杭州市萧山区XX中学2017届九年级下开学数学试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）开学数学试卷 一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．是一个（　　）‎ A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 ‎2．计算：﹣，正确的是（　　）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎3．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段为（　　）‎ A．16 B．±4 C．4 D．﹣4‎ ‎4．下列语句中，正确的是（　　）‎ ‎①三个点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．‎ A．①② B．②③ C．②④ D．④‎ ‎5．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），‎ 则△OCD与四边形ABDC的面积比为（　　）‎ A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8‎ ‎6．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　）‎ A．60° B．150° C．180° D．240°‎ ‎7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．2‎ ‎8．直线y=x和直线y=﹣x+3所夹锐角为α，则sinα的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（　　）‎ A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤‎ ‎　‎ 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=　　度．‎ ‎12．分解因式：a3﹣4a（a﹣1）=　　．‎ ‎13．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．若x=2t﹣5，y=10﹣t，S=xy，则当t=　　 时，S的最大值为　　．‎ ‎15．正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是　　 cm2．‎ ‎16．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=4，AB=6，∠A=∠B=60°，则BC的长为　　．‎ ‎　‎ 三、全面答一答（本题有7小题，共66分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．‎ ‎17．计算：6tan230°﹣cos30°•tan60°﹣2sin45°+cos60°．‎ ‎18．在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．‎ ‎（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；‎ ‎（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．‎ ‎19．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据： 1.414， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎1.732）．‎ ‎20．如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的，请说明理由．（写出证明及计算过程）‎ ‎21．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．‎ ‎（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；‎ ‎（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．‎ ‎22．如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO=10，sin∠BOA=．‎ ‎（1）在图中，求作△ABO的外接圆（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；‎ ‎（3）若A，O位置不变，将点B沿x轴向右平移使得△ABO为等腰三角形，请求出平移后点B的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．‎ ‎（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016-2017学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）开学数学试卷 参考答案与试题解析 一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．是一个（　　）‎ A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 ‎【考点】无理数．‎ ‎【分析】根据无理数的定义即可作答．‎ ‎【解答】解：∵是一个无限不循环小数，‎ ‎∴是一个无理数．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．计算：﹣，正确的是（　　）‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎【考点】二次根式的加减法．‎ ‎【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．‎ ‎【解答】解：﹣=2﹣=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段为（　　）‎ A．16 B．±4 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】比例线段．‎ ‎【分析】设a，b 的比例中项线段为x，则由=得x2=ab=2×8，解之可得答案．‎ ‎【解答】解：设a，b 的比例中项线段为x，‎ 则由=得x2=ab=2×8，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得：x=4或x=﹣4＜0（舍去），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．下列语句中，正确的是（　　）‎ ‎①三个点确定一个圆；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．‎ A．①② B．②③ C．②④ D．④‎ ‎【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；矩形的性质；垂径定理．‎ ‎【分析】根据圆的确定对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据垂径定理对③进行判断；根据圆内四边形的性质和矩形的判定方法对④进行判断．