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[学业水平训练]
1．下列说法中不正确的是( )
A．数列a，a，a，…是无穷数列
B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值
C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
解析：选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．
2．数列{an}的通项公式an＝n2－4n，则数列{an}各项中最小的项是( )
A．第1项 B．第2项
C．第3项 D．第4项
解析：选B.∵an＝n2－4n＝(n－2)2－4，画出图像可知，当n＝2时，a2最小值为－4，故选B.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则an与an＋1间的大小关系是( )
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D．不能确定
解析：选B.∵an＝＝2－，
∴an＋1－an＝(2－)－(2－)＝－＝＞0∴an＋1＞an故选B.
4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．109 B．108
C．108 D．107
解析：选C.an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－n)＋3＝－2·(n－)2＋3＋，当n＝7时，an最大且等于108，
故选C.
5．已知数列{an}满足an＝an－1(n≥2)，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都有可能
解析：选D.若a1>0，则an＜an－1(n≥2)，{an}为递减数列；若a1＝0，则an＝0(n∈N＋)，{an}为常数列；若a1＜0，则an＞an－1(n≥2)．{an}为递增数列，故选D.
6．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55…中，x的值是________．
解析：可以看出该数列中，从第3项起，每一项都等于它的前两项的和，所以x＝8＋13＝21.
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答案：21
7．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列从第________项开始值大于零．
解析：令4n－102＞0，得n＞25，∴数列{an}从第26项开始值大于零．
答案：26
8．已知数列{an}为单调递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是________．
解析：由于数列{an}为单调递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝[(n＋1)＋]－(n＋)＝1－＞0，即λ＜n(n＋1)(n∈N＋)，所以λ＜2.
答案：(－∞，2)
9．已知：函数f(x)＝x－，数列{an}满足an＝f(n)(n∈N＋)，试判断数列{an}的单调性．
解：∵an＋1－an＝(n＋1)－－(n－)
＝1－[－]＝1－＞1－＝0，∴an＋1＞an.∴数列{an}是递增数列．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n.数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1≤cn.
解：(1)a1＝S1＝4.
对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.
综上，{an}的通项公式an＝4n.
将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.
(求bn方法1)对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，
Tn＝2－bn得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
bn＝bn－1，bn＝21－n.
(求bn方法2)对于n≥2，由Tn＝2－bn得
Tn＝2－(Tn－Tn－1)，
2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，
Tn－2＝21－n(T1－2)，
Tn＝2－21－n，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
综上，{bn}的通项公式bn＝21－n.
(2)证明：法一：由cn＝a·bn＝n225－n，得
＝(1＋)2.
当且仅当n≥3时，1＋≤
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