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第三十章达标检测卷
(120分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题3分，共48分)
1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1 C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝
2．点A(2，3)在函数y＝ax2－x＋1的图像上，则a等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图像，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－2
C．顶点坐标是(2，1) D．与x轴有两个交点
4．y＝x2－1可由下列哪一个函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到？( )
A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x＋1)2＋3
5．二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上部分点的坐标满足下表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
则该函数图像的顶点坐标为( )
A．(－3，－3) B．(－2，－2) C．(－1，－3) D．(0，－6)
7．在同一坐标系中，与函数y＝2x2的图像关于x轴对称的函数为( )
A．y＝x2 B．y＝－x2 C．y＝－2x2 D．y＝－x2
8．二次函数y1＝ax2－x＋1的图像与y2＝－2x2的图像形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数y1＝ax2－x＋1的图像的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
9．若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x－5的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
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A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
10．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图像可能是( )
11．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞3
(第11题)
(第12题)
(第13题)
(第14题)
(第15题)
12．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
13．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )
A．(，) B．(2，2) C．(，2) D．(2，)
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15．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴对称的点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6.其中正确判断的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
16．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图像是( )
(第16题)
二、填空题(每题3分，共12分)
17．如图，二次函数y＝x2－x－6的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．
18．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为____________．
(第17题)
(第19题)
(第20题)
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19．如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图像相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是______________．
20．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________．
三、解答题(21题6分，22、23题每题8分，26题每题14分，其余每题12分，共60分)
21．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图像经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P(m，m)在该函数的图像上，求m的值．
(第21题)
22．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的最大面积．
(第22题)
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23．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3 m，那么水面CD的宽是10 m.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的表达式；
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6 m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6 m的长方体货物(货物与货船同宽)．此船能否顺利通过这座拱桥？
(第23题)
24．若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图像过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
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25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)的关系是y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数表达式．
(2)求月产量x的范围．
(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？
(第25题)
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26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．
(第26题)
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答案
一、1.B 2.A 3.C 4.B 5.B
6．B 点拨：因为x＝－3和x＝－1时的函数值相等，所以二次函数图像的对称轴为直线x＝－2，进而由表中数值得到图像的顶点坐标为(－2，－2)．
7．C 8.B 9.D
10．C 11.B 12.A 13.C
14．C 点拨：将A(－2，4)的坐标代入y＝ax2，得4＝a×(－2)2，解得：a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为(－2，4)，∴OB＝OD＝2，CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2.
令y＝2，得2＝x2，解得：x＝±.
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为(，2)，故选C.
15．C 16.A
二、17.15 18.x1＝－1，x2＝3
19．x＜－2或x＞8 20.2 m
三、21.解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.
∵y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，
∴该抛物线的对称轴为x＝2，
顶点坐标为(2，－10)．
(2)∵点P(m，m)在该函数的图像上，
∴m2－4m－6＝m.
∴m1＝6，m2＝－1.
∴m的值为6或－1.
22．解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝(18－2x)x，
即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)．
(2)由(1)知y＝－x2＋9x，
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∴y＝－＋，
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，
∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20 cm2.
23．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2.
∵抛物线关于y轴对称，AB＝20，
∴点B的横坐标为10.设点B(10，n)，
则点D(5，n＋3)．
将B，D两点的坐标分别代入表达式，
得解得
∴y＝－x2.
(2)当x＝3时，y＝－×9＝－.
∵点B的纵坐标为－4，又|－4|－＝3.64>3.6，
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
24．分析：(1)根据“同簇二次函数”的定义写出即可，答案不唯一．
(2)因为y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，所以其顶点坐标相同，可利用顶点式分别表示出y1＋y2和y1的表达式．根据y1＋y2与y1为“同簇二次函数”求出y2的表达式，然后根据其图像的特点，可知当x＝3时，有最大值，可以求出其最大值．
解：(1)答案不唯一，如y1＝2x2，y2＝x2.
(2)∵函数y1的图像经过点A(1，1)，
∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1.
∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1.
方法一：∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴可设y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k>0)，
则y2＝k(x－1)2＋1－y1＝(k－2)(x－1)2.
由题可知函数y2的图像经过点(0，5)，则(k－2)×12＝5，
∴k－2＝5.∴y2＝5(x－1)2＝5x2－10x＋5.
当0≤x≤3时，根据函数y2的图像可知，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20.
方法二：y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8(a＋2>0)，
∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴－＝1，化简得b＝－2a.又＝1，将b＝－2a代入，
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解得a＝5或－2(舍去)，∴b＝－10.∴y2＝5x2－10x＋5.
当0≤x≤3时，根据函数y2的图像可知，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.
点拨：本题为创新型综合性试题，解决本题的关键是结合题意并根据二次函数的图像和性质进行解答．
25．解：(1)y2与x之间的函数表达式为y2＝500＋30x.
(2)依题意，得
解得25≤x≤40.
(3)设这种设备的月利润为w元，则w＝xy1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋140x－500，
∴w＝－2(x－35)2＋1 950.
∵25
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