‎ ‎【解答】解：①当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此结论错误；‎ ‎②同弧或等弧所对的圆周角相等，故此结论正确；‎ ‎③当弦为直径时就不一定垂直了，故此结论错误；‎ ‎④根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），‎ 则△OCD与四边形ABDC的面积比为（　　）‎ A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】先求得线段OA所在直线的解析式，从而可判断点C在直线OA上，根据△OCD∽△OAB得=（）2=，继而可得答案．‎ ‎【解答】解：设OA所在直线为y=kx，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将点A（6，3）代入得：3=6k，‎ 解得：k=，‎ ‎∴OA所在直线解析式为y=x，‎ 当x=2时，y=×2=1，‎ ‎∴点C在线段OA上，‎ ‎∵AB，CD都垂直于x轴，且CD=1、AB=3，‎ ‎∴△OCD∽△OAB，‎ ‎∴=（）2=，‎ 则△OCD与四边形ABDC的面积比为1：8，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　）‎ A．60° B．150° C．180° D．240°‎ ‎【考点】旋转对称图形．‎ ‎【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．‎ ‎【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，‎ 即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，‎ 所以旋转120°或240°后与原图形重合．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】切线的性质；矩形的性质．‎ ‎【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．‎ ‎【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，‎ 在矩形ABCD中，‎ ‎∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，‎ ‎∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，‎ ‎∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，‎ ‎∴四边形AFOE，FBGO是正方形，‎ ‎∴AF=BF=AE=BG=2，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∵DM是⊙O的切线，‎ ‎∴DN=DE=3，MN=MG，‎ ‎∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，‎ 在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，‎ ‎∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，‎ ‎∴NM=，‎ ‎∴DM=3=，‎ 故选A．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎8．直线y=x和直线y=﹣x+3所夹锐角为α，则sinα的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两条直线相交或平行问题；解直角三角形．‎ ‎【分析】根据两直线相交得出三条边的长度，再根据a2=b2+c2﹣2bc•cosα计算得出cosα，进而求出sinα即可．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 因为直线y=x和直线y=﹣x+3，‎ 可得交点A的坐标为：（2，1），‎ 可得点B的坐标为：（0，3），‎ 所以可得：OA=，AB=，OB=3，‎ 根据△ABC中三边和角的关系：BC2=AB2+OA2﹣2OA•ABcosα，‎ 可得：9=5+8﹣2××2cosα，‎ 解得：cosα=，‎ 则sinα==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9．已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】根与系数的关系；同角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答．‎ ‎【解答】解：根据已知，得 ‎，即2=，‎ ‎∴3t2+5t﹣8=0，‎ ‎∴解得t1=1，t2=﹣，‎ 又∵＞0，即t＞0，‎ ‎∴t2=﹣不符合题意舍去，‎ ‎∴t所有可能值的和为1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（　　）‎ A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤‎ ‎【考点】相似三角形的判定；平行线的判定；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．‎ ‎【解答】解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；‎ ‎∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；‎ ‎①∵∠ACB=∠DCE=45°，‎ ‎∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE；‎ 即∠ECB=∠DCA；故①正确；‎ ‎②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；‎ 当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；‎ 故②不完全正确；‎ ‎④∵，∴；‎ 由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；‎ ‎∴∠DAC=∠B=45°；‎ ‎∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；‎ ‎③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；‎ ‎∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；‎ ‎∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；‎ 因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；‎ ‎⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；‎ ‎△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；‎ 由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；‎ 故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=1；‎ 故S梯形ABCD=（1+2）×1=，故⑤正确；‎ 因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．‎ ‎　‎ 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=　120　度．