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推理与证明
一、利用三角形全等证明线段相等和角相等
我们知道如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等,对应角相等。全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等提供了方法。
例1 已知:如图,为上一点,点分别在两侧.,,.求证:.A
C
E
D
B
分析:从图形中我们发现,AC、CD正好是
△ ABC和△CDE的对应边,我们只要证明了△ABC和△CDE
全等就可以证明结论成立。
怎样证明这两个三角形确定呢?我们从已知条件出发,展开联想,寻找出全等的条件即可。
题目中的第一个条件:→∠B=∠E
题目中的第二个条件:,正好分别是等角的边。
这时,三角形全等的条件齐了,可以书写证明过程了。
证明:,∴.
在和中,
∵ ∴.
∴.
在上面的证明过程中,我们是怎样书写证明过程的呢?
上面的证明过程可以分为三部分:
第一部分,使用了一个逻辑推理。,∴.这个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用,也就是说,在证明三角形全等的三个条件中,已知条件中已经具备了两个,还需要一个条件,这个推理为三角形全等找到了第三个条件。
第二部分,证明两个三角形全等。
第三部分,利用全等三角形的性质,推理得出线段相等。
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例2 如图,在等腰梯形中,,是的中点,
求证:.
分析:从图中我们发现,线段MB,MC可以看成是
△ABM和△CDM的对应边,我们只要证明了△ABM和△CDM
全等就可以证明结论成立。
怎样证明这两个三角形确定呢?我们从已知条件出发,展开联想,寻找出全等的条件即可。
题目中的第一个条件:
在等腰梯形中,→AB=CD,∠A=∠D
题目中的第二个条件:是的中点→AM=DM。
这时,三角形全等的条件齐了,可以书写证明过程了。
证明:在等腰梯形中, ∴
∵是的中点 ∴
在和中,
∵ ∴(SAS).
∴.
上面的证明过程可以分为三部分:
第一部分,使用了两个逻辑推理。
①在等腰梯形中, ∴
②∵是的中点 ∴
这两个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用,也就是说,在证明三角形全等的三个条件中,已知条件中没有给出现成的条件,需要寻找三个条件,这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。
第二部分,证明两个三角形全等。
第三部分,利用全等三角形的性质,推理得出线段相等。
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例3 已知:如图,四边形ABCD中,.求证:.
分析:根据上面的经验,如果我们能把∠A,∠C
看作两个三角形的对应角,我们只需证明两个三角形全等
即可。但是图中没有三角形,怎么办?
我们可以添加“辅助线”,构造全等三角形。
如图,连接B、D,得到△ABD和△CBD,我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。
显然,已知条件中已经有了两个全等的条件,而我们
添加的“辅助线”正好是两个三角形的公共边,是全等的第
三个条件。这时,两个三角形全等的条件已经具备,我们来书写证明过程:
证明:连接BD.
在△和△中,
∵ ∴△≌△.
∴
另外,我们还可以这样来添加“辅助线”:
如图,连接A、C,得到△ABC和△ACD,我们只要能够证明∠BAD和∠BCD被AD分成的两部分分别相等就可以了。
题目中的第一个条件:AB=BC→∠BAC=∠BCA
题目中的第二个条件:AD=CD→∠DAC=∠DCA
证明:连结
∵,∴
同理
∵
∴.
这个证法使用等边对等角,先证明了∠BAD和∠BCD
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的两个部分分别相等,又使用等式的性质,证明了∠BAD和∠BCD整体相等。
例4 如图,在中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且.求证:是的中点.
分析:这个题目要证明D是BC的中点,也就是证明BD=DC,
也是证明两条线段相等,从图中我们可以看出,BD与DC所在的两个三角形△ABD和△ACD的形状不同,显然,利用这两个三角形全等来证明BD=DC是不行的。
我们再仔细、全面地观察图形,发现△AEF和△DBE的形状、大小相同,这两个三角形有可能全等。
我们从已知条件出发,展开联想:
题目中的第一个条件:是的中点→AE=DE
题目中的第二个条件:
过点作的平行线交的延长线于,即AF∥BC→∠AFE=∠DBE
题目中的第三个条件:→如果AF=BD成立,则BD=DC成立。
图中还有一对对顶角。
这时,可以先证△AEF和△DBE全等,得到AF=BD,然后根据,可以得到BD=DC了,下面书写证明过程:
证明:是的中点 ∴AE=DE
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中
∵ ∴△AEF≌△DEB
∴AF=DB
∴DB=DC
即是的中点.
