2分
又∵平面,平面,
∴AB//平面CDB1;------------------------------------------4分
（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1，平面，
∴,
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又∵,，
∴平面，
∵平面,
∴,---------------------------------------------------------------------------------6分
在,∵BC=1，,
∴;------------------------------------------------------------------------------------8分
【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】
（2）依题意知AC、BC、CC1两两互相垂直，
以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立
空间直角坐标系如图示，
易得，，
，，
故,,,----------------------------------------9分
设平面的一个法向量为，
由得令得，-------------------------------10分
设与平面所成的角为，则,
即与平面所成的角的正弦值为.---------------------------------------------------12分
【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D到平面ABB1的距离，（10分）再用公式算与平面所成角的正弦值（12分）】
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(19) 解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，--2分
高二学生的人数为:；--------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率.-----------------------------------7分
【解法2：所求概率.-------------------------------------------------7分
（2）从小组内随机抽取3人， 得到的的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）--------------8分
因
----------------------------------10分
故的数学期望.(元)-----------------------12分
（20）解：（Ⅰ）依题意知圆C的半径，----------------------------1分
∴圆C的标准方程为：；------------------------------------------------2分
∵椭圆过点M，且焦点为、，
由椭圆的定义得：，
即，----------------------------------------------------------4分
∴，，
∴椭圆E的方程为：-----------------------------------------------------------------------------6分
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【其它解法请参照给分】
（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设为，则的方程为，
由消去得：
，-------------------------------------------------------8分
显然有解，
设、，则，----------------------------------------------------------9分
．
故为定值，其值为2.-------------------------------------------------------- ----------12分
（21）解：（Ⅰ）函数的定义域为，-----------------------------1分
，-------------------------------4分
∴函数在和上单调递增；---------------------------------------------5分
(Ⅱ)
，---------------------------------------------------------------8分
由（Ⅰ）知在单调递增；
∴在上也单调递增；
∵，，-----------------------------------------------------10分
∴存在，有，
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当时，0，得， --------------------------------------------11分
∴在上递减，在上递增，
故函数在上存在最小值，.--------------------------------------------12分
选做题：
（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式 得---------------------------2分
代入中得，-------------------------------------------------------------3分
故曲线C的参数方程为为参数）；-----------------------------------------5分
（Ⅱ）由题知，，-------------------------------------------------------6分
故线段P1 P2中点，---------------------------------------------------------7分
∵直线的斜率∴线段P1 P2的中垂线斜率为，
故线段P1 P2的中垂线的方程为--------------------------------------------------------8分
即，将代入得
其极坐标方程为---------------------------------------------------------10分
（23）解：(Ⅰ)当a＝－2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|，
①当时，原不等式化为：解得，从而；-----------------1分
②当时，原不等式化为：，无解；---------------------------------------------2分
③当时，原不等式化为：解得，从而；----------------------------3分
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综上得不等式的解集为.-------------------------------------------------------------5分
(Ⅱ)当时， ---------------------------------7分
所以当时，等价于-----（）
当时，（）等价于解得，从而；-------------------------8分
当时，（）等价于无解；--------------------------------------------------9分
故所求的取值范围为.----------------------------------------------------10分
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