由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2016~2017学年度第二学期期末联考试题
高二数学(文科)
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数满足，则的虚部为
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】，虚部为．
【考点】复数的运算与复数的定义．
2. 已知集合，集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以=
3. 设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且，则
“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由题意可知，b⊥m⇒a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
显然平面α与平面β不垂直。所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内。直线b在平面β内，且b⊥m，则“”是“”的必要不充分条件。
故选B.
4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：∵当时，，∴命题为假命题；∵，图象连续且，
∴函数存在零点，即方程有解，∴命题为真命题，由复合命题真值表得：为假命题；为真命题；为假命题；为假命题.选故B....
考点：1、复合命题的真假判断；2、指数函数；3、函数与方程.
5. 与直线关于x轴对称的直线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】B
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：
7. 若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得双曲线的渐近线为：，与圆至多有一个交点，则,由，故选C
8. 设x，y满足约束条件 则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】B
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【解析】作出如图：则表示阴影区域点与原点的连线的斜率，故
9. 若抛物线上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】试题分析：，即，代入抛物线中，，所以或.
∴或.
考点：1.抛物线的焦点；2.抛物线的对称轴；3.抛物线的标准方程.
10. 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示。若输入m=98，n=63，则输出的m=
A. 7 B. 28 C. 17 D. 35
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【答案】A
【解析】执行所示程序运算得：，故m=7
点睛：根据题意先做出可行域，将问题目标函数理解为与原点的斜率问题是解题关键...
11. 在三棱锥中，，为等边三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：取的中点，连接，则，所以或其补角就是异面直线和所成角．因为为正三角形，所以．设，因为平面，所以，所以，故选B．
考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．
【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
12. 已知函数，则函数的零点个数是
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】D
【解析】∵f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)∴极值点为x=−1，1，
f(−1)=2为极大值，f(1)=−2为极小值，
因此f(x)=0有3个不同的实根，
由f(−2)=−20，
知三个实根x1，x2，x3分别位于区间(−2,−1)，(−1,1)，(1,2)，
h(x)的零点相当于
f(x)=x1，f(x)=x2，f(x)=x3，
同样由上分析，以上每个方程都有3个不同的实根，所以h(x)共有9个不同的零点；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
故选：D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）
13. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y/万元
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为______．
【答案】11.8万元
【解析】由题意可得(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10，
(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8，
代入回归方程可得a=8−0.76×10=0.4，
∴回归方程为y=0.76x+0.4，
把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故答案为：11.8.
14. 设数列的前n项和为，满足，则______．
【答案】4
【解析】当时，，所以.
当时，由可得，
两式相减可得：.
所以.
所以是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以.
15. 设圆的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为______．
【答案】
【解析】设点A(0，a)，B（b，0）则，又直线AB
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
与圆相切，所以当且仅当a=b时取得等号，化简可得当a=b=2时取得最小值，故当|AB|取最小值时，切线l的方程为
16. 设表示不超过x的最大整数，如：．给出下列命题：
①对任意实数x，都有；
②若，则；
③；
④若函数，则的值域为．
其中所有真命题的序号是______．
【答案】①②④...
【解析】试题分析：根据定义①②显然正确；对③：，，，所以，故错；对④：时，，，所以，.所以；同理时，；时，.故④正确.