在这个题目中,BD与DC所在的两个三角形△ABD和△ACD的形状不同,显然,利用这两个三角形全等来证明BD=DC不行,而发现△AEF和△DBE的形状、大小相同,这两个三角形有可能全等(实际上△AEF和△DBE全等
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)。在证明了这两个三角形全等后,题目的第三个条件就是一座桥,通过这个条件使证明得以完成。
例5 在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°, AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点.求证:CE⊥BE.
分析:如图,要证明CE⊥BE,有两种方法:
一是证明△BCE是直角三角形;二是证明∠CED+∠BEA=90°。
(一)如果证明△BCE是直角三角形,通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。这样就要知道三边CE、BE、CD的长度。
我们从已知条件出发,展开联想:
题目中的第一个条件:在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°→∠D=90°
即△ECD和△EBA都是直角三角形。
题目中的第二个条件:AB=2,BC=3,CD=1,这些数据可以帮助我们分别求出CE、BE的长度。
题目中的第三个条件:E是AD中点→DE=AE=AD
在Rt△ECD和Rt△EBA中,要分别求出CE、BE的长度还需要知道DE和AE的长度,而DE=AE=AD,因此,需要求出AD的长度。
如图,通过作“辅助线”:过C作CF⊥AB,垂足为F,很
容易知道四边形AFCD是矩形,CF=AD,△CBF也是直角三角形。
我们可以在这个直角三角形中求出CF的长,这样也就知道了DA的长,进而DE、AE的长也知道了。要求出CF,关键是知道BF=AB-CD=1。
证明: 过点C作CF⊥AB,垂足为F
∵ 在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,
∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°.
∴四边形AFCD是矩形.
∴AD=CF AF=CD
BF=AB-AF=AB-CD=1.
在Rt△BCF中,根据勾股定理,得 CF2+BF2=BC2 ∴CF==
∴ AD=CF=.
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∵E是AD中点 ∴ DE=AE=AD=
在Rt△ABE中,根据勾股定理,得 AE2+AB2=BE2 ∴BE2=6
同理,EC2 =3,
在△BCE中,EB2+ EC2=9=BC2 ∴∠CEB=90°
即EB⊥EC.
(二)如果证明∠CED+∠BEA=90°,由于题目中给出已知条件是线段的长度,在一般情况下,只知道线段的长度是不能求出∠CED和
∠BEA的度数,显然不能利用这种方法证明结论成立。
(注意:如果∠CED+∠BEA+∠CEF+∠BEF=180°,
且∠CED=∠CEF,∠BEA=∠BEF,就可以得到:
∠CED+∠BEA+∠CEF+∠BEF=2(∠CED+∠BEF)=180°
→∠CED+∠BEF=90°)
例6 把两个含有45°角的直角三角板ABC和EDC如图放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:AF⊥BE.
分析:图中有两个等腰直角三角形,就有很多相等
的线段和角,证明三角形全等比较容易。但是图形比较
复杂,不容易找出全等三角形。
我们从已知条件出发,展开联想:
题目中的第一个条件:
两个含有45°角的直角三角板ABC和EDC
→AC=BC,CD=CE,∠ABC=∠DCE=90°
→△ACD和△BCE全等
题目中的第二个条件:点D在BC上→BC与AF相交与D→∠ADC=∠BDF
利用全等三角形对应角相等,可以得到∠DAC=∠EBC,再利用对顶角相等,可以知道△BFD和△ACD已经有两个角对应相等,那么第三个角一定相等。而第三个角中有一个角是直角,那么另一个角也一定是直角。
证法一:在△ACD和△BCE中
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∵
∴ △ACD≌△BCE(SAS)
∴ ∠DAC=∠EBC
∵ ∠ADC=∠BDF
∴ ∠ ACD=∠BFD=90° 即AF⊥BE
我们发现上面使用红字的推理使用了简写,完整的书写应该是:
在△ACD和△BCE中
∵∠DAC=∠EBC ∠ADC=∠BDF
∴∠DAC+∠ADC=
∴180°-(∠DAC+∠ADC)=180°-(∠EBC+∠BDF)
即∠ACD=∠BFD
∵∠ACD==90° ∴∠BFD=90° 即AF⊥BE
证法二:在Rt△ACD和Rt△BCE中,
∵ AC=BC DC=EC,
∴ 即tan∠DAC=tan∠EBC
∴ ∠DAC=∠EBC
∵ ∠ADC=∠BDF ∴ ∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°
∴ ∠BFD=90° ∴ AF⊥BE
(注意:在直角三角形中,如果两个角的三角函数值相等,那么这两个角也相等。在其它三角形中这个命题则不一定成立。)
二、与四边形有关的证明
与四边形有关的证明,主要是证明符合条件的图形是我们熟悉的特殊四边形。这类题目的证明,首先要求我们熟悉各种特殊四边形的性质和判定,然后根据题目的已知条件选择方法,最后完成证明。
例7 如图,在四边形中,点是线段
上的任意一点(与不重合),分别是
的中点.证明四边形
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是平行四边形;
分析:要证明一个四边形是平行四边形,可以根据题目中的条件,选择适当的方法完成证明。
根据题目中的条件:分别是的中点→FH∥BE,FH=BE=GE→四边形EGFH是平行四边形.
