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第6章 图形的初步认识
6.1 几何图形
01 基础题
知识点1 认识立体图形
1.下列几何图形是立体图形的是(D)
A.扇形 B.长方形
C.圆 D.正方体
2.(丽水中考)下列图形中,属于立体图形的是(C)
3.观察图中的立体图形,分别写出它们的名称.
知识点2 认识平面图形
4.在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中,是平面图形的有(B)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
5.图中的几何图形可看作由哪些简单的平面图形组成的?
解:机器猫由三角形以及圆组成;邮箱由长方形、三角形以及圆组成;会笑的人由圆、三角形以及线段组成.
02 中档题
6.将第一行的平面图形绕轴旋转一周,便得到第二行中的某个几何体,用线连一连.
解:如图所示.
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7.如图1所示的几何体是三棱柱,它有6个顶点,9条棱,5个面,图2,图3所示几何体分别是四棱柱和五棱柱.
图1 图2 图3
(1)四棱柱有8个顶点,12条棱,6个面;
(2)五棱柱有10个顶点,15条棱,7个面;
(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点,几条棱,几个面?
(4)n棱柱有几个顶点,几条棱,几个面吗?
解:(3)六棱柱有12个顶点,18条棱,8个面;七棱柱有14个顶点,21条棱,9个面.
(4)n棱柱有2n个顶点,3n条棱,(n+2)个面.
03 综合题
8.以给定的图形○○、△△、=(两个圆、两个三角形、一条平行线)为构件,构思独特且具有意义的图形,并写出一两句帖切、诙谐的解说词,请在右框中画出来,举例:
解说词两盏电灯 解说词________
解:如图(答案不唯一).
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6.2 线段、射线和直线
01 基础题
知识点1 线段、射线、直线的认识
1.下列生活中的实例可以看成射线的是(C)
A.紧绷的琴弦 B.人行道横线
C.手电筒发出的光线 D.正方体的棱长
2.如图,下列几何语句不正确的是(D)
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.线段AB与线段BA是同一条线段
D.射线OA与射线AB是同一条射线
3.按下列语句,不能画出图形的是(A)
A.延长直线AB
B.直线EF经过点C
C.线段m与n交于点P
D.经过点O的三条直线a、b、c
4.如图,能用字母表示的直线有1条,线段有3条,射线有4条.
5.已知平面上四点A,B,C,D,如图所示.
(1)画直线AB;
(2)画射线AD;
(3)直线AB,CD相交于点E;
(4)连结AC,BD相交于点F.
解:如图所示.
知识点2 直线的基本性质
6.用两个钉子把直木条钉在墙上,木条就固定了,这说明(B)
A.一条直线上只有两点
B.两点确定一条直线
C.过一点可画无数条直线
D.直线可向两端无限延伸
7.开学整理教室时,老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好,然后再依次摆中间的课桌,一会儿一列课桌摆在一条线上,整整齐齐,这是因为两点确定一条直线.
02 中档题
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8.(绍兴上虞区期末)如图,数轴上的点A、B、C、D、E分别对应的数是1、2、3、4、5,那么表示的点应在(C)
A.线段AB上 B.线段BC上
C.线段CD上 D.线段DE上
9.往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站,则有10种不同的票价(来回票价一样),需准备20种车票.
10.在平面上画出三条直线a,b,c,说说三条直线将平面分成几个部分.
解:四部分
六部分
七部分
03 综合题
11.如图:
视频讲解
(1)试验观察:
如果每过两点可以画一条直线,那么:
图1最多可以画3条直线,
图2最多可以画6条直线,
图3最多可以画10条直线;
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在1条直线上,那么最多可以画条直线
(用含n的代数式表示);
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,如果每两人握1次手问好,那么共握990次手.
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6.3 线段的长短比较
01 基础题
知识点1 线段的长短比较
1.从直观上看,下列线段中最长的是(B)
A.________ B.____________________
C.______ D.________________
2.下列图形中,可以比较长短的是(B)
A.两条射线 B.两条线段
C.两条直线 D.直线与射线
3.为比较两条线段AB与CD的大小,小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上,点B在CD的延长线上,则(B)
A.AB<CD B.AB>CD
C.AB=CD D.以上都有可能
4.如图,用刻度尺量一量,比较下列线段的大小:
AB=AC;CB>AC.
5.比较图中以A为一个端点的线段的大小,并把它们用“<”号连接起来.
解:AB<AC<AD.
6.如图,四条线段AB、BC、CD、DA,用圆规截取的方法比较图中的线段的大小.
解:通过用圆规比较图中的四条线段,可得DA>CD>BC>AB.