考点：新定义.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，若对恒成立，求实数的最小值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）先利用等差数列求出数列通项公式；（2）化简
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
利用拆项法求出前n项和，化简 处理恒成立问题．
试题解析：（Ⅰ）由，解得
于是，
（Ⅱ）因为，
所以，
因为 对任意恒成立，
且
当且仅当时，取“”，所以
即实数的最小值为
考点：1、等差数列通项公式；2、拆项法求和；3、均值不等式的应用．
【方法点晴】本题主要考查的是等差数列的综合应用，拆项法求和，属于中档题．解题时需要用到均值不等式拆项法在通项公式等问题中有较大用处．
18. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评。某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1 男生 表2 女生
等级
优秀
合格
尚待改进
等级
优秀
合格
尚待改进
15
x
5
15
3
y
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
频数
频数
（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中合格恰有1人测评等级为合格的概率；
（Ⅱ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
男生
女生
合计
优秀
非优秀
合计
参考数据与公式：，其中．
临界值表：
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的法则，求出与的值，得到表中中非优秀学生共人，从这人中任选人的所有可能结果共种，其中恰有人测评等级为合格的情况共种，所以其概率为；（2）根据公式可得，判断出没有%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
试题解析：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，
∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．
设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，
则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．
∴P（C）==，故所求概率为．
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
（2）
∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，
而K2====1.125＜2.706，
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
考点：独立性检验．
19. 如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF
是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA =90o，
，M是线段AE上的动点．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC//平面MDF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求平面MDF将几何体分成两部分的体积之比．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（答1:4，4，4:1均可）
【解析】试题分析：（Ⅰ）连结交于，连结，先证是的中点，再证，进而可证平面；（Ⅱ）先将几何体补成三棱柱，再计算平面将几何体分成的两部分的体积，进而可得平面将几何体分成的两部分的体积之比．
试题解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC//平面MDF，证明如下：
连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN//AC
所以AC//平面MDF
（Ⅱ）如图，将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－，...
三棱柱ADE－的体积为△ADE·CD=
则几何体ADE－BCF的体积
又 三棱锥F－DEM的体积
∴ 两部份的体积之比为：（）=（答案：1：4，4，4：1均可）
考点：1、线面平行；2、空间几何体的体积．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【方法点晴】本题主要考查的是线面平行和空间几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了割补法．
20. 已知函数．
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）（）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求函数在x=1处的切线方程；
（Ⅱ），求导数，分类讨论，确定单调性，即可求实数的取值范围．
试题解析：
（Ⅰ）
故切线方程为
（Ⅱ）设
则
①若，即，则，
则在上单调递增
又，即对，恒成立，不符舍去
②若，即，
则令得，
令得
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
则在上单调递减，在上单调递增…9分
又，则要使存在，使得成立，必有
即
综上所述，a的取值范围为（）....
点睛：利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a有解，只需f(x) max≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x) min≤a即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
21. 已知椭圆，抛物线的焦点均在x轴上，的中心和的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．
（Ⅰ）求，的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l满足条件：①过的焦点F；②与交于不同的两点M，N且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ），：；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）设抛物线，则有
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
，据此验证四个点即可求解（2）首先假设存在直线满足条件，利用向量垂直时求出直线参数k即得结论
试题解析：
（Ⅰ）设抛物线，则有，
据此验证四个点知，在抛物线上，
易得，抛物线的标准方程为
设椭圆，把点，代入可得
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性可设的焦点为F（1，0），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
直线l交椭圆于点
，不满足题意
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 并设
由，消去y得， ，
于是...
①，
由得 ②
将①代入②式，得，解得
所以存在直线l满足条件，且l的方程为或
请考生在22，23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
22. 【选修4—4坐标系与参数方程选讲】
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合。曲线（t为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）将曲线，分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；
（Ⅱ）设F（1，0），曲线与曲线相交于不同的两点A，B，求的值．
【答案】（Ⅰ）：，表示一条直线；：，表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线；
（Ⅱ）8.
【解析】试题分析：（1）根据方程组消去t即得普通方程，曲线的方程可变形为，化为直角坐标方程可得（2）由题可知F（1，0）为直线所过的定点也为抛物线的焦点，故根据抛物线的性质可得=,联立方程由韦达定理即可得出结论
试题解析：
（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程得，表示一条直线．
曲线的方程可变形为，化为直角坐标方程可得
曲线表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线
（Ⅱ）由，消去y，可得
设，则，易知F（1，0）为曲线的焦点
所以=
点睛：要熟悉参数方程和极坐标化普通方程的运用，然后根据抛物线焦点弦的性质即可结论
23. 【选修4—5不等式选讲】
已知的最小值为b.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）已知，求证：．
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）首先将函数的分段表达式写出，求出每段函数最小值，取其中最小得即为结论（2）由（Ⅰ）知，设，则
试题解析：
（Ⅰ）
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设，则
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付