一元二次方程课时练习
1.4用一元二次方程解决问题（1）
复习巩固
1．某种衬衣原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下面所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
2．某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂5,6月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x)2＝182； B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
C．50(1＋2x)＝182； D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182
3．初中毕业时，九年级(1)班的每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送1张留作纪念，全班共送了2 070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A．x(x－1)＝2 070 B．x(x＋1)＝2 070
C．2x(x＋1)＝2 070 D．＝2 070
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若小分支、支干和主干的总数目是73，则每个支干长出的小分支的数目为( )
A．7 B．8 C．9 D． 10
5．兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为__________．
6．一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数为__________．
7．某种商品的进价为10元，当售价为x元时，能销售该商品(x＋10)个，此时获利1 500元，则该商品的售价为__________元．
8．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数．
能力提升
9．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )
A．25 B．36 C．25或36 D．－25或36
10．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k(0＜k＜1)倍．已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是( )
A． B．
C． D．
11．某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场，则共有__________人进入半决赛．
12．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
13．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
14．据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．
(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1
000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
参考答案
复习巩固
1．B 2.B
3．A 由题意可知，每名同学都送出(x－1)张照片，所以全班共送出x(x－1)张照片，于是有x(x－1)＝2 070.故选A.
4．B 设每个支干长出n个小分支，则据题意得1＋n＋n2＝73，解得n＝8.
5．72(1－x)2＝56 6.6 7.40 8.23或32
能力提升
9．C 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x＋3.依题意，得10x＋(x＋3)＝(x＋3)2，解得x1＝2，x2＝3.故这个两位数为25或36.
10．A 第一次进入木板的铁钉长度为，第二次进入木板的铁钉长度为，第三次进入木板的铁钉长度为，所以.故选A.
11．4 设共有n人进入半决赛，则需进行场比赛．因此n(n－1)＝6，解得n＝4或n＝－3(舍去)．
12．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得
1＋x＋(1＋x)x＝81. (1＋x)2＝81. x＋1＝9，或x＋1＝－9.
解得x1＝8，x2＝－10(舍去)． (1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
13．解：(1)设每千克核桃应降价x元，根据题意，得
(60－x－40)＝2 240.
化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.
答：每千克核桃应降价4元或6元．
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为60－6＝54(元)，×100%＝90%.
答：该店应按原售价的九折出售．
14．解：(1)设私家车拥有量的年平均增长率为x，
则125(1＋x)2＝180，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
故180(1＋20%)＝216(辆)．
答：该小区到2014年底私家车将达到216辆．
(2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
则
由①得b＝150－5a，
代入②得20≤a≤，
因为a是正整数，所以a＝20或21.
当a＝20时，b＝50；当a＝21时，b＝45.
所以方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：建室内车位21个，露天车位45个．
一元二次方程课时练习
1.4用一元二次方程解决问题（2）
复习巩固
1．一个直角三角形的面积是30，其两直角边的和是17，则其斜边长为( )
A．17 B．26
C．30 D．13
2．从正方形铁片上截去2 cm宽的一条长方形，余下的面积是48 cm2，则原来的正方形铁片的面积是( )
A．8 cm B．64 cm
C．8 cm2 D．64 cm2
3．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2 816 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )
A．(60＋x)(40＋2x)＝2 816
B．(60＋x)(40＋x)＝2 816
C．(60＋2x)(40＋x)＝2 816
D．(60＋2x)(40＋2x)＝2 816
4．要用一根铁丝围成一个面积为120 cm2的长方形，并使长比宽多2 cm，则长方形的长是______cm.
5．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动__________m.
6．若一直角三角形的三条边长为三个连续偶数，且面积为24 cm2，则此三角形的三条边长分别为__________．
7．今要对一块长60m、宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，已知矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等．若使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
8．某超市将进价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，那么其销售量就减少10件．超市若靠卖这种商品每天赚得8 000元的利润，应把这种商品的售价定为每件多少元？
能力提升
9．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为m2，则此方格纸的面积为( )
A．11m2 B．12m2 C．13m2 D．14m2
10．把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10 cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子．如果这个盒子的容积是1 500 cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为x cm，则正确的方程是( )
A．(2x－20)(x－20)＝1 500
B．(2x－10)(x－20)＝1 500
C．10(2x－20)(x－20)＝1 500
D．10(x－10)(x－20)＝1 500
11．有一个菱形水池，它的两条对角线的差为2 cm，水池的边长是5 cm，则这个菱形水池的面积为__________．
12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．问几秒时点P和点Q的距离是10 cm?
参考答案
复习巩固
1．D 设一直角边长为x，则另一直角边长为17－x，
由题意，得x(17－x)＝30.
解得x1＝5，x2＝12.
2.D 3D 4.12 5. 6.6,8，10
7．解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为xm，根据题意，得(40－2x)(60－3x)＝60×40×，
解得x1＝10，x2＝30(不符合题意，舍去)．
所以，两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m.
8．解：设应把这种商品的售价定为每件(50＋x)元，则每件商品的利润为[(50＋x)－40]元，每天的销售量为(500－10x)件．
根据题意，得[(50＋x)－40](500－10x)＝8 000.
解得x1＝10，x2＝30.
所以每天要赚得8 000元的利润，应把这种商品的售价定为每件60元或80元．
能力提升
9．B 设方格纸的边长是xm，根据题意，得
，x2＝12.所以方格纸的面积是12m2.
10．C 这个盒子的长、宽、高分别是(2x－20)cm，(x－20)cm，10cm，所以应选C.
11．24cm2 设这个菱形水池的两条对角线分别为xcm，(x＋2)cm，则依题意，得，解得x1＝6，x2＝－8(舍去)．
故这个菱形水池的面积是x(x＋2)＝×6×8＝24(cm2)．
12．解：设每件衬衫降价x元，
依题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
整理，得x2－30x＋200＝0，
解得x1＝10(元)，x2＝20(元)，
因为要尽快减少库存，所以x＝10(元)舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
13．解：设ts后，点P和点Q的距离是10cm，
则AP＝3tcm，CQ＝2tcm.
过点P作PE⊥CD于点E，
所以AD＝PE＝6cm，EQ＝16－2t－3t＝(16－5t)(cm)．
在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2＝PE2＋EQ2列方程，得100＝62＋(16－5t)2.
解这个方程，得，.
答：P，Q两点从出发开始到s或s时，点P和点Q的距离是10cm.
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