北京市2012届高三高考压轴数学（理）试题.doc

天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1．若复数为纯虚数，则实数的值为( )‎ ‎ （A） （B）0 （C）1 （D）或1‎ ‎2．设，，若，则实数的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．已知函数则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．“不等式”是“不等式”成立的 ( )‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎5．已知直线l，m与平面满足，，则有( )‎ ‎（A）且　　　　　　 　（B）且 ‎（C）且　　　　　　　 （D）且 ‎6．等差数列中，，则=( )‎ ‎（A）16 （B）12 （C）8 （D）6‎ ‎7．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是( )‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎8．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图，下列关于函数的命题：‎ ‎ ①函数是周期函数；‎ ‎②函数在上是减函数；‎ ‎③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎④当时，函数有4个零点.‎ 其中真命题的个数是( )‎ ‎（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．若则 .‎ ‎10.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为______.‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎11.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填 ‎ ‎12. 已知向量，，设，若，则实数的值是 ‎ ‎13.设，则二项式展开式中不含项的系数和是 ‎ ‎14．以下正确命题的为 ‎ ‎①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；‎ ‎②函数的零点在区间内； ‎ ‎③在极坐标系中，极点到直线的距离是．‎ ‎④函数的图象的切线的斜率的最大值是；‎ ‎⑤线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．‎ ‎（I）求的表达式；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 已知等差数列的前项和为，且 ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎17．本小题共14分 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.[来源:学科网]‎ ‎（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；‎ ‎（Ⅲ）求比赛局数的分布列.‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD—A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：DF⊥CE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A—EF—C的余弦值．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；‎ ‎（Ⅲ）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率 ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1.A【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，选A. ‎ ‎2.A【解析】集合，而，因为，所以，选A.‎ ‎3.A 【解析】∵f()==—1< 0； ∴f(—1)=.‎ ‎4.C 【解析】不等式的解为或；不等式的解当时，成立，当时，得，所以不等式的解为或，所以不等式”是“不等式”成立的充要条件，选C.‎ ‎5.B 【解析】，又．‎ ‎6.D 【解析】设等差数列的首项为，公差为，，即，又，解 得，所以，选D.‎ ‎7.C 【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分，此时体积为，不满足条件，若为C，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 的三棱柱，所以体积为，满足条件，所以选C.‎ ‎8.D 【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,所以函数不是周期函数，①不正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以④不正确，所以真命题的个数为1个，选D.‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9. 【解析】.‎ ‎10. 55% 【解析】后两个小组的频率为，所以前3个小组的频率为，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为.‎ ‎11. 4 【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，填4..‎ ‎12. 【解析】，，因为，所以，解得.‎ ‎13. 161 【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为.‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎14.②③④ 【解析】①命题的否定为“任意的，”，所以不正确；②因为，又，，所以函数的零点在区间，所以正确；③把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直线的距离，，即普通方程为，则极点到直线的距离为，正确；④函数的导数为，当且仅当，即时取等号，所以正确；⑤线性回归直线恒过样本中心，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④.‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15.解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ 由题意知，最小正周期，，所以，‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.‎ ‎　 ‎ 令，∵,∴‎ ‎，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或 ‎ ∴或. ‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎16.解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得 ‎， ‎ 解得， ‎ 所以通项公式，则 ‎ ‎（2）令，则，‎ 所以，当时，，当时，.所以，当时，‎ 当时，‎ 所以 ‎ ‎17.（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是． ‎ 记“甲以比获胜”为事件，‎ 则． ‎ ‎（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.‎ ‎ 因为，乙以比获胜的概率为， ‎ ‎ 乙以比获胜的概率为， ‎ 所以 ． ‎ ‎（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为． ‎ ‎， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎ ． ‎ 比赛局数的分布列为：‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎18.‎ ‎（Ⅰ）为等边三角形，‎ 设，则，‎ 即． ‎ 底面， 平面， ．‎ ‎． ‎ ‎（Ⅱ）取中点，则，又，‎ 所以△为等边三角形．‎ 则，．‎ 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，‎ 则．‎ ‎．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 取． ‎ 平面的法向量为，‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 则，‎ 取． ‎ ‎．‎ 所以二面角的余弦值为． ‎ ‎19.解：（Ⅰ），‎ 直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为,‎ ‎……①‎ 曲线经过点，‎ ‎……②‎ 由①②得： ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，, 由，或.‎ 当，即或时，，，变化如下表 ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 极大值 极小值 由表可知：‎ ‎ ‎ 当即时，，，变化如下表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0[来源:Zxxk.Com]‎ ‎-‎ 极小值 极大值 由表可知：‎ ‎ ‎ 综上可知：当或时，；‎ 当时，‎ ‎（Ⅲ）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，‎ 即在内有两个不等的实根．[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎∴ ‎ 由 （1）+（3）得：，‎ 由（4）得：，由（3）得：，‎ ‎，∴．‎ 故 ‎ ‎20.解： (Ⅰ)则由题设可知， ‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 又 ‎ 所以椭圆C的方程是. ‎ ‎(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，‎ 将它代入椭圆方程，并整理，得． ‎ 设点A、B的坐标分别为，则 ‎ 因为及 所以 ‎ ‎ 当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ‎ 所以解得 此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ‎ 当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.‎ 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. ‎ 解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 ‎ 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 ‎ 由解得.‎ 由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ‎ 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：‎ 当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎（0，1）； ‎ ‎ 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分 设点A、B的坐标为，则 ‎ 因为，‎ ‎ ‎ 所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ‎ 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. ‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机