知识点2 线段的基本事实及两点间的距离
7.A,B两点间的距离是(D)
A.连结两点间的直线
B.连结两点的线段
C.连结两点间的直线的长度
D.连结两点的线段的长度
8.(嵊州期末)如图,从A到B有三条路径,最短的路径是③,理由是(C)
A.两点确定一条直线
B.过一点有无数条直线
C.两点之间,线段最短
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D.因为直线比曲线和折线短
9.如图,数轴上A,B两点之间的距离为4.
10.如图,直线AB表示一条公路,公路两旁各有一个工厂,用点M、N表示,要在公路旁建一个货场,使它到两个工厂的距离之和最小,问这个货场应建在什么地方.
解:图略.连结MN,与AB的交点即为所求.
02 中档题
11.(徐州中考)点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、B表示的数分别为-3,1,若BC=2,则AC等于(D)
A.3 B.2
C.3或5 D.2或6
12.如图,小华的家在A处,书店在B处,星期日小华到书店去买书,他想尽快赶到书店,请你帮助他选择一条最近的路线(B)
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
13.如图所示,正方形ABCD的边长为1 cm,现将正方形ABCD沿水平方向翻滚15次,那么图中点A翻滚后所在的位置与A点开始位置之间的距离为(B)
A.15 cm B.16 cm
C.30 cm D.45 cm
14.如图,按下面语句画图.
(1)分别延长线段AD和BC,使它们相交于点M;
(2)延长AB至点N,使BN=CD,再连接DN交线段BC于点P;
(3)用刻度尺比较线段DP和PN的大小.
解:图略.用刻度尺测量得DP=PN.
15.如图,平面上有A、B、C、D 4个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画出蓄水池P的位置,使它与4个村庄的距离之和最小.
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解:如图所示,连结AC、BD的交点即为P点的位置.
03 综合题
16.如图所示,有一个正方体盒子,一只虫子在顶点A处,一只蜘蛛在顶点B处,蜘蛛沿着盒子准备偷袭虫子.蜘蛛想要最快地捉住虫子,应怎样走?
解:略.
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6.4 线段的和差
01 基础题
知识点1 线段的和差
1.如图,下列关系式中与图不符合的式子是(C)
A.AD-CD=AB+BC
B.AC-BC=AD-BD
C.AC-BC=AC+BD
D.AD-AC=BD-BC
2.已知线段AB=3 cm,延长BA到C使BC=5 cm,则AC的长是(A)
A.2 cm B.8 cm
C.3 cm D.11 cm
3.如图,线段AB上有C,D两点,若AB=5,CD=2,则AC+DB=7.
知识点2 尺规作线段
4.如图,已知线段a和b,且a>b,用直尺和圆规作一条线段,使它等于2a+b.
解:略.
知识点3 线段的中点
5.已知点C是线段AB上的一点,不能确定点C是AB中点的条件是(D)
A.AC=CB B.AC=AB
C.AB=2BC D.AC+CB=AB
6.已知点C是线段AB的中点,AB=2,则BC=1.
7.如图,已知线段AB=10 cm,点C是AB的中点,点D是AC的中点,则线段CD=2.5__cm.
8.如图,C是线段AB上的一点,M是线段AC的中点,若AB=8 cm,BC=2 cm,求MC的长.
解:AC=AB-BC=8-2=6(cm).
因为M是线段AC的中点,
所以MC=AC=3 cm.
故MC的长为3 cm.
02 中档题
9.线段AB=2 cm,延长AB到C,使BC=AB,再延长BA到D,使BD=2AB,则线段DC的长为(C)
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.2 cm
10.已知线段AB=8 cm,点C是直线AB上一点,BC=2 cm,若M是AB的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度为(B)
A.5 cm B.5 cm或3 cm
C.7 cm或3 cm D.7 cm
11.(西湖区期末)已知线段AB=8 cm,在直线AB上有一点C,且BC=4 cm,点M是线段AC的中点,
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则线段AM的长为(C)
习题解析
A.2 cm
B.4 cm
C.2 cm或6 cm
D.4 cm或6 cm
12.已知线段AB=8 cm,在直线AB上画线段BC,使BC=3 cm,则线段AC=11__cm或5__cm.
13.把线段MN延长到点P,使NP=MN,A为MN的中点,则AP=MP.
14.如图,已知线段AD=6 cm,线段AC=BD=4 cm,E、F分别是线段AB、CD的中点,求EF.
解:∵AD=6 cm,AC=BD=4 cm,
∴BC=AC+BD-AD=2 cm.
∴AB=2 cm,CD=2 cm.
∴EF=BC+(AB+CD)=2+×4=4(cm).
15.如图,M是线段AB的中点,点C在线段AB上,且AC=4 cm,N是AC的中点,MN=3 cm,求线段CM和AB的长.
解:∵N是AC中点,AC=4 cm,
∴NC=AC=×4=2(cm).
∵MN=3 cm,
∴CM=MN-NC=3-2=1(cm).