证明:在中,
∵G,F分别是的中点 ∴且
∵H是的中点, ∴且
∴四边形是平行四边形
例8 如图,已知平行四边形中,对角线
交于点,是延长线上的点,且是等边三角形.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,求证:四边形是矩形.
分析:要证一个平行四边形是菱形,只需证这个四边形有一组邻边相等。
我们从已知条件出发,展开联想:
题目中的第一个条件:
平行四边形中,对角线AC、BD交于点O→O为线段AC的中点
→O为线段AC中垂线上的点
题目中的第二个条件:
是延长线上的点,且是等边三角形→AE=CE→E为线段AC中垂线上的点
这样OE为线段AC的中垂线,而D在OE上→DA=DC
(1)_______________________________________________________________________________________________________________________________证法一:∵四边形是平行四边形 ∴AO=CO
∴O为线段AC中垂线上的点
∵△ACE是等边三角形 ∴AE=CE
∴E为线段AC中垂线上的点
∴OE为线段AC的中垂线
∵D在OE上 ∴DA=DC
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∴平行四边形是菱形。
另外,我们还可以利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来判定。
(1)_______________________________________________________________________________________________________________________________证法二:∵四边形是平行四边形 ∴AO=CO
∵△ACE是等边三角形 ∴EO⊥AC 即
∴平行四边形是菱形。
这里使用了“等腰三角形三线合一”定理。
分析:要证一个平行四边形是矩形,只需证这个四边形有一个角是直角。
我们从已知条件出发,展开联想:
题目中的第一个条件:平行四边形中,对角线AC、BD交于点O→OA=OC
题目中的第二个条件:是等边三角形→∠AFC=60°
是等边三角形,OA=OC→EO平分∠AEC→∠AED=30°
根据附加的条件:若→∠EAD=15°
图中∠AEO是△ADE的外角→∠AEO=∠AED+∠EAD=30°+15°=45°,
前面我们已经证明了四边形ABCD是菱形,根据菱形的性质,可以知道
∠ADC=2∠AEO =90°,这样有一个角是直角的平行四边形就是矩形了。
下面我们完成证明过程的书写:
(2)证明:在平行四边形中,
对角线AC、BD交于点O ∴OA=OC
∵是等边三角形 ∴∠AFC=60°
∵是等边三角形 OA=OC ∴EO平分∠AEC
∴∠AED=30°
∵ ∴∠EAD=15°
∴∠AEO=∠AED+∠EAD=30°+15°=45°
在菱形中 ∵∠ADC=2∠AEO ∴∠ADC=90°
∴四边形是矩形
例9 在菱形中,°,过点作
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且与AB的延长线交于点E.求证:四边形
AECD是等腰梯形.
分析:证明一个四边形是等腰梯形,首先证明这个四边形是梯形,即这个四边形有一组对边平行,然后再证明这个梯形的两腰相等。
证法1:∵四边形ABCD是菱形
∴AB//CD AC平分∠DAB
∵AC平分∠DAB ∠DAB=60°
∴∠CAE
∵ ∴∠E = 90°-∠CAE = 90°-30°= 60°
∴
∵AB//CD ∴四边形是等腰梯形.
