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浙大附中2012年5月模拟考试
数学（理科）试题卷
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则= （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
2．复数的虚部为 （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
（第4题图）
3．设的 （ ▲ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断
框中应填入的条件是 （ ▲ ）
（A） （B）
（C） （D）
5． 若点是两条异面直线外的任意一点，则 （ ▲ ）
（Ａ）过点有且仅有一条直线与都平行
（B）过点有且仅有一条直线与都垂直
（C）过点有且仅有一条直线与都相交
（D）过点有且仅有一条直线与都异面
6．将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于 （ ▲ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）12
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7．已知实数满足 则的取值范围是 （ ▲ ）
（Ａ） （B） （C） （D）
8．已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是 （ ▲ ）
(A) (B) (C) (D)
9．现安排5名同学去参加3个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案个数为 （ ▲ ）
（A）72 （B）114 （C）144 （D）150
10．半径为的球内部装4个有相同半径的小球，则小球半径的最大值是 （ ▲ ）
（A） （B） （C） （D）
侧视图
俯视图
（第12题图）
二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）
11． 函数的定义域是 ▲ ．
正视图
12．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为
的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 ▲ ．
13． P点在椭圆上运动,Q，R分别在两圆和
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上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为 ▲ ．
14．设，则 ▲ ．
15．在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，满足，若，则实数λ的值是
▲ ．
16．对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则 的取值范围是 ▲ ．
17．某车站每天8∶00—9∶00，9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
8∶10
9∶10
8∶30
9∶30
8∶50
9∶50
概率
一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 ▲ ．
三、 解答题: （本大题有5小题, 共72分）
18．（本题满分14分）已知向量.
（Ⅰ）若求;
（Ⅱ）设的三边满足，且边所对应的角为，若关于的方程有且仅有一个实数根，求的值.
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19．（本题满分14分）等差数列的首项为，公差，前项和为，其中
．
（Ⅰ）若存在，使成立，求的值；
（Ⅱ）是否存在，使对任意大于1的正整数均成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．
（第20题图）
20．（本题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
21．（本题满分15分）过点作直线与抛物线相交于两点，圆
（第21题图）
（Ⅰ）若抛物线在点处的切线恰好与圆相切，
求直线的方程；
（Ⅱ）过点分别作圆的切线，
试求的取值范围.
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22.（本题满分15分）已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x3－x2＋ax．
（Ⅰ） 当a＝2时，求f (x)的极小值；
（Ⅱ）若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．
求证：g(x)的极大值小于等于．
数学（理）答案
1-5DAABB 6-10BDABB
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
18．（Ⅰ）……………..4分
……………..7分
（Ⅱ）, ……………..11分
结合图象可得:……………..14分
19.（Ⅰ）由条件得，
整理得：（2分）
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由求根公式，知必为完全平方数，
，逐个检验知，符合要求，
当时，；当时，
故（7分）
（Ⅱ）由，代入得
整理，变量分离得：
，（11分）
取到最小值，
故存在，使对任意大于1的正整数均成立（14分）
20．(Ⅰ) 解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF. ………..4分
又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. ………..7分
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
设AB=a,则在△PAC中，有
BG=PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.故GH=.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH== ＝因此tanEHG==………..12分
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由k＞0知是锐角，故要使＞，必须＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞………..14分
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故
E.从而=. ·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.
tanEHG===.由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即
＞故k的取值范围为k＞.
21．解：设
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由，得过点的切线方程为：
，即 （3分）
由已知：，又， （5分）
，
即点坐标为， （6分）
直线的方程为：. （7分）
（Ⅱ）由已知，直线的斜率存在，则设直线的方程为：， （8分）
联立，得
（9分）
解法一： （12分）
（13分）
＝ （15分）
解法二： （12分）
（13分）
（15分）
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解法三：,
同理， （13分）
故的取值范围是. （15分）
22.(Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：
x
(－，1)
1
(1，2)
2
(2，＋)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，f (x)极小值为f (2)＝． …………………………………5分
(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
g ′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋＝．
令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1，
(1) 当 1＜a≤2时，
f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，
即3a2＋(2b＋3)a－1＝0，
即b＝，
此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b
＝－3＋ ＝．
由于1＜a≤2，
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故 ≤2－－＝．………………………………10分
(2) 当0＜a＜1时，
f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，
由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，
所以0＜x1＜1，
即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，
故b＞－．
此时g(x)的极大值点x＝x1，
有 g(x1)＝x13＋bx12－(2b＋4)x1＋lnx1
＜1＋bx12－(2b＋4)x1
＝(x12－2x1)b－4x1＋1 (x12－2x1＜0)
＜－(x12－2x1)－4x1＋1
＝－x12＋x1＋1
＝－(x1－)2＋1＋ (0＜x1＜1)
≤
＜．
综上所述，g(x)的极大值小于等于． ……………………14分
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