∴AM=AC+CM=4+1=5(cm).
∵M是AB的中点,
∴AB=2AM=2×5=10(cm).
16.点M,N都在线段AB上,且M分AB为2∶3两部分,N分AB为3∶4两部分,若MN=2 cm,请求出AB的长.
解:设AB=a,则AM=a,AN=a.
因为MN=a-a=2,
所以a=70,即AB=70 cm.
03 综合题
17.如图,C为线段AB上一点,D是线段AC的中点,E为线段CB的中点.
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(1)如果AC=6 cm,BC=4 cm,试求DE的长;
(2)如果AB=a,试求DE的长度;
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,D、E分别为AC、BC的中点,你能猜想DE的长度吗?直接写出你的结论,不需说明理由.
解:(1)因为D、E分别是线段AC、CB的中点,AC=6 cm,BC=4 cm,
所以CD=AC=3 cm,CE=BC=2 cm.
所以DE=CD+CE=5 cm.
(2)因为CD=AC,CE=BC,
所以DE=CD+CE=AC+BC=(AC+BC)=AB=a.
(3)DE=b.
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6.5 角与角的度量
01 基础题
知识点1 角的概念与表示
1.如图所示,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是(B)
2.如图,∠AOB的顶点是O,两边分别是OA和OB.
知识点2 角的度量
3.(嘉兴期末)把60°30′化成度的形式是60.5°.
4.(1)将26.38°化为度、分、秒;
(2)将35°40′30″化为度.
解:(1)26.38°=26°+0.38×60′=26°+22.8′=26°+22′+0.8×60″=26°+22′+48″=26°22′48″.
(2)30″=()′×30=0.5′,
40.5′=()°×40.5=0.675°,
所以35°40′30″=35.675°.
知识点3 角的计算
5.计算:
(1)56°23′48″+16°35′43″;
解:原式=72°59′31″.
(2)90°-28°12′36″.
解:原式=61°47′24″.
知识点4 钟面角
6.时钟9点30分时,分针和时针之间形成的角的度数等于(C)
A.75° B.90°
C.105° D.120°
7.如图是一个时钟的钟面,8:00的时针及分针的位置如图所示,则此时分针与时针所成的∠α是120度.
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02 中档题
8.甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针成直角的时刻,每个人说两个时刻,说对的是(D)
A.甲说3点和3点半
B.乙说6点1刻和6点3刻
C.丙说9点和12点1刻
D.丁说3点和9点
9.归纳与猜想:
(1)观察下图填空:图1中有3个角;图2有6个角;图3中有10个角;
(2)根据(1)猜想:在一个角内引n-2条射线可组成个角.
03 综合题
10.时钟的分针每分钟转过的角度是6°,时针每分钟转过的角度是0.5°.今天我们数学考试的时间是13﹕00-14﹕30,在这一个半小时的时间内,时针与分针所夹的角将有几个时刻为36°?试分别求出这几个时刻.
解:时针与分针所夹的角将有三个时刻为36°,
设从13﹕00-14﹕00,x分钟时时针与分针夹角为36°,由题意得
6x-0.5x-30=36.
解得x=12,
即13时12分,时针与分针的夹角为36°.
设14﹕00-14﹕30,x分钟时时针与分针夹角为36°,由题意得
0.5x+60-6x=36或6x-0.5x-60=36,
解得x=或x=.
即14时分或14时分,时针与分针夹角为36°.
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6.6 角的大小比较
01 基础题
知识点1 角的大小比较
1.下列角度中,比20°小的是(A)
A.19°38′ B.20°50′
C.36.2° D.56°
2.若∠1=40.4°,∠2=40°4′,则∠1与∠2的关系是(B)
A.∠1=∠2 B.∠1>∠2
C.∠1<∠2 D.以上都不对
3.将∠1、∠2的顶点和其中一边重合,另一边都落在重合边的同侧,且∠1>∠2,那么∠1的另一边落在∠2的(C)
A.另一边上 B.内部
C.外部 D.无法判断
4.如图所示,其中最大的角是∠AOD,∠DOC,∠DOB,∠DOA的大小关系是∠DOA>∠DOB>∠DOC.
5.如图,回答下列问题:
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小;
(2)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.
解:(1)∵OD在∠FOE的内部,∴∠FOD<∠FOE.
(2)用量角器度量得∠AOE=30°,∠DOF=30°,则∠AOE=∠DOF.
知识点2 角的分类
6.已知∠AOB是锐角,则下列表述正确的是(C)
A.0°<∠AOB<45° B.∠AOB>45°
C.0°<∠AOB<90° D.∠AOB>90°
7.下列说法正确的是(D)
A.大于锐角的角是钝角
B.周角就是一条射线
C.小于平角的角是锐角
D.一平角等于2个直角的和
知识点3 用量角器画角
8.如图,已知∠α,用量角器画∠AOB,使∠AOB=∠α.