从上面的例题中我们可以看出,与四边形有关的证明比利用三角形全等证明角和边相等复杂的多。但是,只要熟悉四边形特别是平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法,这些题目也是容易完成的。
我们知道,完成证明需要完成两部分,第一部分就是寻找完成证明的思路,第二部分是完成证明的书写。
怎样寻找证明的思路呢?需要对证明的结论进行分析,看需要具备什么条件才能得以证明,然后开始从已知条件出发,展开联想。要对每一个条件认真思考,进行简单的推理。如果通过对已知条件的联想和推理,还不能够得到结论,就需要从图形中挖掘条件。通常较为复杂的图形中隐含的条件较多,简单的图形隐含的条件较少。当图形中的隐含条件还不够用时,可以考虑填加辅助线。
怎样完成证明的书写呢?证明的书写是证明过程的再现,因此要有条理。因为证明是由一个、一个推理组成的,所以,在书写时可以按照下面讲解的方法进行。
○你知道什么是推理吗?
推理是人们的思维过程。是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。生活中我们经常使用“推理”,例如:“
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一叶知秋”就是一个推理,意思是看到树上一片叶子落下来,就知道秋天来了(这个推理是否正确且先不论)。
推理有时得到的新的判断是正确的,有时也可能是错误的,因此进行正确的推理就需要采用正确的方法。
○你知道演绎推理吗?
演绎推理:从一般性的原理出发。推出某个特殊情况下的结论的推理,称作演绎推理。
演绎推理是由一般到特殊的推理。
数学的证明主要通过演绎推理来进行。
○你知道演绎推理的模式吗?
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提——已知的一般原理;
(2)小前提——所研究的特殊情况;
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。
演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定是正确的。
例如:证明:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
已知: AB=AC
(1)若∠A=60°
(2)若∠B=60°
求证:AB=BC=AC
在再这个命题(1)的证明过程中,我们使用了下列3个推理:
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(1)(大前提)等腰三角形的两个底角相等
(小前提) AB=AC
(结论) ∠B=∠C
(2)(大前提)三角形三个内角的和等于180°
(小前提) ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
(结论) ∠A+∠B+∠C= 180°
(3)(大前提)有两个角相等的三角形是等腰三角形
(小前提) ∠A=∠B= 60°
(结论) BC=AC
除此之外,我们还使用了一些代数计算:
60°+2∠B= 180°→ ∠B= 60°
另外,还使用了“等量代换”:AB=AC =BC
○你知道怎样书写证明过程吗?
在上面的例子中,我们在书写证明过程中有一些常规:
例如推理(1):
(大前提)等腰三角形的两个底角相等
(小前提) AB=AC
(结论) ∠B=∠C
应写成:
∵AB=AC ∴∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等)
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注意:我们发现大前提被写在后面的括号里,也就是老师常说的著名理由。当然,考试时是不需要注明理由的,但是我们必须知道有没有理由,并且这个理由正确不正确,正确的理由一定是我们学过的定义、公理、定理等。
我们发现小前提实际上是题目给出的已知条件,我们在它前面写上“∵”,在结论前面写上“∴”。
只要我们将每一个推理的大前提、小前提和结论都能够正确的书写,然后再加上代数计算等,最后在调整一下推理的前后顺序,证明就能够基本书写清楚了,证明过程就完成了。
例如:上面的题目,可以这样书写:
已知: AB=AC
(1)若∠A=60°
(2)若∠B=60°
求证:AB=BC=AC
证明:(1) ∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
∴ ∠A+∠B+∠C= 180° 即60°+2∠B= 180°
∴∠B= 60°
∵ ∠A=∠B= 60° ∴BC=AC
∴AB=AC =BC
○你发现证明书写过程有哪些规律吗?
我们发现:
(1)在证明的书写过程中, “∵”、“∴”成对出现。
例如:∵AB=AC ∴∠B=∠C
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这说明,一个推理应该是完整的。
(2)在证明的书写过程中还出现了 “∵”、“∴”,“∴”的形式。
例如:∵∠A=∠B= 60° ∴BC=AC ∴AB=AC =BC
这实际上是两个推理的简写形式,这两个推理应该写成:
∵∠A=∠B= 60° ∴BC=AC
∵AB=AC BC=AC ∴AB=AC =BC
(3)实际上推理还有 “∵”、“∵”,“∴”的形式,这实际上是由两个条件推出一个结论的推理过程的书写形式。
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