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第二十八章检测卷
时间：120分钟 满分：150分
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．tan30°的值等于( )
A. B. C. D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为( )
A. B. C. D．1
第2题图 第6题图 第7题图
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
4．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则cos的值是( )
A. B. C. D.
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )
A. B. C. D．1
7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
8．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为( )
A．50米 B．51米 C．(50＋1)米 D．101米
9．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD
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的长为( )
A. B. C. D.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝.点P是斜边AB上一个动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC(或边CB)于点Q.设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝________．
12．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cosθ＝________．
13． 如图，一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为____________海里/时．
14．规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny.据此判断下列等式成立的是__________(填序号)．
①cos(－60°)＝－；②sin75°＝；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cos60°.
16．根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；
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(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学欲测量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地点A，B，C，并测得B，C两地直线距离为40km，∠A＝45°，∠B＝30°，求巢湖东西向长度AB(结果精确到0.1km，参考数据：≈1.73)．
18.某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：
课题
测量教学楼高度
方案
一
二
图示
测得
数据
CD＝6.9米，∠ACG＝22°，
∠BCG＝13°.
EF＝10米，∠AEB＝32°，
∠AFB＝43°.
参考
数据
sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23.
sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93.
请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)．
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五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，＝，点E是AB的中点，tanD＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．
20．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.73，≈1.41)．
六、(本题满分12分)
21．如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC.若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．
七、(本题满分12分)
22．某班数学兴趣小组利用数学活
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动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，如图，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
八、(本题满分14分)
23．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C、A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：≈1.41，≈1.73)?
参考答案与解析
1．C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C
9．B 解析：连接BD.∵AB是⊙O的直径，AB＝4，∴∠ADB＝90°，OB
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＝2.∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cosA＝cos∠BOC.∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝＝，∴cosA＝cos∠BOC＝.又∵cosA＝，AB＝4，∴AD＝.故选B.
10．B 解析：当点Q在AC上时，∵在Rt△APQ中，tanA＝，AP＝x，∴PQ＝x，∴y＝AP·PQ＝x·x＝x2；当点Q在BC上时，∵AP＝x，AB＝10，∴BP＝10－x.在Rt△BPQ中，tanB＝＝＝2，∴PQ＝2BP＝20－2x，∴y＝AP·PQ＝x(20－2x)＝－x2＋10x，∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下，并且当Q点在C时，x＝8，y＝16.故选B.
11. 12. 13.
14．②③④ 解析：cos(－60°)＝cos60°＝，故①错误；sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝×＋×＝＋＝，故②正确；sin2x＝sin(x＋x)＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx·cosx，故③正确；sin(x－y)＝sinx·cos(－y)＋cosx·sin(－y)＝sinx·cosy－cosx·siny，故④正确．故答案为②③④.
15．解：(1)原式＝3×＋－2×＝＋－＝.(4分)
(2)原式＝()2－2×＋＝3－＋＝－.(8分)
16．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4.(4分)
(2)∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6.(8分)
17．解：过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.(1分)∵在Rt△BDC中，∠B＝30°，BC＝40km，∴CD＝BC·sinB＝40×＝20(km)，BD＝BC·cosB＝40×＝20(km)．(4分)∵在Rt△ADC中，∠A＝45°，CD＝20km，∴AD＝CD＝20km，∴AB＝AD＋BD＝20＋20≈54.6(km)．(7分)
答：巢湖东西向长度AB大约是54.6km.(8分)
18．解：若选择方法一，解法如下：∵在Rt△BGC中，∠BCG＝13°，BG＝CD＝6.9米，tan∠BCG＝，∴CG＝≈＝30(米)．(3分)∵在Rt△ACG中，∠ACG＝22°，CG≈30米，tan∠ACG＝，∴AG＝CG×tan22°≈30×0.40＝12(米)，(6分)∴AB＝AG＋BG＝12＋6.9≈19(米)．(7分)
答：教学楼的高度约为19米．(8分)
若选择方法二，解法如下：∵在Rt△AFB中，∠AFB＝43°，tan∠AFB＝，∴FB＝≈.(3分)∵在Rt△ABE中，∠AEB＝32°，tan∠AEB＝，∴EB＝≈.(5分)∵EF＝EB－FB＝10米，∴－＝10，∴AB≈19米．(7分)
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答：教学楼的高度约为19米．(8分)
19．解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.∵点E是AB的中点，CE＝1，∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2，∴∠B＝∠ECB.(3分)∵＝，∴设BC＝3x，CD＝2x.在Rt△ACD中，tanD＝2，∴＝2，∴AC＝4x.在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝＝5x，∴sin∠ECB＝sinB＝＝.(7分)由AB＝2，得x＝，∴AD＝＝＝2x＝2×＝.(10分)
20．解：过点P作PN⊥AB于点N.(1分)由题意可得∠APB＝∠90°，ABP＝30°，AB＝8cm，∴AP＝4cm，BP＝AB·cos30°＝4cm.(4分)∵S△APB＝AB·PN＝AP·BP，∴PN＝＝＝2(cm)，(8分)∴9－2≈5.5(cm)．(9分)
答：容器中牛奶的高度约为5.5cm.(10分)
21． 解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，(1分)则∠E＝90°.∵在Rt△BDE中，sin∠DBC＝，BD＝2，∴DE＝2，∴BE＝＝4.∵在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝2，∴CE＝＝1，∴BC＝BE－CE＝3，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.(4分)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD.同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形．(7分)设AC交BD于O，则AC⊥BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD＝，(10分)∴OC＝＝，∴AC＝2OC＝2.(12分)
22．解：过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，垂足分别为点F，G.(1分)∵在Rt△DEG中，DE＝1620尺，∠D＝30°，∴EG＝DE·sinD＝1620×＝810(尺)．(3分)由题意可得BC＝857.5尺，CF＝EG＝810尺，∴BF＝BC－CF＝857.5－810＝47.5(尺)．∵在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∠BEF＝30°，∴EF＝BF.(7分)设AB＝x尺．∵在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，tan∠AEF＝，∴AF＝EF·tan∠AEF＝EF＝3BF，∴x＋47.5＝3×47.5，∴x＝95.(11分)
答：雕像AB的高度为95尺．(12分)
23．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(2分)设AE＝x海里．在Rt△AEC中，∠CAE＝60°，∴CE＝AE·tan60°＝x海里，AC＝＝2x海里．(4分)在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝x海里．∵AB＝AE＋BE
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＝100(＋1)海里，∴x＋x＝100(＋1)，解得x＝100.∴AC＝200海里．(6分)在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.设AF＝y海里．在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，∴AD＝2y海里，DF＝y海里．在Rt△CFD中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝y海里．∵AC＝AF＋CF＝200海里，∴y＋y＝200，解得y＝100(－1)，∴AD＝2y＝200(－1)海里．(9分)
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(－1)海里．(10分)
(2)没有．(11分)由(1)可知DF＝AF＝×100(－1)≈127(海里)．(13分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)
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