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解:图略.
02 中档题
9.如图,射线OB、OC将∠AOD分成三部分,下列判断错误的是(D)
A.如果∠AOB=∠COD,那么∠AOC=∠BOD
B.如果∠AOB>∠COD,那么∠AOC>∠BOD
C.如果∠AOB<∠COD,那么∠AOC<∠BOD
D.如果∠AOB=∠BOC,那么∠AOC=∠BOD
10.若∠1=4°18′,∠2=3°79′,∠3=4.4°,则∠1,∠2,∠3的大小顺序是∠1<∠2<∠3(由小到大排列).
11.如图,∠BOD=90°,∠COE=90°,解答下列问题:
(1)图中有哪些角小于平角?用适当的方法表示出它们;
(2)比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小,并指出其中的锐角、钝角、直角、平角.
解:(1)图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB.
(2)由图可知∠AOC<∠AOD<∠AOE<∠AOB,其中∠AOC为锐角,∠AOD为直角,∠AOE为钝角,∠AOB为平角.
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6.7 角的和差
01 基础题
知识点1 角的和差
1.如图,点B,O,D在同一直线上,若∠1=15°,∠2=105°,则∠AOC的度数是(B)
A.75° B.90°
C.105° D.125°
第1题图 第2题图
2.如图,小明将自己用的一副三角板摆成如图形状,如果∠AOB=155°,那么∠COD等于(B)
A.15° B.25°
C.35° D.45°
3.如图,在横线上填上适当的角:
(1)∠BOD=∠BOC+∠DOC=∠AOD-∠AOB;
(2)∠AOB=∠AOC-∠COB=∠AOD-∠DOB;
(3)∠BOC=∠AOC-∠AOB=∠AOD-∠COD-∠AOB.
第3题图 第4题图
4.将一副直角三角板如图放置,则∠ABC的度数是75°.
知识点2 角的平分线
5.已知OC平分∠AOB,则下列各式:①∠AOB=2∠AOC;②∠BOC=∠AOB;③∠AOC=∠BOC;④∠AOB=∠BOC.其中正确的是(B)
A.①② B.①③
C.②④ D.①②③
6.如图,OB表示秋千静止时的位置,当秋千从OC荡到OA时,OB平分∠AOC,∠BOC=60°,则秋千从OC荡到OA转动的角度∠AOC的度数是(D)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
第6题图 第7题图
7.如图,O是直线AB上的一点,过点O作射线OC,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,若∠DOC=50°,则∠BOE的度数为(B)
A.50° B.40° C.25° D.20°
8.已知∠AOE=28°54′,OF平分∠AOE,则∠AOF=14°27′.
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9.如图,O是直线AC上一点,∠BOC=50°,OD平分∠AOB,则∠BOD=65°.
10.如图,点O在直线AB上,∠1=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求:∠2的度数;
(2)试说明:OD⊥AB.
解:(1)∵∠1=∠BOC,∠1+∠BOC=180°,
∴∠1+3∠1=180°.
∴∠1=45°.
∵OC平分∠AOD,
∴∠2=∠1=45°.
(2)∵∠AOD=∠COD+∠AOC=45°+45°=90°,
∴OD⊥AB.
02 中档题
11.用一副三角板可画出许多不同角度的角,下列哪个度数画不出来(D)
A.15° B.75° C.105° D.65°
12.如图,OC是∠AOB的平分线,∠BOD=∠DOC,∠BOD=10°,则∠AOD的度数为(C)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
13.(嘉兴期末)如图,已知射线OM,ON分别平分∠AOB,∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,则∠AOD=(B)
A.2α B.2α-β
C.α+β D.α-β
第13题图 第14题图
14.如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的一点,沿线段BE对折后,若∠ABF比∠EBF大15°,则∠EBF的度数是25°.
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15.(绍兴上虞区期末)如图所示,已知∠COD=∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=23°,求∠AOB的度数.
解:∵∠COD=∠AOC,且∠COD=23°,
∴∠AOC=2∠COD=46°.
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=69°.
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOD=138°.
16.如图,已知∠AOB内有两条射线OC、OD,∠AOD=2∠BOD,∠AOC=∠COB,∠COD=70°,求∠AOC的度数.
解:设∠BOD=x°,则∠AOD=2x°,∠AOC=(2x-70)°,∠COB=(x+70)°,
∵∠AOC=∠COB,
∴2x-70=(x+70).
解得x=56.
则∠AOC=2×56°-70°=42°.
03 综合题
17.(萧山区月考)如图1是一副三角尺拼成的图案(所涉及角度均小于或等于180度).
(1)则∠EBC的度数为150度;
(2)将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度(0°