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第十五章分式单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1、化简分式的结果为（ ）
A、 B、+ C、 D、
2、若分式的值为零，则x的值为（ ）
A、-1 B、1 C、1或-1 D、0
3、如果分式的值为0，则x的值是
A、1 B、0 C、－1 D、±1
4、若x=－1，y=2，则 的值等于
A、 B、 C、 D、
5、下列式子是分式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④=0．属于分式方程的有（ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
7、下列分式从左至右的变形正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、要使分式有意义，则x应满足条件（ ）
A、x≠1 B、x≠﹣2 C、x＞1 D、x＞﹣2
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9、使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A、x≠1 B、x≠2 C、x≠1或x≠2 D、x≠1且x≠2
10、下列分式从左到右边形正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（共8题；共24分）
11、化简（x﹣）÷（1﹣）的结果是________ ．
12、随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯使现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.00000000034m，用科学记数法表示是________．
13、已知x为正整数，当时x=________时，分式 的值为负整数．
14、我国医学界最新发现的一种病毒其直径仅为0.000512mm，这个数字用科学记数法可表示为________ mm．
15、在等式 中，f2≠2F，则f1=________（用F、f2的式子表示）
16、分式 ，当x=________时分式的值为零．
17、利用分式的基本性质约分： =________．
18、关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是________．
三、解答题（共5题；共40分）
19、（2015•潜江）先化简，再求值：•，其中a=5．
20、阅读并理解下面解题过程: 因为为实数，所以，，所以.
请你解决如下问题: 求分式的取值范围.
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21、某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?
22、扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前4天完成，求实际每天栽树多少棵？
23、某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲单独做，则延误两天完成，那么规定时间是多少天？
四、综合题（共1题；共6分）
24、从2017年起，昆明将迎来“高铁时代”，这就意味着今后昆明的市民外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从昆明到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：(1)普通列车的行驶路程为________千米；(2)若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
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答案解析
一、单选题
1、【答案】 A
【考点】约分
【解析】【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】原式=＝ ．
故选：A．
【点评】分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
2、【答案】 A
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由x2-1=0，
得x=±1．
①当x=1时，x-1=0，
∴x=1不合题意；
②当x=-1时，x-1=-2≠0，
∴x=-1时分式的值为0．
故选：A．
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
3、【答案】 A
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须
故选A。
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4、【答案】 D
【考点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分后，约分化简。然后代x、y的值求值：
，
当x=－1，y=2时，。故选D。
5、【答案】 B
【考点】分式的定义
【解析】【解答】A分母中不含有字母的式子是整式，故A错误；B分母中含有字母的式子是分式，故B正确；
C分母中不含有字母的式子是整式，故C错误；
D分母中不含有字母的式子是整式，故D错误；
故选：B
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案
6、【答案】 B
【考点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：①2x+=10是整式方程，
②x﹣是分式方程，
③是分式方程，
④=0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选B．
【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．
7、【答案】 A
【考点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、分子、分母、分式改变其中任意两项的符号，分式的值不变，故A正确；
B、分子分母加数，分式的值改变，故B错误；
C、分子除以y，分母不变，故C错误；
D、当c=0时，分子分母都乘以c2无意义，故D错误．
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故选：A．
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案．
8、【答案】 A
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
9、【答案】 D
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，（x﹣1）（x﹣2）≠0，
解得x≠1且x≠2．
故选D．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
