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安徽省无为县2018届高三数学上学期第一次月考试题 文
（考试时间：120分钟 满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的为（ ）
A.模型①的相关指数为0.976
B.模型②的相关指数为0.776
C.模型③的相关指数为0.076
D.模型④的相关指数为0.351
4.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.已知实数,满足，则的最小值是（ ）
A．0 B．2
C．3 D．5
6.已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则（ ）
A.
B.
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C.
D.
7.已知蝴蝶（体积忽略不计）在一个长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蝴蝶“安全飞行”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了
求（）次多项式，
当时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为
“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为然后进行求值．
运行如图所示的程序框图，能求得多项式( )的值．
A. B.
C. D.
10.已知成立, 函数是减函数, 则是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
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D．既不充分也不必要条件
11.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图,
则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D.
12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.已知，，若与共线，则实数的值为 ．
14. 已知是锐角，且，则 ．
15.设函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数 ．
16.已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，第17—21小题为必考题，第22—23小题为选考题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）
已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
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（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求.
18.（本题满分12分）
在三棱柱中，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积．
19.（本题满分12分）
某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：
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据此计算出的回归方程为.
（i）求参数的估计值；
（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益,并求出该最大收益.
20.（本题满分12分）
设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点F的直线交抛物线于，两点，线段的长度为8，的中点到轴的距离为3.
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线在轴上的截距为6，且与抛物线交于，两点，连结并延长交抛物线的准线于点，当直线恰与抛物线相切时，求直线的方程.
21.（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(Ⅱ) 证明: 当时, .
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
（Ⅰ） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（Ⅱ） 求曲线上的点到直线的距离的最大值.
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23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知．
（Ⅰ）当，解不等式；
（Ⅱ） 对任意恒成立，求的取值范围．
高三文试卷答案
一、选择题
1-5: DCABB 6-10:DACAB 11-12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，，，得
，解得：，或.
则的通项公式为.
（Ⅱ）由可得，解得.
当时，，
；
当时，，
.
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18.（Ⅰ）证明：连接交于点，连接．
则为的中点，又为的中点，
所以，且平面，平面，
则平面．
（Ⅱ）解：取的中点，连接，过点作于点，连接．
因为点在平面的射影在上，且，
所以平面，∴，，
∴平面，则．
设，在中，，，
∴，，，
由，可得．
则．
所以三棱锥的体积为．
19.解：(Ⅰ)区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，
取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均收益率为：
.
（Ⅱ）（i）
，所以
（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为
万元，
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即
当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.
20.解(Ⅰ)设所求抛物线方程为，，，则
，又，所以.
即该抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，不妨设直线，.
由消去得，，则........（*）
抛物线在点处的切线方程为.
令得，，所以
因为三点共线，所以及，得.
即，整理得：
将（*）式代入上式，得，即.
21. 解:（Ⅰ）法1: 函数的定义域为.
由, 得.
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
当, 即时, 又, 则函数有零点.
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所以实数的取值范围为.
法2：函数的定义域为.
由, 得
令，则.
当时, ; 当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
故时, 函数取得最大值.
因而函数有零点, 则.
所以实数的取值范围为.
（Ⅱ） 要证明当时, ,
即证明当时, , 即.
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
于是,当时, ①
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, .
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于是, 当时, ②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时,
22.解： (Ⅰ) 由 消去得,
所以直线的普通方程为
由,
得.将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为, 即.
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,
则点到直线的距离为：
当时, ,
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
法2: 设与直线平行的直线为,
当直线与圆相切时, 得,解得或(舍去),
所以直线的方程为，所以直线与直线的距离为.
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
23.解：（Ⅰ）当，，
由可得，即，
当时，原不等式等价于，即，∴，
当时，原不等式等价于，即，∴，
当时，原不等式等价于，即，∴，
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综上所述，不等式的解集为；
（Ⅱ）当时，，∴恒成立，
∴，即，当时恒成立，
∴的取值范围.
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