一元二次方程课时练习
1.2一元二次方程解法（1）
复习巩固
1．方程x2－256＝0的根是( )
A．16 B．－16
C．16或－16 D．14或－14
2．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为( )
A．x＝3＋
B．x1＝3＋，x2＝3－
C．x＝3－
D．x1＝3＋，x2＝3－
3．以下的配方运算中，不正确的是( )
A．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25
B．2t2－7t－4＝0，化为
C．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100
D．3x2－4x－2＝0，化为
4．若将方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是( )
A．3和5 B．－3和5 C．－3和14 D．3和14
5．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．
6．用适当的数填空．
(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；
(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；
(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.
7．方程(2x－1)2－25＝0的解为__________．
8．当x＝__________时，代数式x2－8x＋12的值是－4.
9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.
10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.
能力提升
11．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是( )
A．24 B．24或
C．48 D．
12．若4x2＋(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为( )
A．±12 B．－11或－12
C．13 D．13或－11
13．当x取任意值时，代数式x2－4x＋9的最小值为( )
A．0 B．9 C．5 D．4
14．在实数范围内定义一种运算“※”：a※b＝a2－b，按照这个规则，(x＋3)※25的结果刚好为0，则x的值为__________．
15．若(x2＋y2－5)2＝4，则x2＋y2＝__________.
16．用配方法解方程(x－1)2－2(x－1)＋＝0.
17．阅读理解：解方程4x2－6x－3＝0.
解：4x2－6x－3＝0，
配方，得4x2－6x＋－－3＝0，
即4x2－6x＋9＝12.
故(2x－3)2＝12.
即，
以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．
参考答案
复习巩固
1．C 因为x2－256＝0，所以x2＝256.
故x1＝16，x2＝－16，应选C.
2．B 因为(x－3)2＝8，所以x－3＝.
故x1＝3＋，x2＝3－.
3．A 由x2＋8x＋9＝0，配方可得(x＋4)2＝7.
4．C 将x2－6x－5＝0配方，得(x－3)2＝14，对应(x＋m)2＝n，可得出m＝－3，n＝14.故选C.
5．C 原式＝x2＋6x＋9－9＋a2＝(x＋3)2＋(a2－9)，
由其是一个完全平方式知a2－9＝0，得a＝±3.
6．(1) (2)1 1 (3)4b2 2b
7．3或－2 因为(2x－1)2－25＝0，所以(2x－1)2＝25.
所以2x－1＝±5.所以x1＝3，x2＝－2.
8．4 因为据题意可得x2－8x＋12＝－4，
所以x2－8x＋16＝0.所以(x－4)2＝0.所以x＝4.
9．解：原式两边都除以6，移项得x2－＝2.
配方，得，
即
因此或，
所以，.
10．解：原方程可化为x2＋8x＝16，
配方，得x2＋8x＋42＝16＋42，即(x＋4)2＝32，
所以x＋4＝.
所以，.
能力提升
11． B 解方程x2－16x＋60＝0，得x1＝10，x2＝6.
根据三角形的三边关系，知x1＝10，x2＝6均合题意．
当三角形的三边分别为6,8, 10时，构成的是直角三角形，其面积为×6×8＝24；
当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，
根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为，
此时三角形的面积为.故选B.
12．D 因为4x2＋(k－1)x＋9＝(2x)2＋(k－1)x＋32是完全平方式，所以k－1＝±2×2×3，
即k－1＝±12.
所以k＝13或k＝－11.
13．C x2－4x＋9＝x2－4x＋4＋5＝(x－2)2＋5.
因为(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋5的最小值为5，
即x2－4x＋9的最小值为5.
14．2或－8 由规则可得(x＋3)2－25＝0，解得x1＝2，x2＝－8.
15．7或3 由题意可知x2＋y2－5＝，
即x2＋y2＝5±2，
所以x2＋y2＝7或x2＋y2＝3.
16．解：设x－1＝y，则原方程可化为y2－2y＋＝0.
解得.
因此x－1＝，即.
故x1＝2＋，x2＝2－.
17．解：错在没有把二次项系数化为1.
正解：原式可化为，
配方，得，
即，，
得，.
一元二次方程课时练习
1.2一元二次方程解法（2）
复习巩固
1．一元二次方程2x2－3＝4x化为一般形式后，a，b，c的值分别为( )
A．2，－3,4 B．2，－4，－3
C．2,4，－3 D．2，－3，－ 4
2．一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是( )
A．x1＝1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝－1，x2＝－4 D．x1＝1，x2＝4
3．用公式法解方程x2－6x－6＝0，正确的结果是( )
A．x＝－3＋ B．x＝－3－
C．x＝－3± D．x＝3±
4．用公式法解方程2t2＝8t＋3，得到( )
A． B．
C． D．
5．若两个相邻正奇数的积为255，则这两个奇数的和是( )
A．30 B．31 C．32 D．34
6．一元二次方程3x2＋5＝4x中，b2－4ac的值为__________．
7．方程3x2－x－2＝0的解是____________．
8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3＝0有一根为0，则m的值是__________．
9．有一长方形的桌子，长为3m，宽为2m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__________，宽为__________．
10．用公式法解下列方程：
(1)2x2＋8x－1＝0；
(2)(x＋1)(x－1)＝.