10、【答案】 C
【考点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、由左到右的变形不符合分式的基本性质，故A错误； B、当m+1=0时，不成立，故B错误；
C、正确；
D、由左到右的变形不符合分式的基本性质，故D错误．
故选：C．
【分析】依据分式的基本性质回答即可．
二、填空题
11、【答案】x﹣1
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=（
=
=x﹣1．
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故答案是：x﹣1．
【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，最后进行分式的乘法运算即可．
12、【答案】 3.4×10﹣10
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：0.00000000034=3.4×10﹣10 ，
故答案为：3.4×10﹣10
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ， 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13、【答案】 3、4、5、8
【考点】分式的值
【解析】【解答】解：由题意得：2﹣x＜0，解得x＞2，又因为x为正整数，讨论如下：
当x=3时， =﹣6，符合题意；
当x=4时， =﹣3，符合题意；
当x=5时， =﹣2，符合题意；
当x=6时， =﹣ ，不符合题意，舍去；
当x=7时， =﹣ ，不符合题意，舍去；
当x=8时， =﹣1，符合题意；
当x≥9时，﹣1＜ ＜0，不符合题意．故x的值为3，4，5，8．
故答案为3、4、5、8．
【分析】由分式 的值为负整数，可得2﹣x＜0，解得x＞2，又因为x为正整数，代入特殊值验证，易得x的值为3，4，5，8．
14、【答案】 5.12×10﹣4
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：0.000512mm，这个数字用科学记数法可表示为 5.12×10﹣4mm，
故答案为：5.12×10﹣4 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ， 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
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15、【答案】
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解：等式 ， 变形得： = ﹣ = ，
则f1= ．
故答案为 ．
【分析】等式变形后，通分并利用同分母分式的加法法则变形，即可表示出f1 ．
16、【答案】 -3
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分子x2﹣9=0解得：x=±3． 而x=3时，分母x﹣3=3﹣3=0，分式没有意义；
x=﹣3时，分母x﹣3=﹣3﹣3=﹣6≠0，
所以x=﹣3．
故答案为﹣3．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
17、【答案】﹣
【考点】约分
【解析】【解答】解： =﹣ ； 故答案为：﹣ ；
【分析】根据分式的基本性质先找出分子与分母的公因式，再进行约分即可．
18、【答案】 a＜﹣1且a≠﹣2
【考点】分式方程的解
【解析】【解答】解：去分母得2x+a=x﹣1， 解得x=﹣a﹣1，
∵关于x的方程 的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
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【分析】先去分母得2x+a=x﹣1，可解得x=﹣a﹣1，由于关于x的方程 的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．
三、解答题
19、【答案】解：原式=•=，
当a=5时，原式= ．
【考点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
20、【答案】
=
=
∵
∴
【考点】分式的值
【解析】【分析】注意不等式取值范围大于1小于等于2。
21、【答案】 解：设规定日期x天完成，则有：
，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：甲单独20天，乙单独25天完成．
方案（1）：20×1.5=30（万元），
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
【考点】分式方程的应用
【解析】【分析】设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4
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天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
22、【答案】 解：设原计划每天栽树x棵，根据题意可得： +4，
解得：x=50，
检验得：x=50是原方程的根，
故实际每天栽树：50×（1+20%）=60（棵），
答：实际每天栽树60棵
【考点】分式方程的应用
【解析】【分析】根据题意分别表示出实际栽树的天数和原计划的栽树的天数，进而得出等式求出答案．
23、【答案】解：设规定的时间是x天，则甲队单独完成需要（x+32）天，乙队单独完成需要（x+12天），由题意，得 20（ ）+ （x+2）=1，
解得：x=28．
经检验，x=28是元方程的解．
答：规定的时间是28天．
【考点】分式方程的应用
【解析】【分析】设规定的时间是x天，则甲队单独完成需要（x+32）天，乙队单独完成需要（x+12天），根据甲乙合作完成的工作量+乙独做完成的工作量=工作总量建立方程求出其解就可以了．
四、综合题
24、【答案】 （1）520
（2）解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2.5千米/时， 根据题意的： ，
解方程得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
所以120×2.5=300，
答：普通列车的平均速度120千米/时，高铁的平均速度为300千米/时
【考点】分式方程的应用
【解析】【解答】解：（1）已知从昆明到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍， 所以普通列车的行驶路程为：400×1.3=520千米，
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故答案为：520；
（1）根据普通列车的行驶路程=高铁行驶路程×1.3，即可求得答案；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
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