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解答开放题
我们知道中考数学试卷中会有一些开放性试题,这些试题考查的知识点较多,综合性强,还考查对数学的理解和对数学知识的运用,灵活多变,有一定的难度。
开放性试题,可以分为三类,即条件开放性试题、过程开放性试题、结论开放性试题,这些试题没有固定的解题步骤和解答的程序,且答案不唯一。
下面我们就看几个例题,希望能帮助你掌握解答这类试题的基本方法。
例1 如图,在下面四个等式:①,②,③,④中选出两个作为条件,推出是等腰三角形.写出所有的方法,并完成其中一种的证明.
分析:这是一个条件开放的题目。
首先,我们将条件进行组合。
根据下表可以得到12种组合,由于其中(1,2)与(2,1)表示同一种意思,所以去掉重合后共有6种组合。即:
1
2
3
4
1
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,3)
(1,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(1)①,②
(2)①,③
(3)①,④
(4)②,③
(5)②,④
(6)③,④
然后,我们从结论出发去思考。
(1)若是等腰三角形,则必须AE= DE,需要△ABE≌△DCE
(2)若是等腰三角形,则必须∠EAD=∠EDA,需要△ABD≌△DCA
显然,每个组合中的两个条件是不够的,题目中还有哪些隐含的条件呢?我们发现,图中的∠AEB=∠DEC(对顶角相等)。这样,我们发现:
组合(1):①,②再加上图中的∠AEB=∠DEC(对顶角相等)不能证明△ABE≌△DCE或△ABD≌△DCA全等。
组合(2):①,③再加上图中的∠AEB=∠DEC(对顶角相等)→△ABE≌△DCE(SAS)
组合(3):①,④再加上图中的∠AEB=∠DEC
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(对顶角相等)→△ABE≌△DCE(SAS)
组合(4)②,③再加上图中的∠AEB=∠DEC(对顶角相等)→△ABE≌△DCE(ASA)
组合(5)②,④再加上图中的∠AEB=∠DEC(对顶角相等)→△ABE≌△DCE(SAS)
组合(6):③,④再加上图中的∠AEB=∠DEC(对顶角相等)也不能证明△ABE≌△DCE或△ABD≌△DCA全等。
而根据上面的组合,使△ABD≌△DCA全等不可能。
下面完成解答:
答:方法1:①③;
方法2:①④;
方法3:②③;
方法4:②④.
已知:①③(或①④,或②③,或②④)
求证:是等腰三角形.
证明:在和中,
∴
∴ 即是等腰三角形
条件开放性试题,需要考虑完备性,即要将所有可能的情况都考虑到,这就需要选择方法,在这里我们使用了在计算概率时常用的方法——列表法,以保证各种情况都考虑到。
条件开放性试题,由于条件是开放的,因此,这类问题常常需要从结论出发进行分析思考,寻求结论成立所需要的条件,这是一种逆向思维的方法。
条件开放题,常常出现一些条件不能使结论成立,这类条件需要通过正确的判断进行甄别,将不符合要求的条件舍去。
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例2 如图,直线的解析表达式为,
且与轴交于点,直线 经过点A,B,直线,
交于点C.在直线上存在异于点的另一点,
使得与的面积相等,请直接写出点
的坐标.
分析:这是一个过程开放的题目。
我们发现所求的P点必须满足两个条件:
条件1,点在直线上;
条件2,使得与的面积相等。
我们知道,两个三角形面积相等的条件有: 图1
(1)等底同高的两个三角形的面积相等。如图1,A是CP的中点,DE⊥CP,垂足为E,则与的面积相等。
(2)同底等高的两个三角形面积相等。如图2,
AD⊥BC,A/D⊥BC,A//D⊥BC,垂足分别为D、E、F,且AD= A/D= A//D,则与△A/BC、 图2
△A//BC的面积相等。
(3)全等三角形的面积相等。如图3,延长DA
到E,使AE=DA,在CA的延长线上取点P,使CA=AP,
连接EP,显然构造的△AEP与△ADC全等,则与
的面积相等。。 图3
我们发现,根据条件1,与的位置应该
与图1或图3类似。
对于图1,我们只要使PA=AC即可。也就是将点C绕
点A旋转180°,就得到P点。只要知道了点C的坐标,就可以写出点P的坐标了。从图中我们可以直观的看
出C(-3,2),则P(6,3)。
对于图3,我们要使AE=AD,还要使PA=AC,同样只要知道点C的坐标,就可以写出点P的坐标了。
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这时我们还需要再找一下,看还有没有满足条件的点。显然没有了。
另外我们还可以验证一下,我们找到的P点,是否在l2上:
根据图中提供的信息,我们知道A(4,0),B(3,),这时,直线l2的解析表达式为,将P(6,3)代入解析式,等式成立。因此,P(6,3)就是符合条件的点。
例3 如图,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为(2,0),线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:这是一个结论开放的题目。
我们发现所求的P点必须满足两个条件:
条件1,点在线段OM上;
条件2,使得以为顶点的三角形与△OO1M相似。
我们知道是直角三角形,且OO1=2,O1M=1,根据勾股定理,可得MO=。
若以为顶点的三角形与△OO1M相似,则它也一定是直角三角形,且∠MOO1为公共角。显然这样的三角形是很容易作出来的,点P一定存在。
我们可以通过作垂线构造直角三角形:
(1)如图,过A作PA⊥x轴,垂足为P。P点的横坐标就是线段OA的长度1,纵坐标就是线段AP的长度。
我们可以利用“相似三角形对应边成比例”求得线段OA、AP的长度:
由于△OAP∽△OMO1→→→AP=,故P(1,)。
我们还可以利用“锐角三角函数”求线段AP
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的长度:
在Rt△OMO1中,由于OO1=2,O1M=1,所以,
tan∠MOO1=
在Rt△OAP中,由于OA=1,所以tan∠AOP=
因为∠MOO1=∠AOP,所以tan∠MOO1=tan∠AOP,即
故AP=,P(1,)。
我们还可以利用“特殊的直角三角形的性质” 求线段AP的长度:
在Rt△OMO1中,由于OO1=2,O1M=1,所以∠MOO1=30°
在Rt△OAP中,由于OA=1,tan∠AOP= tan 30°==
故AP=,P(1,)。
(2)如图,过A作AP⊥OM,垂足为P,过P
点作PH⊥x轴,垂足为H,这时点P的横坐标就是
线段OH的长度,纵坐标就是线段HP的长度。
在Rt△OAP中,由于OA=1,∠AOP=30°,cos30°==
在Rt△OHP中,由于OP=,∠HOP=30°,
sin 30°=→HP=OPsin30°=×=
cos30°=→OH=OP cos30°=×=
故P(,)
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符合条件的点坐标有(1,)和(,)
例4 如图,在平面直角坐标系中,的顶点的坐标为(10,0),顶点在第一象限内,且,.在过O,B,A的抛物线上是否存在一点,使以为顶点的四边形为梯形?若存在,有几个这样的点P?并求出在第一象限的点的坐标;若不存在,请说明理由;
分析:根据已知条件:的顶点
的坐标为(10,0),顶点在第一象限
内,且,。我们知道
这样的三角形是唯一确定的。
为求出点P,我们需要完成下列任务:
(1)画出过O,B,A的抛物线的草图;
(2)在抛物线上画出梯形;
(3)出点的坐标(只求在第一象限的点的坐标)
我们知道点B不是抛物线的顶点,因此,抛物线的对称轴应该是线段OA的中垂线,这样可以画出草图(如下图):
我们知道:“有一组对边平行的四边形是梯形”,同时,以O,B,A为顶点的三角形有三条边,我们可以过三角形的任意一个顶点,作对边的平行线,看这条平行线是否与抛物线相交,如果相交,交点就是P。如下图:
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BP∥OA OP∥AB AP∥OB
我们可以清楚的看到符合条件的点P共有三个。当BP∥OA时,点P在第一象限;当OP∥AB时,点P在第四象限;当AP∥OB时,点P在第三象限。
当P在第一象限时,点P的纵坐标与点B的纵坐标相同。
我们可以这样来解:
解:如图,存在,共有3个。
过B作BC⊥OA,垂足为C
在Rt△ABC中 ∵ 即=
∴BC=AB=×=3
由勾股定理,得 BC2+AC2=AB2 ∴AC=
∴OC=OA-CA=4
∴B(4,3)
设过O、A、B三点的抛物线为:y=ax2+bx(a≠0)
根据题意,得 解得
∴y=x2+x
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设P(x,3)在y=x2+x上,当y=3时,得 x2+x =3
整理,得 x2-10x+24=0
解得 x1=4(与点B重合,舍去) x2=6
∴P(6,3)
你发现了吗?题目中并没有要求我们画图、求点B的坐标、求二次函数的解析式,我们为什么要做这些呢?
首先,画图是为了能够清楚地表达我们找到的点P的位置。
其次,为求在第一象限的点P的坐标,我们发现点P的纵坐标与点B的纵坐标相同,同时点P又是抛物线上的点,因此,需要求出点B的坐标和二次函数的解析式。
综上所述,解答开放性题目,需要“数形结合”,即从形的角度探索,从数的角度论证。图形在解题过程中起到很重要的作用。
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