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2017年7月襄阳市普通高中调研统一考试
高二数学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.命题“存在”的否定是
A. 不存在 B.存在
C.对任意 D. 对任意
2.若,则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
4.已知,则的值为
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
5.椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上任意一点,则的取值范围是
A. B. C. D.
6.一动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为
A. B. C. D.
7.直线与椭圆相交于A,B两点,若直线的方程为,则线段AB的中点坐标是
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A. B. C. D.
8.已知两点,若是的等差中项,则动点的轨迹方程是
A. B. C. D.
9.双曲线的离心率为2,焦点到渐近线的距离是,则双曲线的焦距等于
A. 4 B. C. 2 D.
10.已知函数,则不等式的解集是
A. B. C. D.
11.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12.关于函数,下列说法错误的是
A. 是的最小值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数,使得恒成立
D.对任意两个不相等的正实数,若,则
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知椭圆,长轴在轴上,若焦距为4,则等于为 .
14.若函数是R上的单调增函数,则实数的取值范围是 .
15.若点P是曲线上的任一点,则点P到直线的最小距离为 .
16.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“
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割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不能割,则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程求得,类似上述过程,则 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(本题满分12分)已知
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间.
18.(本题满分12分)已知命题,命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,命题“曲线表示双曲线”
(1)若“”是真命题,求的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求的取值范围.
19.(本题满分12分)已知双曲线,P是C上的任意一点.
(1)求证:点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数;
(2)设点A的坐标为,求的最小值.
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20.(本题满分12分)如图所示,椭圆的离心率,是椭圆的四个顶点,且
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是椭圆C上异于顶点的任意点,直线交轴于点,直线交于点,设的斜率为,的斜率为,问:能不能是定值?若能为定值,请求出这个定值;若不能为定值,请说明理由.
21.(本题满分12分)设函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分10分)选修4-4:参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线与曲线C交于A,B 两点.
(1)求的长;
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(2)若P点的极坐标为,求AB的中点M到P的距离.
23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知,且.
(1)若恒成立,求实数的取值范围;
(2)若恒成立,求的取值范围.
2017年7月襄阳市普通高中调研统一测试
高二数学(文史类)参考答案及评分标准
一.选择题:DBCBB DDAAC AC
二.填空题:13.8 14. 15. 16.3
三.解答题:
17.(Ⅰ)解:当a = 1时,,∴ 2分
∴切线斜率为
又f (1) = 3,∴切点坐标为(1,3) 4分
∴所求切线方程为,即 6分
(Ⅱ)解:
由,得x =-a或 8分
∵a > 0,∴
∴当x < -a或时,,当时, 10分
因此,函数f (x)的单调递减区间为,单调递增区间为和. 12分
18.(Ⅰ)解:若p为真,则 1分
解得:m≤-1或m≥3 2分
若q为真,则 3分
解得:-4 < m < -2或m > 4 4分
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若“p且q”是真命题,则 6分
解得:或m > 4
∴m的取值范围是{ m |或m > 4} 7分
(Ⅱ)解:若s为真,则,即t < m < t + 1 8分
∵由q是s的必要不充分条件
∴ 9分
即或t≥4 11分
解得:或t≥4
∴t的取值范围是{ t |或t≥4} 12分
19.(Ⅰ)解:设P(x0,y0),P到双曲线的两条渐近线的距离记为d1、d2
双曲线的两条渐近线方程为 2分
∴ 4分
又点P在双曲线C上,∴,故 6分
(Ⅱ)解: 10分
∵,∴ 12分
∵点P在双曲线C上,∴| x0 |≥2
故当时,| PA |2有最小值4,| PA |有最小值2. 10分
20.(Ⅰ)解:∵,∴,即 ① 1分
由已知,A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)
∴
由得 ② 3分
由①②得:a = 2,b = 1,∴椭圆C的方程为. 4分
(Ⅱ)证:由(Ⅰ)知,A1(-2,0)、A2(2,0)、B1(0,-1)、B2(0,1)
∴直线A2P的方程为
由 得: 6分
设P(x1,y1),则,∴
直线B2P的方程为,即
令y = 0,得,即 8分
直线A1B2的方程为
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由 得: 10分
∴直线EQ的斜率,∴,是定值. 12分
21.(Ⅰ)解: 2分
令,其判别式
当,△≤0,,因此f (x)在(0,+∞)上单调递增 3分
当时,△ > 0,g (x) = 0的两根都小于0,在(0,+∞)上,
∴f (x)在(0,+∞)上单调递增 4分
当a > 2时,△> 0,g (x) = 0的两根为
故f (x)在上单调递增,在上单调递减
综上,当a≤2时,f (x)在(0,+∞)上单调递增,
当a > 2时,f (x)在上单调递增,
在上单调递减. 6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,a > 2
∵
∴
由(Ⅰ)知,,故 8分
若存在a,使得,则,即
将代入得: ① 10分
再由(Ⅰ)知,在(0,+∞)上单调递增
因此,与①矛盾
∴不存在实数a,使得. 12分
22.(Ⅰ)解:由,得:,即
∴曲线C的普通方程为: 2分
由得:
∴直线l的普通方程为: 4分
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由 得:
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则:
∴ 6分
(Ⅱ)解:点P的直角坐标为(0,1)
由(Ⅰ)得:
AB中点M的坐标为 8分
故 10分
23.(Ⅰ)解:∵a > 0,b > 0,且a + b = 1
由基本不等式得: 2分
当且仅当时等号成立,
由ab < m恒成立,∴ 4分
(Ⅱ)解:∵a > 0,b > 0,且a + b = 1
∴ 6分
故若恒成立,则 7分
当时,不等式化为:,解得: 8分
当时,不等式化为:,解得: 9分
当时,不等式化为:,解得:
故x的取值范围是[-6,12] 10分
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