能力提升
11．关于x的一元二次方程x2－m(3x－2n)－n2＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．1,3mn,2mn－n2 B．1，－3m,2mn－n2
C．1，－m，－n2 D．1,3m,2mn－n2
12．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.则利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3
C． x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－2
13．如果x2＋1与4x2－3x－5互为相反数，则x的值为__________．
14．已知线段AB的长为a.以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E.以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为__________．
15．解关于x的方程x2－m(3x－2m＋n)－n2＝0(其中m，n≥0)．
16．阅读材料，回答问题．
材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①，解得y1＝－2，y2＝3.
当y＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；
当y＝3时，x2＝3，解得.
所以原方程的解为，.
问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．
(2)利用上述的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.
参考答案
复习巩固
1．B
2．A 因为a＝1，b＝3，c＝－4，b2－4ac＝32－4×1×(－4)＝25，所以.所以x1＝1，x2＝－4.
3．D 因为a＝1，b＝－6，c＝－6，b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；
所以.
4.A 5.C 6.-44 7.
8．－3 由题意，得m2＋2m－3＝0，且m－1≠0.解得m＝－3.
9．4m 3m 桌布的面积为3×2×2＝12(m2)．设垂下的长度为x，则(3＋2x)(2＋2x)＝12，解得.故桌布的长为4m，宽为3m.
10．解：(1)a＝2，b＝8，c＝－1，代入公式，得，.
(2)原方程化简得x2－－1＝0，a＝1，，c＝－1，代入公式，
得，.
能力提升
11．B 原方程可化为x2－3mx＋2mn－n2＝0.故选B.
12．D 由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法，设2x＋5＝y，则(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0可化为y2－4y＋3＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，即2x＋5＝1，解得x＝－2；当y＝3时，即2x＋5＝3，解得x＝－1.所以方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为x1＝－1，x2＝－2.
13．或 由题意，得＋1＋4x2－3x－5＝0，解得或.
14． 设AE的长为x，则BE的长为a－x，根据题意，得x2＝(a－x)·a.
解得.故AE的长为.
一元二次方程课时练习
1.2一元二次方程解法（3）
复习巩固
1．一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
2．下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A．x2－＋5＝0
B．2x2＋4x＋35＝0
C．2x2－15x－50＝0
D．
3．一元二次方程x2＋4x＋c＝0中，c＜0，该方程的根的情况是( )
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
4．若关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．0 B．8 C．4± D．0或8
5．若一元二次方程x2－ax＋2＝0有两个实数根，则a的值可以是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若关于x的方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞－1 B．k≥－1
C．k＞1 D．k≥0
7．关于x的一元二次方程x2－ax＋(a－1)＝0的根的情况是__________．
8．若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__________．
9．当k取何值时，关于x的一元二次方程x2－4x＋k－5＝0
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根．
能力提升
10．对于关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有一个实数解
C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
11．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为__________．
13．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．
14．证明不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
15．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
参考答案
复习巩固
1．D 因为Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以原方程无实数根．
2．A
3．B 由于Δ＝42－4c＝16－4c，而c＜0，故Δ＞0.因此该方程有两个不相等的实数根．
4．D 由题意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.解得m1＝0，m2＝8.故选D.
5．D 由题意，得(－a)2－4×1×2≥0.化简，得a2≥8.四个选项中满足a2≥8的只有3，故选D.
6．D 由题意得解得k≥0.
7．有实数根 因为Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有实数根．
8．k≤4，且k≠0 由|b－1|＋＝0，得a＝4，b＝1.
故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.
因为该方程有实数根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.
解得k≤4，且k≠0.
9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.
(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即36－4k＞0.解得k＜9.
(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即36－4k＝0.解得k＝9.
(3)因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即36－4k＜0.解得k＞9.
能力提升
10．C 当k＝0时，方程变为x－1＝0，x＝1.
故选项A错误．
当k＝1时，方程变为x2－1＝0，方程有两个实数解x1＝1，x2＝－1.故选项B错误；
当k＝－1时，方程变为－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故选项C正确，选项D错误．故选C.
11．B 原方程可变形为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.
依题意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.
整理，得b2＋c2＝a2.
所以此三角形是直角三角形．故选B.
12．，且a≠0 因为方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，所以4－16a＞0，解得.
因为ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0.
13．8 讨论：(1)若a＝6，则原方程变为－8x＋6＝0.
此时.
(2)若a≠6，则b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得.
综上，.故整数a的最大值为8.
14．证明：因为b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，
所以不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
15．(1)证明：因为k是整数，所以.所以2k－1≠0.
因为b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．
(2)解：y是k的函数．
解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得.
所以x＝3或x＝1＋.
因为k是整数，k≠0，所以.
所以1＋≤2＜3.
又因为x1＜x2，所以x1＝1＋，x2＝3.
所以.
