第二十二章二次函数单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1、西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（）
A、y＝－(x－)2＋3 B、y＝－3(x＋)2＋3
C、y＝－12(x－)2＋3 D、y＝－12(x＋)2＋3
2、抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A、2 B、4 C、8 D、16
4、抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为
A、 B、 C、 D、
5、下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）（ ）
A、y= B、y= C、y= D、y=ax2+bx+c
6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A、y=3x﹣1 B、y=ax2+bx+c C、s=2t2﹣2t+1 D、y=x2+
7、抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（ ）
A、（4，0） B、（0，4） C、（4，2） D、（4，﹣2）
8、已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2 ， 则y与x的函数关系式为（ ）
A、y=﹣2πx2+18πx B、y=2πx2﹣18πx C、y=﹣2πx2+36πx D、y=2πx2﹣36πx
9、已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b，c的值为（ ）
A、b=0，c=6 B、b=0，c=﹣5 C、b=0，c=﹣6 D、b=0．c=5
10、（2011•梧州）2011年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣ x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A、y=﹣ x2+ x+1 B、y=﹣ x2+ x﹣1
C、y=﹣ x2﹣ x+1 D、y=﹣ x2﹣ x﹣1
二、填空题（共8题；共30分）
11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来求得．
12、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是________
13、如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2 ， 金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是________ ．
14、函数y=2（x﹣1）2图象的顶点坐标为________．
15、二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是________，对称轴为________．
16、如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y= x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________
17、一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面的函数关系式；h=﹣5t2+10t+1，则小球距离地面的最大高度是________．
18、二次函数y=x2+6x+5图像的顶点坐标为________
三、解答题（共5题；共30分）
19、 在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．
20、已知抛物线y=x²-4x+3．
（1）该抛物线的对称轴是 ， 顶点坐标 ；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新的二次函数图像，请写出相应的解析式，并用列表，描点，连线的方法画出新二次函数的图像；
（3）新图像上两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），它们的横坐标满足x1＜-2，且-1＜x2＜0，试比较y1 ， y2 ， 0三者的大小关系．
21、已知抛物线l1的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求l1的解析式．
22、甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.
设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.(1)写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？(2)如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？
23、已知二次函数y=﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+7的图象．
四、综合题（共1题；共10分）
24、成都地铁规划到2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测：投资水泥生产销售后所获得的利润y1（万元）与投资资金量x（万元）满足正比例关系y1=20x；投资钢材生产销售的后所获得的利润y2（万元）与投资资金量x（万元）满足函数关系的图象如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点，AB∥x轴）．
(1)直接写出当0＜x＜30及x＞30时，y2与x之间的函数关系式；(2)某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为t（万元），生长销售完这两种材料后获得的总利润为W（万元）．
①求W与t之间的函数关系式；
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？
答案解析
一、单选题
1、【答案】 C
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为 米，由此得到顶点坐标为（ ，3)，所以设抛物线的解析式为y=a（x-)2+3，而抛物线还经过（0，0)，由此即可确定抛物线的解析式．【解答】∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，
∴顶点坐标为（，3)，
设抛物线的解析式为y=a（x-)2+3，
而抛物线还经过（0，0)，
∴0=a（)2+3，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x-)2+3．
故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题
2、【答案】C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0)，平移后抛物线顶点坐标为（-1，-2)，根据顶点式可确定抛物线解析式．【解答】由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（-1，-2)，又平移不改变二次项系数，∴得到的二次函数解析式为y=（x+1)2-2．故选C．
【点评】此类试题属于按难度一般的试题，只需考生掌握好评议的基本规律即可：左加右减等基本性质
3、【答案】 B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知：OBD的面积等于CAO
的面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积。
【解答】∵，
∴顶点坐标为C（2，－2）。
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4。
故选B。
4、【答案】 A
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】由二次函数的图象性质可知：的图象向右平移个单位长度将的值加上即可得到新的二次函数解析式，所以平移后的二次函数解析式为：.故选A.
