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六、解答数学应用问题
中考数学试卷中会有一些与生活联系非常密切的题目,这些题目考查我们运用数学知识分析问题,解决问题的能力。这些题目与列方程解应用题完全不同,解答这些题目需要较多的数学知识和较高的能力。
解这类题目需要注意三个问题:
1、读懂题目:这类题目有一个共同的特点,题目的文字特别多。文字多的原因是需要正确地表述问题情境和需要解决的问题,避免产生歧义。也就是我们常说的“阅读量大”。在中考考场上大阅读量给我们带来了心理压力。往往不能集中精力认真阅读,读一遍不知道什么意思,就开始紧张,越紧张就越读不懂题目,就更加紧张,造成很大的心理负担,影响自己水平的发挥。
因此,我们要有足够的心理准备,遇到这样的题目时提醒自己不要紧张,定下心来认真阅读和思考,这样会充分发挥自己的智慧,顺利完成题目的解答。
读题是解题的开头,读题,不仅是把题目完整的读下来,而且还要读懂。这和阅读文章一样,首先读明白说的是什么事情,要解决什么问题;其次在这件事情中提供了哪些使用数学知识解决问题的信息;最后读清楚这些信息之间有哪些联系,给我们提供了什么启示。
2、建立数学模型
我们知道,利用数学知识解决应用问题的关键是建立数学模型,有了数学模型就有了解决问题的知识和方法。常用的数学模型有:方程(组)、不等式(组)、函数、统计等,每一类模型中还有小的类型,例如,函数模型中又包括:一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、三角函数等。
3、解答
这类题目的解答并不困难,往往解答的书写量还没有阅读量大,有时甚至更少。当你读懂了题目,选准了数学模型,解答就应该不成问题了。但是,由于这些题目与实践生活联系密切,提供的数据往往与我们在课堂上做的练习题目差别很大,需要我们动一番脑筋去算。这时正确地计算很重要。
下面我们就来看一些题目:
一、一次函数模型
例1 一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后,以每小时80
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千米的速度匀速行驶,前往与A处相距636千米的B地,下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y(升)与行驶时间x(时)之间的关系:
行驶时间x(时)
0
1
2
2.5
余油量y(升)
100
80
60
50
(1)请你认真分析上表中所给的数据,用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示与之间的变化规律,说明选择这种函数的理由,并求出它的函数表达式;(不要求写出自变量的取值范围)
(2)按照(1)中的变化规律,货车从A处出发行驶4.2小时到达C处,求此时油箱内余油多少升?
解:(1)如图,根据表中的数据,在平面直角坐标系
中,描出各点,这些点可以看成一条直线上的点,因此,
可以用学过的一次函数来表示与之间的变化规律。
设与之间的关系为一次函数:(k≠0)
将(0,100)和(1,8 0)代入,得
解得 ∴
验证:当时,,符合一次函数;
当时,,也符合一次函数.
∴可用一次函数表示其变化规律。
(2)当时,由可得
即货车行驶到处时油箱内余油16升.
注意:
1、为什么要利用函数的图象来确定函数模型呢?
我们知道,函数有三种表示法,这三种表示法虽然形式不同,但本质却表示同一函数关系。而最容易判断函数类型的是函数的图象,各类函数图象都有自己的特点,因此使用函数图象来判断函数类型是十分有效的方法。
2、为什么在确定了一次函数的解析式后还要进行检验?
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我们知道,根据表格中的数据在平面直角坐标系中描点后,根据这些点的位置判断它们属于一次函数模型,又根据其中两个点列出了一次函数的关系式,这是一种由特殊到一般的推理,这种推理所得到的结论不一定正确,因此还要检验另外两组数据是否符合。
例2 小明到三山服装专卖店做社会调查.了解到商店为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:
营业员
甲
乙
月销售件数(件)
200
150
月总收入(元)
1400
1250
假设营业员月基本工资为元,销售每件奖励a元,月销售件数为x件,月总收入为y元.
(1)确定y与x之间的关系式;
(2)若营业员小俐当月总收入不低于元,她当月至少要卖服装多少件?
解:(1)根据题意,得 (a≠0)
解得
(2)根据题意,得 即
解得 .
答:小俐当月至少要卖服装334件。
注意:题目中给出的月工资计算方法虽然没有明确表明是一次函数关系,但用式子表示出来却和一次函数的解析式类似,但是,它却不是一次函数。因为,自变量x只能取整数。
二、正比例函数、反比例函数模型
例3 为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比;药物释放完毕后,与的函数关系式为(a为常数,且≠0),如图所示.据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,与之间的两个函数关系式;
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(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室?
y(毫克)
O
3
t(小时)
1
P
解:(1)将点代入函数关系式,
解得 ∴
设(k≠0)
将代入 解得 点(,1)在上
再(,1)将代入 解得 ,
∴.
(2) 根据题意,得 解得
∴至少需要经过6小时后,学生才能进入教室.
注意:
1、这里为什么先求反比例函数的解析式,然后才求正比例函数的解析式?
我们知道题目中先给出的正比例函数关系然后才是反比例函数关系,按理说应该先求正比例函数的解析式,然后再反求比例函数的解析式,但题目中给出的函数图象中只有反比例函数图象上有一点P的坐标是知道的,根据这个条件只能先求出反比例函数的解析式,然后再寻找条件求正比例函数的解析式。
2、根据什么条件求正比例函数的解析式呢?
从图象上我们发现,有一个点即在反比例函数图象上又在正比例函数图象上,且它的纵坐标为1,只要确定了这个点的横坐标就可以了。又因为这个点在反比例函数的图象上,这个点的坐标能使反比例函数关系式成立,代入即可求得。有了正比例函数图象上的一个点,确定正比例函数的解析式就不困难了。
三、二次函数模型
例4 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为(吨)时,所需的全部费用(万元)与满足关系式
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,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价,(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售吨时,,请用含的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与(吨)之间的函数关系式;
(2)成果表明,在乙地生产并销售吨时,(为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定的值;
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?