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】根据圆内接四边形的性质，可得∠A+∠C=180°，联立∠A、∠C的比例关系式，可求得∠A的度数，进而可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOD的度数．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠A+∠C=180°；‎ 又∠A：∠C=1：2，得∠A=60°．‎ ‎∴∠BOD=2∠A=120°．‎ 故答案为：120．‎ ‎　‎ ‎12．分解因式：a3﹣4a（a﹣1）=　a（a﹣2）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】首先利用整式的乘法把式子整理成a3﹣4a2+4a，再提取公因式a，然后再利用完全平方公式进行二次分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=a3﹣4a2+4a=a（a2﹣4a+4）=a（a﹣2）2，‎ 故答案为：a（a﹣2）2．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．‎ ‎【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，‎ ‎∴使△ABC为直角三角形的概率是：．‎ 故答案为：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎14．若x=2t﹣5，y=10﹣t，S=xy，则当t=　　 时，S的最大值为　　．‎ ‎【考点】二次函数的最值．‎ ‎【分析】根据题意列出S关于t的函数解析式，并配方成顶点式，结合二次函数的性质即可得出最值．‎ ‎【解答】解：∵S=xy=（2t﹣5）（10﹣t）‎ ‎=﹣2t2+25t﹣50‎ ‎=﹣2（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，S的最大值为，‎ 故答案为：，．‎ ‎　‎ ‎15．正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是　　 cm2．‎ ‎【考点】正方形的性质．‎ ‎【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．‎ ‎【解答】解：连接BD，EF．‎ ‎∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），‎ ‎∴△ABD的面积=正方形ABCD的面积=a2．‎ ‎∵△BCD中EF为中位线，‎ ‎∴EF∥BD，EF=BD，‎ ‎∴△GEF∽△GBD，‎ ‎∴DG=2GE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△BDE的面积=△BCD的面积．‎ ‎∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=•a2=a2．‎ ‎∴阴影部分的面积=a2+a2=a2．‎ 故答案为： a2．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=4，AB=6，∠A=∠B=60°，则BC的长为　10　．‎ ‎【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】首先延长AO交BC于D，作OH⊥BC于H，由∠A=∠B=60°，可判断△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质可求得BD的长，再由含30°角的直角三角形的性质，求得DH的长，则可得到BH的长，根据垂径定理的性质，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：延长AO交BC于D，作OH⊥BC于H，‎ ‎∵∠A=∠B=60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴∠ADB=60°，AD=BD=AB=6，‎ ‎∴OD=AD﹣OA=6﹣4=2，‎ 在Rt△ODH中，∠ODH=60°，‎ ‎∴∠DOH=30°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DH=OD=1，‎ ‎∴BH=BD﹣DH=6﹣1=5，‎ ‎∵OH⊥BC，‎ ‎∴BC=2BH=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ 三、全面答一答（本题有7小题，共66分，）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．‎ ‎17．计算：6tan230°﹣cos30°•tan60°﹣2sin45°+cos60°．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值计算．‎ ‎【解答】解：原式=．‎ ‎　‎ ‎18．在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．‎ ‎（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；‎ ‎（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．‎ ‎【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两数差为0的结果数，然后根据概率公式求解；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）先找出这两数的差为非正数的结果数和这两数的差为正数的结果数，再根据概率公式计算出小马赢的概率和小虎赢的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏是否公平．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中两数差为0的结果数为3，‎ 所以 P（两数差为0）==；‎ ‎（2）该游戏公平．理由如下：‎ 因为这两数的差为非正数的结果数为6，这两数的差为正数的结果数为6，‎ 小马赢的概率==，小虎赢的概率==，‎ 所以游戏公平．‎ ‎　‎ ‎19．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F=45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．‎ ‎【分析】过B作DF的垂线，设垂足为E；可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF﹣AE，即可得出AF的长度．‎ ‎【解答】解：过B作BE⊥DF于E．‎ Rt△ABE中，AB=20m，∠BAE=60°，‎ ‎∴BE=AB•sin60°=20×=30，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 AE=AB•cos60°=20×=10．‎ Rt△BEF中，BE=30，∠F=45°，‎ ‎∴EF=BE=30．‎ ‎∴AF=EF﹣AE=30﹣10≈13，‎ 即AF的长约为13米．‎ ‎　‎ ‎20．如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的，请说明理由．（写出证明及计算过程）‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】本题中易证四边的四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1﹣x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积，然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的，来列方程求解．