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第2课时角的平分线的判定
要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.
预习练习1-1 已知点P为∠AOB内部的一点,PD⊥OB于点D,PC⊥OA于点C,且PC=PD,则OP平分_____.
要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.
预习练习2-1 如图,在△ABC中,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE相交于点O,过O点作OP⊥BC于点P,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,则OP,OM,ON的大小关系是_____.
知识点1 角平分线的判定
1.已知:如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意点,PD⊥OA,PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知:如图所示,BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D.求证:AD平分∠BAC.
知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用
3.如图,△ABC中,∠ABC,∠ACB的角平分线相交于O,下面结论中正确的是( )
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A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定
4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证:AD是∠BAC的外角平分线.
知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用
5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置?请在图中标出M点的位置.
6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.
7.如图所示,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D,C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )
A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定
8.如图所示,P为△ABC外部一点,D,E分别在AB,AC的延长线上,若点P到BC,BD,CE的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )
A.在∠DBC的平分线上
B.在∠BCE的平分线上
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C.在∠BAC的平分线上
D.在∠DBC,∠BCE,∠BAC的平分线上
9.三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.
10.已知:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD相交于点O.求证:
(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
11.如图,D,E,F分别是△ABC三边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等,求证:AD平分∠BAC.
12.如图所示,△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂足,则当D移动到什么位置时,AD恰好平分∠BAC,请说明理由.
挑战自我
13.已知:如图所示,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD平分∠BAC.
参考答案
课前预习
要点感知1 平分线
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预习练习1-1 ∠AOB
要点感知2 三边的距离相等
预习练习2-1 OP=OM=ON
当堂训练
1.D
2.证明:∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE和△CDF中,∠BDE=∠CDF,
∠DEB=∠DFC,
BE=CF,∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,∴AD平分∠BAC.
3.B
4.证明:过点D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD平分∠EAC,即AD是∠BAC的外角平分线.
5.图略.提示:作∠AOB的角平分线,与AB的交点即为点M的位置.
6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O就是小亭的中心位置,图略.
课后作业
7.A 8.D 9.4
10.(1)证明:∵∠1=∠2,OD⊥AB,OE⊥AC,∴OE=OD,∠ODB=∠OEC=90°.在△BOD和△COE中,
∠BOD=∠COE,OD=OE,∠ODB=∠OEC,∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC.
(2)证明:在△BOD和△COE中,∠ODB=∠OEC,∠BOD=∠COE,
OB=OC,∴△BOD≌△COE(AAS).∴OD=OE.又∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴AO平分∠BAC,即∠1=∠2.
11.证明:过点D作DH⊥AB于H,DG⊥AC于G.∵S△DCE=CE·DG,S△DBF=BF·DH,S△DCE=S△DBF,∴CE·DG=BF·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D在∠BAC的平分线上,即AD平分∠BAC.
12.移动到BC的中点时,AD恰好平分∠BAC.理由如下:∵D是BC的中点,∴BD=CD.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.又∵∠B=∠C,∴△DEB≌△DFC(AAS).∴DE=DF.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.
13.证明:过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.在△BED和△CFD中,∠BED=∠CFD=90°,
∠1=∠2,
BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠B
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