参考公式:抛物线的顶点坐标是.
解:(1)甲地当年的年销售额为万元;
(2)在乙地区生产并销售时,
.
当x=时,
解得 , n=(不合题意,舍去).
(3)将代入,得 (万元)
将代入,得 (万元)
∴应选乙地.
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注意:这个题目并不难,关键是读懂题意。
例5 如图,一座拱桥的轮廓是抛物线型
拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均
为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中
(如右图所示),求抛物线的解析式;
(2)求支柱的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中
间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车
道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.
解:(1)根据题意,得 A(-10,0),B(10,0),C(0,6)
设抛物线的解析式为(a≠0),
将的坐标代入,
得 解得.
所以抛物线的表达式是.
(2)可设
∵F是抛物线上的点 ∴
从而支柱的长度是米.
(3)设是隔离带的宽,是三辆车的宽度和
则(7,0)
过点作垂直交抛物线于
则.
由此可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
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注意:这个题目虽然使用了二次函数模型,但与抛物线联系十分密切,因此解题时要特别关注图形(即二次函数的图象)。根据图形中的信息来解决问题。
四、三角函数模型
例6 某大草原上有一条笔直的公路,在紧靠公路相距40千米的A、B两地,分别有甲、乙两个医疗站,如图,在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天,甲医疗队接到牧民区的求救电话,立刻设计了两种救助方案,
方案I:从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处,再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.
方案II:从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.
已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.
(1)求牧民区到公路的最短距离CD.
A
D
B
C
45°
60°
(2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案,哪一种方案比较合理?并说明理由.(结果精确到0.1.参考数据:取1.73,取1.41)
解:(1)设CD为千米,
由题意得,∠CBD=30°,∠CAD=45°
∴AD=CD=x
在Rt△BCD中 tan30°= ∴BD=
∵AD+DB=AB=40
∴ 解得 ≈14.7
∴牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.
(若用分母有理化得到CD=14.6千米,可得4分)
(2)设汽车在草地上行驶的速度为,则在公路上行驶的速度为3,
在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AC=CD
方案I用的时间:
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方案II用的时间:
∴=
∵>0 ∴ >0
∴方案I用的时间少,方案I比较合理。
注意:利用函数模型解决问题时,经常使用函数图象和函数的性质,而使用三角函数模型时通常使用直角三角形的性质,要从图形中发现隐含的条件。
五、统计模型
例7 为减少环境污染,自2008年6月1日起,全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”(以下简称“限塑令”).某班同学于6月上旬的一天,在某超市门口采用问卷调查的方式,随机调查了“限塑令”实施前后,顾客在该超市用购物袋的情况,以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数/个
人数/位
“限塑令”实施前,平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
“限塑令”实施后,使用各种
购物袋的人数分布统计图
其它
5%
收费塑料购物袋
_______%
自备袋
46%
押金式环保袋24%
图2
“限塑令”实施后,塑料购物袋使用后的处理方式统计表
处理方式
直接丢弃
直接做垃圾袋
再次购物使用
其它
选该项的人数占
总人数的百分比
5%
35%
49%
11%
请你根据以上信息解答下列问题:
(1)补全图1,“限塑令”实施前,如果每天约有2 000人次到该超市购物.根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数,估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋?
(2)补全图2,并根据统计图和统计表说明
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,购物时怎样选用购物袋,塑料购物袋使用后怎样处理,能对环境保护带来积极的影响.
解:(1)补全图1见下图.
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数/个
人数/位
“限塑令”实施前,平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
10
(个).
这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个.
.
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋.
(2)图2中,使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为.
根据图表回答正确即可,
例如:由图2和统计表可知,购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋,少用塑料购物袋;
塑料购物袋应尽量循环使用,以便减少塑料购物袋的使用量,为环保做贡献.
注意:解答本题的关键是读懂统计图(表),从中获取正确的信息。
例8 李明对某校九年级(2)班进行了一次社会实践活动调查,从调查的内容中抽出两项.
综合素质
考试成绩
体育测试
满分
100
100
100
小聪
72
98
60
小亮
90
75
95
调查一:对小聪、小亮两位同学的毕业成绩
进行调查,其中毕业成绩按综合素质、考试成绩、
体育测试三项进行计算,计算的方法按4:4:2进行,毕业成绩达80分以上(含80分)为“优秀毕业生”,小聪、小亮的三项成绩如右表:(单位:分)
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不及格
O
36%及格
18%
良好
优秀3人
调查二:对九年级(2)班50名同学某项跑
步成绩进行调查,并绘制了一个不完整的扇形统
计图,如右图.
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)他们俩谁能达到“优秀毕业生”水平?哪位同学的毕业成绩更好些?
(2)升入高中后,请你对他俩今后的发展给每人提一条建议.
(3)扇形统计图中“优秀率”是多少?
(4)“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度?
解:(1)小聪成绩是:(分)
小亮成绩是:(分)
小聪、小亮成绩都达到了“优秀毕业生”水平.
小亮毕业生成绩好些.
(2)小聪要加强体育锻炼,注意培养综合素质.
小亮在学习文化知识方面还要努力,成绩有待进一步提高.
(3)优秀率是:.
(4)“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是:
.
解答数学应用问题是一种综合能力的使用,即包含对数学知识的理解和掌握,也包含对图形的观察和分析,同时还包含对题意的阅读和理解,我们应该见一些这样的题目,使自己的综合能力得到提高。
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