‎ ‎【解答】解：∵A1B1C1D1是正方形，‎ ‎∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1，‎ ‎∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°，∠AA1D1+∠BA1B1=90°，‎ ‎∴∠AD1A1=∠BA1B1，‎ 同理可得：∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C，‎ ‎∵∠A=∠B=∠C=∠D，‎ ‎∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AA1=D1D，‎ 设AD1=x，那么AA1=DD1=1﹣x，‎ Rt△AA1D1中，根据勾股定理可得：‎ A1D12=x2+（1﹣x）2，‎ ‎∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+（1﹣x）2=，‎ 解得x=，x=．‎ 答：依次将四周的直角边分别为和的直角三角形减去即可．‎ ‎　‎ ‎21．如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．‎ ‎（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；‎ ‎（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）连OP，根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°，则∠PAO=∠APO=30°，利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°，则∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°，根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连BC，由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，利用： =1：2，则∠ABC=2∠BAC，所以有∠BAC=30°，∠ABC=60°，而∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 PAE=30°，得到AE垂直平分PC，设BE=x，然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE：EB：BD的值；‎ ‎（3）根据圆周角定理由弧AC=弧BC，得到∠CAB=∠APC，OC⊥AB，根据相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA，则，即AC2=PC•CE，利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8，即可得到CE•CP的值．‎ ‎【解答】解：（1）PD与⊙O相切．理由如下：‎ 连接OP，‎ ‎∵∠ACP=60°，‎ ‎∴∠AOP=120°，‎ 而OA=OP，‎ ‎∴∠PAO=∠APO=30°，‎ ‎∵PA=PD，‎ ‎∴∠D=∠PAD=30°，‎ ‎∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，‎ ‎∴∠OPD=120°﹣30°=90°，‎ ‎∵OP为半径，‎ ‎∴PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连BC，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵： =1：2，‎ ‎∴∠ABC=2∠BAC，‎ ‎∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，‎ 而∠PAE=30°，‎ ‎∴∠APE=∠DPE=60°，‎ ‎∴AE垂直平分PC，如图，‎ 设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，‎ 在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，‎ ‎∴AE=AB﹣BE=3x，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵PA=PD，PE⊥AD，‎ ‎∴AE=DE，‎ ‎∴DB=3x﹣x=2x，‎ ‎∴AE：EB：BD的值为3：1：2；‎ ‎（3）如图，连接OC，‎ ‎∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，‎ ‎∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，‎ 而∠ACE=∠PCA，‎ ‎∴△ACE∽△PCA，‎ ‎∴，即AC2=PC•CE，‎ ‎∵A02+OC2=AC2=8，‎ ‎∴PC•CE=AC2=8．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22．如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO=10，sin∠BOA=．‎ ‎（1）在图中，求作△ABO的外接圆（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；‎ ‎（3）若A，O位置不变，将点B沿x轴向右平移使得△ABO为等腰三角形，请求出平移后点B的坐标．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）作OB，AB的垂直平分线交于一点M，以点M为圆心，MA为半径画圆，则圆M即为所求；‎ ‎（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，在Rt△OHB中，由BO=10，sin∠BOA=，得到BH=6，OH=8，求出点B的坐标为（8，6），根据OA=20，OH=8，求出AH=12，在Rt△AHB中，由BH=6，得到AB==6，求出cos∠BAO==；‎ ‎（3）①当BO=AB时，由AO=20，得到OH=10，点B沿x轴正半轴方向平移2个单位；‎ ‎②当AO=AB′时，由AO=20，得到AB′=20，过B′作B′N⊥x轴，由点B的坐标为（8，6），得到B′N=6，AN==2．求得点B沿x轴正半轴方向平移（2+12）个单位，‎ ‎③当AO=OB″时，由AO=20，得到OB″=20，过B″作B″P⊥x轴．由B的坐标为（8，6），得到B″P=6，OP==2，点B沿x轴正半轴方向平移（2﹣8）个单位．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）如图，作BH⊥OA，垂足为H，‎ 在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BH=6，‎ ‎∴OH=8，∴点B的坐标为（8，6），‎ ‎∵OA=20，OH=8，∴AH=12，‎ 在Rt△AHB中，∵BH=6，‎ ‎∴AB==6‎ ‎∴cos∠BAO==；‎ ‎（3）①当BO=AB时，∵AO=20，∴OH=10，‎ ‎∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位，‎ ‎②当AO=AB′时，∵AO=20，∴AB′=20，‎ 过B′作B′N⊥x轴，‎ ‎∵点B的坐标为（8，6），‎ ‎∴B′N=6，∴AN==2．‎ ‎∴点B沿x轴正半轴方向平移（2+12）个单位，‎ ‎③当AO=OB″时，‎ ‎∵AO=20，‎ ‎∴OB″=20，‎ 过B″作B″P⊥x轴．