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遂宁市高中2018级第四学期教学水平监测
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．复数为纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．
2．已知则使得成立的一个必要不充分条件为
A． B． C． D．
3．在的展开式中，常数项为
A．135 B．105 C．30 D．15
4．已知的取值如图所示，若与线性相关，且线性回归方程为
x
1
2
3
y
6
4
5
，则的值为
A． B．
C． D．
5．设函数的图象上点处的切线斜率为，
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则函数的大致图象为
6．运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加遂宁市劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有
A．72种 B．48种 C．36种 D．54种
9．已知圆(x＋3)2＋y2＝64的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为(3，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．设为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且，为坐标原点，若的面积分别为，则
A．36 B．48 C．54 D．64
11．已知都是定义在R上的函数,
，
在有穷数列 (n=1,2,…,10）中，任意取前k项相加，
则前k项和不小于的概率是
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A． B． C． D．
12．设为抛物线的准线上一点，F为C 的焦点，点P在C上且满足，若当m取得最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
A．3 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若…，
则 ▲
14．如图所示，机器人明明从A地移到B地，
每次只移动一个单位长度，则明明从A
移到B最近的走法共有 ▲ 种.
15．若“，使得”为假命题，则实数
的取值范围为 ▲
16．已知函数，现给出下列结论：
①有极小值，但无最小值
②有极大值，但无最大值
③若方程恰有一个实数根，则
④若方程恰有三个不同实数根，则
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其中所有正确结论的序号为 ▲
三、解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分，请写出必要的解答过程或文字说明）
17．（本题满分10分）
已知命题函数在区间上单调递增；
命题函数的定义域为；
若命题“”为假，“”为真，求实数的取值范围.
▲
18．（本题满分12分）
已知直线与抛物线交于两点.O为坐标原点
（1）求证：;
（2）若的面积为2，求的值.
▲
19．（本题满分12分）
已知函数
（1）对任意实数恒成立，求的最大值；
（2）若函数恰有一个零点，求的取值范围.
▲
20．（本题满分12分）
现在颈椎病患者越来越多，甚至大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关，在遂宁市中心医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查，得到了如下的4×4列联表：
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未过度使用
过度使用
合计
未患颈椎病
15
5
20
患颈椎病
10
20
30
合计
25
25
50
（1）是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？
（2）已知在患有颈锥病的10名未过度使用电子产品的大学生中，有3名大学生又患有肠胃炎，现在从上述的10名大学生中，抽取3名大学生进行其他方面的排查，记选出患肠胃炎的学生人数为，求的分布列及数学期望．
参考数据与公式：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
▲
21．（本题满分12分）
已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求的取值范围.
▲
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值；
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（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；
（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.试比较与0的关系，并给出理由.
▲
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数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×12=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
D
B
D
C
D
B
B
C
A
二、填空题（5×4=20分）
13． 14． 15． 16．②④
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．)
17．（10分）
………………2分
………………4分
………………5分
………………7分
………………9分
………………10分
18．（12分）
………………2分
………………4分
………………6分
………………7分
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………………9分
………………10分
………………12分
19．（12分）
………………4分
………………6分
………………8分
………………10分
…………12分
20．（12分）
解：（1）
且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%， ………………3分
∴我们有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关系；
………………4分
（2）根据题意，ɛ的所有可能取值为0，1，2，3； ………………5分
∴P（=0）==，P（=1）==，
P（=2）==，P（=3）==； ………………9分
∴的分布列如下：
0
1
2
3
P（）
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………………10分
∴的数学期望为Eɛ=0×+1×+2×+3×==0.9．………………12分
21．（12分）
解：(1) ………………3分
………………4分
(2)
………………5分
………………6分
………………7分
………………8分
…………9分
………………11分
………………12分
22．（12分）
解：（1）
函数在[,1]是增函数，在是减函数，
所以． ………………3分
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（2）因为，所以，
因为在区间单调递增函数 ，所以在（0，3）恒成立
，有=，（）
综上： ………………7分
（3）与0的关系为：理由如下：
∵，又有两个实根，
∴，两式相减，得，
∴, ………………9分
于是
．
．
要证：，只需证：
只需证：．(*) ………………11分
令，∴(*)化为 ，只证即可．
在（0，1）上单调递增，，
即．∴． ………………12分
（其他解法根据情况酌情给分）
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