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高一理科数学试题 2017.07
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；
2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A． B． C． D．
2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
3．平面四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形
4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是
A．① B．②④ C．③ D．①③
5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
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D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
7．如图所示，程序框图的输出结果是
A. B.
C. D.
8. 已知圆,在圆中任取一点，
则点的横坐标小于的概率为
A． B．
C． D．以上都不对
9．函数在区间上的简图是
10. 已知直线与圆交于两点，且为等边三角形，则圆的面积为
A． B． C． D．
11．已知函数，若是函数的四个均为正数的零点，则的最小值为
A． B． C． D．
12．实数满足，实数满足，则的小值是
A． B． C． D.
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.
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14． 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
15．如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，，则________.
16.已知，且，则______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17．（本题满分12分）
某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
（1）求销售额的方差；
（2）求回归直线方程.
(参考数据： .)
18．（本题满分12分）
已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.
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19.（本小题满分12分）
某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
20
0.25
50
4
0.05
合计
（1）求表中的值和频率分布直方图中的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在的概率.
20．（本题满分12分）
已知为坐标原点，向量，点满足.
（1）记函数，求函数的最小正周期；
（2）若，，三点共线，求的值.
21. （本题满分12分）
已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.
(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2)在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标．
22. （本题满分10分）
已知曲线，点是曲线上的动点.
（1）已知定点，动点满足，求动点的轨迹方程；
（2）设点为曲线与轴的正半轴交点，将沿逆时针旋转得到点，点在曲线上运动，若，求的最大值．
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高一理科数学试题参考答案 2017.07
一、选择题：DDCCB BDBA D BA
二、填空题：13．30 14．－ 15．－ 16.
三、解答题：
17.解：（1）计算得……………2分
……6分
(2),又已知 ，
于是可得： ，…………………………………9分
= ，…………………………………………11分
因此，所求回归直线方程为： .……………………………12分
18.解：（1）由得， .………………1分
所以.……2分
由得， ……3分
即函数的单调递增区间为….……4分
（2）由题意知…………………….……………………………7分
因为，……………………………………………………8分
故当时，有最大值为3；………………………………………………10分
当时，有最小值为0. ………………………………………………11分
故函数在上的最大值为3，最小值为0. ….……………………………12分
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19.解：（1）∵，∴，∴，…………………2分
，……………………………………………3分
.………………………………………………………………………4分
中位数位于区间，设中位数为（15+），
则，∴，
故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分
（2）由题意知样本服务次数在有20人，样本服务次数在有4人，
如果用分层抽样的方法从样本服务次数在和的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在和的人数分别为：和.…………… 8分
记服务次数在为，在的为.
从已抽取的6人任选两人的所有可能为：
共15种，……………………………………10分
设“2人服务次数都在”为事件，则事件包括
共10种，
所有. ………………………………………………………………… 12分
20.解：（1）
，…………………………………………………………………1分
，
.…………………………………………………………2分
，………………………………………3分
∴
…………………………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
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∴.…………………………………………………………6分
（2）由，，三点共线可得
，………………………………………………7分
得，…………………………………………………………………………………8分
，…………………………………………10分
.…………………………………………………………………12分
21.解：(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，……………………………………1分
∵直线与圆C相切，∴得，………………………………………………………2分
∴所求直线方程为.……………………………………………………………………………………4分
（2）解法一：假设存在这样的点，
当为圆C与轴左交点时，；
当为圆C与轴右交点时， ，……………………………………………………………6分
由题意，解得（舍去），或.
下面证明点对于圆C上任意一点，都有为一常数.………………………………8分
设，则，
∴，
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故为常数.……………………………………………………………………………………………………………………12分
解法二：
假设存在这样的点，使得为常数，则,
∴，将代入得，
即对恒成立，…………………………………………………8分
∴解得或（舍去），
∴存在点对于圆上任一点，都有为常数.……………………..12分
22.解：（1）由 得，，所以点在以为圆心1为半径的圆上，故点的轨迹方程为.…………………………5分
x
O
y
A
B
N
（2）设.
由得
得，整理得
所以
故当时有最大值2. ………………………………………………10分
其它方法酌情给分.
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