‎ ‎∵B的坐标为（8，6），‎ ‎∴B″P=6，‎ ‎∴OP==2，‎ ‎∴点B沿x轴正半轴方向平移（2﹣8）个单位，‎ 综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、（2+12）个单位，或（2﹣8）个单位时，△ABO为等腰三角形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎23．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．‎ ‎（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，﹣5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；‎ ‎（3）本题要分两种情况进行讨论：‎ ‎①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．‎ ‎②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，‎ ‎∴∠OCA+∠OCB=90°，‎ 又∵∠OCB+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠OCA=∠OBC，‎ 又∵∠AOC=∠COB=90°，‎ ‎∴△AOC∽△COB，‎ ‎∴．‎ 又∵A（﹣1，0），B（9，0），‎ ‎∴，‎ 解得OC=3（负值舍去）．‎ ‎∴C（0，﹣3），‎ 故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），‎ ‎∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a=，‎ ‎∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣9），‎ 即y=x2﹣x﹣3．‎ ‎（2）∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），‎ ‎∴OO′=4，O′（4，0），‎ ‎∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，‎ ‎∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，‎ 连接O′D交BC于点M，‎ 则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．‎ ‎∴O′D⊥x轴 ‎∴D（4，﹣5）．‎ ‎∴设直线BD的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得 ‎ ‎∴直线BD的解析式为y=x﹣9．‎ ‎∵C（0，﹣3），‎ 设直线BC的解析式为：y=ax+b，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=x﹣3．‎ ‎（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，‎ 解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 =．‎ 分两种情况（如图所示）：‎ ‎①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．‎ ‎∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，‎ 因此，点Q1（7，﹣4）符合 =，‎ ‎∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），‎ ‎∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x﹣．‎ 解方程组 ‎ 得 ‎ ‎∴点P1坐标为（，），坐标为（，）不符合题意，舍去．‎ ‎②∵Q1（7，﹣4），‎ ‎∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 =．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．‎ ‎∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．‎ 解方程组 ‎ 得，‎ 即 ‎ ‎∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．‎ ‎∴符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．‎ 解法二：分两种情况（如图所示）：‎ ‎①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．‎ ‎∵B（9，0），C（0，﹣3）．‎ ‎∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x﹣3．‎ 又∵DP1∥CB，‎ ‎∴设直线DP1的解析式为y=x+n．‎ 把D（4，﹣5）代入可求n=﹣，‎ ‎∴直线DP1解析式为y=x﹣．‎ 解方程组 ‎ 得 ‎ ‎∴点P1坐标为（，）或（，）（不符合题意舍去）．‎ ‎②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），‎ ‎∴∠NDB=∠CBD．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由①知，直线BC解析式为y=x﹣3．‎ 取x=4，得y=﹣，‎ ‎∴M（4，﹣），‎ ‎∴O′N=O′M=，‎ ‎∴N（，0），‎ 又∵D（4，﹣5），‎ ‎∴直线DN解析式为y=3x﹣17．‎ 解方程组 ‎ 得，‎ ‎∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．‎ ‎∴符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．‎ 解法三：分两种情况（如图所示）：‎ ‎①求点P1坐标同解法二．‎ ‎②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，‎ 此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．‎ 由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，‎ 又∵C（0，﹣3）‎ ‎∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，‎ 设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，‎ 连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，‎ 由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，‎ DG的解析式为y=3x﹣17，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解方程组 ‎ 得，‎ 即 ‎ ‎∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．‎ ‎∴符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年3月10日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费