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开放探究专题
王文涛
开放探究题是相对于条件完备,结论明确的题型而言的,其特征是满足结论的条件不全,或满足条件的结论不唯一,或推理过程不确定,需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条件,结论或选择相关的求解途径.这类问题知识覆盖面广,题型灵活多变,是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题.
一、条件开放型
条件开放探究题一般是已给出问题的结论,而要求补加满足结论条件的一类题型,其特征是问题的条件不完备,且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条件,即不一定由结论唯一推出.
解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,逆向追索,逐步探求其合乎要求的一些条件.
例1 (2015•娄底)如图1,已知AB=BC,要使△ABD≌△CBD,还需要加一个条件,你添加的条件是______,(只需写一个,不添加辅助线).
图1
解析:由已知AB=BC及公共边BD=BD可知,要使△ABD≌△CBD,已经具备了两条边相等,根据全等三角形的判定定理,应该有两种方法SAS或SSS能使这两个三角形全等.所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD.
评注:根据图形探究三角形全等的条件,除了根据基本判定方法以外,还应善于挖掘图形中隐藏条件(如公共边、公共角、对顶角等),以及线段的和差、角的和差关系等.
例2 (2015•梅州)已知,△ABC中,点E是AB边的中点,点F在AC边上,若以A,E,F为顶点的三角形与△ABC相似,则需要增加的一个条件是______(写出一个即可).
①
②
图2
解析:本题由于没有确定相似三角形的对应顶点,所以应分两种情况讨论:①当△AEF∽△ABC时(如图2-①),由点E为AB中点,得AF=AC(或点F为AC中点,EF∥BC,∠AEF=∠B等);若使△AFE∽△ABC(如图2-②),则应添加∠AFE=∠ABC或∠AEF=∠ACB等.
评注:本题考查了相似三角形判定的方法,可添加的条件较多,要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用.
跟踪训练:
1.(2015•黔东南)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,连接BD.请添加一个适当的条件_______________,使得△ABD≌△CDB.(只需写一个).
第1题图 第2题图
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2.(2015•牡丹江)如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件_______________(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.
二、结论开放型
结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论,而符合条件的结论往往呈现多样性,可很好的培养学生的发散思维.
在解答结论开放性探究题时,要充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻地分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证做出取舍;对于需要找出多个结论的结论开放性问题,可以运用分类讨论的思想,从各个不同的侧面入手,进行探索、分析,寻找问题的结论.
例3 (2015•淄博)对于两个二次函数,,满足.当时,二次函数的函数值为5,且二次函数有最小值3.请写出两个符合题意的二次函数的解析式_________(要求:写出的解析式的对称轴不能相同).
分析:已知当x=m时,二次函数y1的函数值为5,且二次函数y2有最小值3,故抛物线的顶点坐标为(m,3),设出顶点式求出m的确值即可.
解:因为当时,二次函数的函数值为5,的函数值为3,此时,所以当时,,即得或,又因为此时有最小值,故抛物线的顶点坐标为(,3),用顶点式设出解析式为,随着取值的不同,的解析式也不断变化,如当时,解析式为和.
C
·
O
A
B
P
评注:本题考查了二次函数的图象和性质,解答本题的关键是求出的值.
例4 (2015•崇左)如图3,线段AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠AOC=80°,点P是线段AB延长线上的一动点,连结PC,则∠APC的度数是________度(写出一个即可).
图3
分析:根据三角形外角性质可知,∠APC的度数大于零度,且小于∠APC度数,故只需求出∠ABC度数,便可确定∠APC的度数的范围.
解:因为圆周角∠ABC与圆心角∠AOC对的是同一条弧,所以∠ABC=∠AOC=40°.根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角,知∠APC<∠ABC,即0°<∠APC<40°,据此写一个度数即可.
评注:此题主要考查了圆周角定理,根据题意得出∠ABC的度数是解题关键.
跟踪训练:
3.(2015•益阳)已知y是x的反比例函数,当x > 0时,y随x
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的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 .