一元二次方程课时练习
1.2一元二次方程解法（4）
复习巩固
1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是( )
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1
2．一元二次方程x2－x＋＝0的根是( )
A．， B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝ D．x1＝x2＝
3．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较为简便的方法是( )
A．直接开平方法 B．因式分解法
C．配方法 D．公式法
4．方程x(x－4)＝32－8x的解是( )
A．x＝－8 B．x1＝4，x2＝－8
C．x1＝－4，x2＝8 D．x1＝2，x2＝－8
5．用因式分解法把方程(x－1)(x－2)＝12分解成两个一元一次方程，下列分解中正确的是( )
A．x－5＝0，x＋2＝0 B．x－1＝3，x－2＝4
C．x－1＝2，x－2＝6 D．x＋5＝0，x－2＝0
6．如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，那么方程x2－6mx＝0的根为( )
A．x＝2 B．x＝0
C．x1＝2，x2＝0 D．以上答案都不对
7．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．
8．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．
9．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是__________．
10．用因式分解法解下列一元二次方程：
(1)(x－1)(x＋3)＝－3；
(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.
能力提升
11．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )
A．(x＋3)(x－4) B．(x－3)(x＋4)
C．(x＋3)(x＋4) D．(x－3)(x－4)
12．用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，则m的值为( )
A．7 B．－7 C．6 D．－6
13．定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝ab＋b；当a＜b时，ab＝ab－a.若(2x－1)(x＋2)＝0，则x＝__________.
14．按指定的方法解下列方程：
(1)(2x－1)2－32＝0(直接开平方法)；
(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；
(3)x2－x－7＝0(公式法)；
(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．
15．小张和小林一起解方程x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0，所以3x＋2＝0或x－6＝0.方程的两个解为，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x＋2)＝6(3x＋2)，方程两边都除以(3x＋2)，得x＝6.
小林说：“我的方法多简便！”可另一个解哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
16．有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32 cm2，求这两个正方形的边长．
参考答案
复习巩固
1．C 由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，
即x＝0或x＝1.故选C.
2．D 因为x2－x＋＝0，即，
所以x1＝x2＝.
3．B
4．B 移项，得x(x－4)－(32－8x)＝0，
即x(x－4)－8(4－x)＝0，
也即(x－4)(x＋8)＝0.
故x1＝4，x2＝－8.
5．A 原方程可化为x2－3x－10＝0，
即(x－5)(x＋2)＝0.故x－5＝0或x＋2＝0.
6．C 因为x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，
所以(－1)2－m－2m＝0，得.
所以方程x2－6mx＝0即为x2－2x＝0，
解得x1＝2，x2＝0.
7．x1＝－2，x2＝3 移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，
即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.
8．±3 由题意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.
9．0或4 把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解这个方程，得m1＝0，m2＝4.
10．解：(1)因为将原方程整理，可得x2＋2x＝0，即x(x＋2)＝0，
所以x＝0或x＋2＝0.所以x1＝0，x2＝－2.
(2)整理，得(3x－1)2－[2(2x＋3)]2＝0，
即[3x－1＋2(2x＋3)][3x－1－2(2x＋3)]＝0，
(3x－1＋4x＋6)(3x－1－4x－6)＝0，
(7x＋5)(－x－7)＝0，
所以7x＋5＝0或－x－7＝0.
所以，x2＝－7.
能力提升
11．B 因为方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，
所以x2＋px＋q＝(x－3)[x－(－4)]＝(x－3)(x＋4)．
12．C 由题意可得x＋1＝0，则x＝－1，即方程x2－mx－7＝0有一个解为－1.因此(－1)2－m×(－1)－7＝0.故m＝6.
13．－1或 若2x－1＜x＋2，此时x＜3.根据定义，(2x－1)⊕(x＋2)＝(2x－1)(x＋2)－(2x－1)＝0，解得x1＝－1，，这两个解均符合题意．若2x－1≥x＋2，此时x≥3.根据定义，(2x－1)⊕(x＋2)＝(2x－1)·(x＋2)＋(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，这两个解均不符合题意．综上所述，x＝－1或.
14．解：(1)将原方程整理，得(2x－1)2＝64，开平方，得2x－1＝±8,2x＝1±8，，
所以，.
(2)将原方程移项，得3x2＋4x＝－1，方程两边同时除以3，得，配方，得，即，，.所以，.
(3)因为b2－4ac＝(－1)2－4×(－7)＝29，所以，
即，.
(4)原方程可化为x2－1－3x＋3＝0，即(x＋1)(x－1)－3(x－1)＝0，(x－1)(x＋1－3)＝0，
于是x－1＝0或x－2＝0，所以x1＝1，x2＝2.
15．解：小林的解法不对，因为3x＋2可能为0，等式两边不能同时除以一个等于零的整式．
16．解：设大正方形的边长为xcm，根据题意，得－x2＝32.
整理，得x2－16x＝0，即x(x－16)＝0.解得x1＝16，x2＝0(不合题意，舍去)．
因此16×＋4＝12(cm)．答：大正方形的边长为16cm，小正方形的边长为12cm
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