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实验操作专题
吴健
实验操作型试题是近几年中考数学的热点试题,这类试题就是让同学们在通过实际操作的基础上设计的问题,需要动手操作(包括裁剪、折叠、拼图等),合情猜想和验证,它既考查学生的动手能力,又考查学生的想象能力,不但有利于培养同学们的创新能力和实践能力,更有助于养成实验研究的习惯,体现新课程理念.,符合新课程标准强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习,因此,实验与操作问题将成为今后中考的热点题型.
一、折叠类
例1 如图1,小娟将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片(图①),沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形(图②),再将图②的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形(图③),则图③中的等腰直角三角形的一条腰长为________;同上操作,若小娟连续将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(图n+1)的一条腰长为_______.
① ② ③ n+1
图1
分析:已知图①的等腰直角三角形的直角边长为1,即,则可以利用勾股定理求出其斜边的长为,通过第一次折叠后,图①的等腰直角三角形的斜边的一半即变成图②的直角边,即图②的直角边长为,即,同理,可以得到图③的直角边长为,即,图④的直角边长为,即,由此可以猜想第n个图形中的等腰直角三角形的腰长为,折叠次后所得到的等腰直角三角形,即如图n+1的一条腰长为,即.
解:图③中的等腰直角三角形的一条腰长为;将图①的等腰直角三角形折叠n
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次后所得到的第n+1个等腰直角三角形的一条腰长为.
评注:求解本题时,一定要动手操作,经过大胆地猜想、归纳与验证,即可获得正确的结果.
跟踪训练:
1. 如图,将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位线)剪去上面的小直角三角形.
第1题图
将留下的纸片展开,得到的图形是( )
2. 如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )
A.10 cm2 B.20 cm2 C.40 cm2 D.80 cm2
A
B
C
D
第2题图
二、裁剪类
例2 如图2,有一块边长为1米的正方形钢板,被裁去长为米、宽为米的矩形两角,现要将剩余部分重新裁成一正方形,使其四个顶点在原钢板边缘上,且P点在裁下的正方形一边上,问:如何剪裁使得该正方形面积最大?最大面积是多少?
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图2 图3
分析:本题是一道与正方形裁剪有关的操作型问题,解决问题首先要画出草图,然后从图形中寻找解决问题的模型.如何剪裁使得该正方形面积最大,实际上是确定正方形顶点的位置,可借助相似三角形的性质构造方程解决.
解:如图3,设原正方形为ABCD,正方形EFGH是要裁下的正方形,且EH过点P.设AH=x,则BE=AH=x,AE=1-x.
∵MP∥AH,∴△EMP∽△EAH.
∴.整理,得12x2-11x+2=0.解得,.
当时,.
当时,.
∴当BE=DG=米,BF=DH=米时,裁下的正方形面积最大,最大面积为米2.
评注:解决问题利用相似三角形的性质构造方程,并借助一元二次方程的知识解决,既体现数形结合思想,又体现了方程思想.
例3 如图4,将正方形沿图中虚线(其中x<y)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).
(1) 画出拼成的矩形的简图;
(2) (2)求的值.
②
④
①
③
图5
②
①
③
④
x
y
x
y
y
x
图4
分析:拼接时抓住相等的边进行拼接(重合),再利用面积相等写出等式,合理整理就可求出(2)的值.
解:(1)如图4.
(2)解法一:由拼图前后的面积相等,得[(x+y)+y]y=(x+y)2.
∵y≠0,整理,得.
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解得(负值不合题意,舍去).
解法二:由拼成的矩形可知.
以下同解法一.
跟踪训练:
3.如图,△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2.
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图①),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.
(2)图①中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为S1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形的面积和为S2 (如图②),则S2= ;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方
①
第3题图
形的面积和为S3 (如图③);继续操作下去…则第10次剪取时,S10= .
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.
三、探究类
例4 如图6,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图②),量得他们的斜边长为10 cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图③的形状,但点B,C,F,D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图③至图④中统一用F表示).
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置,使点B与点F重合,请你求出平移的距离;
(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
③
②
①
(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置,AB1交DE于点H,请说明AH=DH.
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④
⑥
⑤
图6
分析:(1)根据题意,由对图形的操作过程可知图形平移的距离就是线段BC的长.
(2)依题意运用勾股定理求解.
(3)要说明AH=DH,由于∠FAB1=∠EDF=30°,可知FD=FA,EF=FB=FB1,从而得到AE=DB1,可以说明△AHE≌△DHB1,问题得解.
解:(1)图形平移的距离就是线段BC的长.∵在Rt△ABC中,斜边长为10cm,∠BAC=30°,∴BC=5cm,即平移的距离为5cm.
(2)∵∠A1FA=30°,∴∠GFD=60°,∠D=30°.∴∠FGD=90°.
在Rt△EFD中,ED=10 cm,∵FD=5 cm,∴FG=cm.
(3)在△AHE与△DHB1中,∵∠FAB1=∠EDF=30°,∴FD=FA,EF=FB=FB1,
∴FD-FB1=FA-FE,即AE=DB1.
又∵∠AHE=∠DHB1,∴△AHE≌△DHB1,∴AH=DH.
评注:动手操作的证明问题,既体现此类题型的动手能力,又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明,同时,从动手操作中学到知识,从操作中得到结论,这些都是借助图形的平移、旋转,读者应注意多加体会.
跟踪训练:
4.若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.
(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD;
(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由;
(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结论(不需要证明).
第4题图
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参考答案
1. 此题我们可以用一张纸按图示过程动手剪一剪,选A.
2. 剪下来的图形展开前是一个直角三角形,它的面积是所求菱形面积的四分之一;易知直角三角形的两直角边分别为2,,∴菱形面积为4S△=4××2×=10,故选A.
3.解: (1)如图甲,由题意,得AE=DE=EC.因为AC=2,所以EC=1,S正方形CFDE=1.如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x.
,.
又 甲种剪法所得的正方形的面积更大
注:图甲可另解为:由题意得点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,.
(2),.
(3)探索规律可知,
剩余三角形的面积和为.
4.解:(1)如图所示.
第4题图
(2)四边形EBCF是黄金矩形.证明:由题意知,,所以AD=AB.因为四边形ADFE是正方形,所以AD=AE.所以在四边形EBCF中,所以四边形EBCF是黄金矩形.
(3)在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后,所得到的另外一个四边形是矩形,而且是黄金矩形.
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