4.(2015•义乌)如果抛物线过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式y=2x2+3x﹣4.请你写出一个不同于小敏的答案________.
B
A
C
D
第4题图
5.(2015•潜江天门)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD.请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论,并证明你的结论.
三、综合开放性问题
综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题,此类问题没有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有多样性,要求学生通过合理推理,透彻分析总结出结论,从而培养学生的发散思维能力.
根据这类问题的特点,在解答时,必须认真观察与思考,将已知的信息集中分析,挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论,多方面、多角度、多层次探索条件和结论,并进行证明或判断.
例5 如图4,点A、B、D、E都在圆上,弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C.给出以下三个论断:①AB是圆的直径;②点D是BC中点;③AB=AC.以三个论断中的两个作为已知条件,第三个作为结论,写出一个你认为正确的命题,并加以证明.
图4
分析:以三个论断中两个为条件,一个为结论,共有三种组合:即由①②推出③;由①③推出②;由②③推出①.然后分别根据图形,结合所学知识,分析三个组合的正确与否即可.
解:正确的命题可以是由①②推出③,证明如下:
连接AD,因为AB是圆的直径,所以AD⊥BC.又因为点D为BC中点,
所以AD垂直平分BC.所以AB=AC.
(由①③推出②和由②③推出①也都是真命题,证明过程请自主完成)
评注:本题属于条件和结论全开放的问题,熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和90°的圆周角与直径的关系是解答本题的关键.
跟踪训练
6.如图,有以下3个条件:①AC=AB,②AB∥CD,③∠1=∠2,从这3个条件中任选2个作为题设,另1个作为结论,则组成的命题是真命题的概率是 ( )
A.0 B. C. D.1
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第6题图
7.(2015•烟台)先化简:,再从-2<x<3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值.
四、存在性问题
G
存在性问题是指在一定条件下,探索发现某种数学关系是否存在的一类问题,它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现.
解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的假设,按题目中条件和所学知识进行推理、计算,若推出的结论合理,则说明假设成立,反之,则假设不成立.
例5 (2015•攀枝花,有改动)如图5,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C.
图5
⑴求该抛物线的解析式;
⑵在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由.
分析:⑴把A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式,⑵设D(,),过点D作DH⊥x轴于点H,交BC于点G,设△BCD的面积为S,根据,即可求出S与t之间的函数关系式,从而求出D点坐标及△BCD面积的最大值.
解:⑴把A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=﹣x2+bx+c中得,
解得
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
⑵存在,理由如下:
设D(,).过点D作DH⊥x轴于点H,交BC于点G,由⑴易得点C的坐标为(0,3),
设直线BC的解析式为,将B(3,0)和C(0,3)代入,得
,解得,
所以直线BC的解析式为,则G点坐标为(,).
所以DG==-()=,
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设△BCD的面积为S,且,
所以S==,配方,得S=.
所以当时,面积有最大值为,此时点D坐标为(,).
评注:在解答坐标系中三角形面积问题时,通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形,或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。
跟踪训练:
8.(2015•黔东南)如图,已知二次函数的图像与轴的一个交点为A(4,0),与轴的交点为B,过A、B的直线为.
(1)求二次函数的解析式及点B的坐标;
(2)由图像写出满足的自变量的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
第8题图
跟踪训练参考答案:
1.,或,或,或.
2.AB∥CD;或AC∥BD;或∠BAO=∠DCO;或∠ABO=∠CDO;或DO=BO;或∠ADO=∠CBO.
3.答案不唯一,如.
4.本题答案不唯一,如y=x2﹣2x+2
5.(1)∠DAB=∠DCB;(2)BD平分∠ADC和∠ABC;(3)DB⊥AC,DB平分AC等均可.证明略.
6.D
7.原式=.可取x=2代入上式,==4.
注:所代入的数值不能是-1、0、1,其他的均可,
8.(1),点B的坐标为(0,3).
(2)x<0或x>4.
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