5、【答案】A
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是二次函数，故A正确；
B、不是二次函数的形式，故B错误；
C、是分式，故C错误；
D、a=0是一次函数，故D错误；
故选：A．
【分析】根据函数y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
6、【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
D、y=x2+不是二次函数，故D错误；
故选：C．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
7、【答案】 B
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（0，4）．
故选B．
【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
8、【答案】 C
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，矩形的一条边长为xcm，则另一边长为：（36﹣2x）÷2=18﹣x（cm），
则圆柱体的侧面积y=2πx（18﹣x）=﹣2πx2+36πx，
故选：C．
【分析】先根据矩形周长求出矩形另一边长，根据圆柱体侧面积=底面周长×高，列出函数关系式即可．
9、【答案】 C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣9=（x﹣2）2﹣9，∴顶点坐标为（2，﹣9），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（0，﹣6），
则原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣6），
∵平移不改变a的值，
∴a=1，
∴原抛物线y=ax2+bx+c=x2﹣6，
∴b=0，c=﹣6．
故选C．
【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
10、【答案】 A
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m， ∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得：
，
解得： ，
∴这条抛物线的解析式是：y=﹣ x2+ x+1．
故选：A．
【分析】根据已知得出B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），代入解析式即可求出b，c的值，即可得出答案．
二、填空题
11、【答案】 y=；y=x2﹣3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，
也可在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．
∴求方程的近似解也可以利用熟悉的函数：y=和y=x2﹣3的图象交点的横坐标来求得．
故答案为：y=，y=x2﹣3．
【分析】根据在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，进而得出方程的近似解也可以利用熟悉的函数的交点得出．
12、【答案】
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：设为y=kx2 ，
由CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），
将其代入函数中得：﹣2.4=0.8×0.8×k，
解得k=﹣．
那么函数的解析式就是：y=﹣x2 ．
【分析】根据这个函数过原点，那么可设为y=kx2 ， 有CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可解决．
13、【答案】y=4x2+160x+1500
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
14、【答案】 （1，0）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2（x﹣1）2 ，
∴抛物线y=2（x﹣1）2的顶点坐标为：（1，0），
故答案为：（1，0）．
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
15、【答案】 （1，3）；x=1
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵y=﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x=1，
故答案为：（1，3）；x=1．
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．
16、【答案】 ①③②
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：①y=3x2 ，
②y= x2 ，
③y=x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y= x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
17、【答案】 6
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：h=﹣5t2+10t+1 =﹣5（t2﹣2t）
+1
=﹣5（t2﹣2t+1）+1+5
=﹣5（t﹣1）2+6，
﹣5＜0，
则抛物线的开口向下，有最大值，
当t=1时，h有最大值是6．
故答案为：6．
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出答案．
18、【答案】 （﹣3，﹣4）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【分析】已知二次函数y=x2﹣2x﹣3为一般式，运用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标．
三、解答题
19、【答案】解：如图，
相同点：开口方向和开口大小相同；
不同点：函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，
再向右平移1个单位长度所得到的，位置不同．
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】先画图象，函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度所得到的．开口方向和开口大小相同，位置不同．
20、【答案】 解：（1）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴该抛物线的对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，-1）；
（2）∵向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-1，1），
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2+1，
即y=x2+2x+2，
（3）由图可知，x1＜-2时，y1＞2，
-1＜x2＜0时，1＜y2＜2，
∴y1＞y2＞0．
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可；
（2）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出函数解析式即可，再根据要求作出函数图象；
（3）根据函数图象，利用数形结合的思想求解即可．
21、【答案】 解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+4，
把点（0，1）代入得，
1=a（0﹣3）2+4，
解得，a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣3）2+4
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】物线的顶点式解析式y=a（x﹣h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．
22、【答案】 （1）解：设甲库运往A地粮食x吨，则甲库运到B地（100-x）吨，乙库运往A地（70-x）吨，乙库运到B地 [80-（70-x）]=（10+x）吨．
根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x）
=-30x+39200(0≤x≤70)．
∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)．
∵一次函数中w=-30x+39200中，k=-30＜0
∴w的值随x的增大而减小
∴当x=70吨时，总运费w最省，
最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元）
答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元．
（2）解： 因为运费不能超过38000元，
所以w=-30x+39200≤38000，
所以x≥40.
又因为40≤x≤70，
所以满足题意的x值为40,50,60,70，
所以总共有4种方案.
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）设甲库运往A地粮食x吨，则甲库剩下（100-x）要送到B地，所以A地还需要（70-x）吨要从乙库运过来，所以从乙库运送[80-（70-x）]=（10+x）吨到B地，根据数量关系：总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费；（2）由题可得w=-30x+39200≤38000，解出x的取值范围，再取其中x为10的整数倍的数.
23、【答案】 解：答案如右图
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】根据图象平移的规律，可得答案．
四、综合题
24、【答案】 （1）解：当0＜x≤30时，根据题意设y2=a（x﹣30）2+900，
将原点（0，0）代入，得：900a+900=0，解得：a=﹣1，
∴y2=﹣（x﹣30）2+900=﹣x2+60x，
当x＞30时，y2=900
（2）解：①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为（100﹣t）万元，
当0＜t≤30时，W=y1+y2=20（100﹣t）+（﹣t2+60t）=﹣t2+40t+2000，
当t＞30时，W=20（100﹣t）+900=﹣20t+2900；
②∵t≥45，
∴W=﹣20t+2900，W随t的增大而减小，
∴当t=45时，W最大值=2000万元
答：当投资钢材部分的资金量为45万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2000万元．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）当0＜x≤30时，根据顶点A的坐标设其顶点式，将原点代入可得其解析式，当x＞30时，可得y2=900；（2）①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为（100﹣t）万元，分0＜t≤30、t＞30两种情况，根据W=y1+y2可得函数关系式；
②由t≥45可知W=﹣20t+2900，根据一次函数性质可得最值情况．
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