北师大八年级上《第1章勾股定理》单元检测题含答案.pdf

第 1 章 勾股定理 (时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．将直角三角形的三边长同时扩大 2 倍，得到的三角形是( C ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．如果梯子的底端离建筑物 5 米，那么 13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是 ( A ) A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米 3．在△ABC 中，∠C＝90°，c2＝2b2，则两直角边 a，b 的关系是( C ) A．ab C．a＝b D．以上三种情况都有可能 4．(2014·安徽)如图，在 Rt△ABC 中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使 点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为( C ) A.5 3 B.5 2 C．4 D．5 5．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是 ( D ) A．3，5，6 B．2，4，5 C．6，7，8 D．1.5，2，2.5 6．如图，一圆柱高 8 cm，底面半径 2 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的 最短路程(π取 3)是( B ) A．20 cm B．10 cm C．14 cm D．无法确定 7．若△ABC 的三边长 a，b，c 满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC 是( C ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．一架 2.5 米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 0.7 米，如果梯子的 顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将滑出( D ) A．0.9 米 B．1.5 米 C．0.5 米 D．0.8 米9．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB，CD，EF，GH 四条线段，其中能构成 一个直角三角形三边的线段是( B ) A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF 10．△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长是( C ) A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．有一组勾股数，两个较小的数为 8 和 15，则第三个数为__17__． 12．若直角三角形的两直角边长为 a，b，且满足 a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三 角形的斜边长为__5__． 13．一个三角形的三边长分别是 12 cm，16 cm，20 cm，则这个三角形的面积是__96__cm2. 14．如果△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且满足关系式(a＋2b－60)2＋|b－18|＋(c－ 30)2＝0，那么△ABC 是__直角__三角形． 15．如图，有两条互相垂直的街道 a 和 b，a 路上有一小商店 A，b 路上有一批发部 B. 小商店主人每次进货都沿着 A—O—B 路线到达 B 处，然后原路返回．已知 A，B 两处距十字 路口 O 的距离分别为 600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一 趟最多可比原来少走__800__米． ,第 15 题图） ,第 16 题图) 16．在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分 别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝__4__． 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC 的面积． 解：作 AH⊥BC 于 H.∵AB＝AC，∴BH＝CH＝5，∴AH＝12，∴S△ABC＝1 2 BC×AH＝6018．(7 分)如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？ 解：设 CD 为 x cm，在直角三角形 ABC 中，AC＝6 cm，BC＝8 cm.由勾股定理：AB2＝ BC2＋AC2＝100，所以 AB＝10 cm，由折叠可知 CD＝DE，∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝6，所 以∠BED＝90°，BE＝4.在直角三角形 BDE 中，由勾股定理得 x2＋42＝(8－x)2，解得：x＝3. 所以 CD 的长为 3 cm 19．(7 分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1. (1)正方形①的面积 S1＝__9__cm2，正方形②的面积 S2＝__16__cm2，正方形③的面积 S3 ＝__25__cm2； (2)S1，S2，S3 之间存在什么关系？ (3)猜想：如果 Rt△ABC 的三边 BC，AC，AB 的长分别为 a，b，c，那么它们之间存在什 么关系？ 解：(2)S1＋S2＝S3 (3)a2＋b2＝c2 20．(8 分)《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市道路上行驶速度 不得超过 70 千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到 车速检测仪正前方 30 米 C 处，过了 2 秒后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50 米，请 问：这辆小汽车超速了吗？解：∵AC＝30 米，AB＝50 米，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 BC＝40 米，∴小汽车 速度为 20 米/秒＝72 千米/时>70 千米/时，∴小汽车超速了 21．(8 分)如图所示的一块地，已知 AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m， 求这块地的面积． 解：连接 AC，在 Rt△ACD 中，AC2＝32＋42＝52.因为 AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2，所 以△ABC 为直角三角形，所以这块地的面积为1 2 ×5×12－1 2 ×3×4＝24(m2) 22．(8 分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，土地价格为 1000 元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？ 解：连接 AC.在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，由勾股定理得：AC2＝AB2＋BC2＝202 ＋152＝625.在△ADC 中，∠D＝90°，CD＝7，由勾股定理得：AD2＝AC2－CD2＝625－72＝576， AD＝24.所以四边形的面积为：1 2 ×AB×BC＋1 2 ×CD×AD＝234(m2).234×1000＝234000(元)．答： 学校征收这块地需要 234000 元 23．(9 分)如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是 BC 边上的高和中线，AB＝9 cm，AC＝7 cm， BC＝8 cm，求 DE 的长． 解：设 DE＝x cm，则 BD＝(4＋x)cm，CD＝(4－x)cm，由勾股定理得 92－(4＋x)2＝72 －(4－x)2，解得 x＝2，∴DE＝2 cm 24．(9 分)如图，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 5 米的油罐的下底边沿点 A 处，它 发现在自己的正上方油罐上边缘的点 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害 虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结 果，壁虎偷袭成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程 才能捕到害虫？(π取 3)解： 把这个油罐看成一个圆柱体，再画出它的侧面展开图(是一个长方形)如图所示．因为 A， B 两点间线段最短，所以壁虎至少要爬行线段 AB 这段路程，才能捕捉到害虫．而 AB2＝AC2 ＋BC2＝(2π×2)2＋52≈169，所以 AB＝13 米．答：壁虎至少要爬行 13 米才能捕到害虫 25．(10 分)如图，甲乙两船从港口 A 同时出发，甲船以 16 海里/时的速度沿北偏东 40° 的方向航行，乙船沿南偏东 50°的方向航行，3 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 60 海里，问乙船的航速是多少？ 解：由题意得∠CAB＝90°，AC＝48，BC＝60，由勾股定理得 AB2＋AC2＝BC2，即 AB2 ＋482＝602，∴AB＝36，36÷3＝12(海里/时)，即乙船的航速是 12 海里/时