2017年秋人教版七年级上《4.3.3余角和补角》同步练习含解析.docx

人教版数学七年级上册第4章 4.3.3余角和补角 同步练习 一、单选题（共12题；共24分）‎ ‎1、在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数（  ） ‎ A、60° B、90° C、120° D、60°或120°‎ ‎2、如图，已知∠B=30°，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠B=40°，则图中互余的角有（  ）对． ‎ A、4对 B、5对 C、6对 D、7对 ‎3、下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（   ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、下列说法：①35=3×3×3×3×3；②﹣1是单项式，且它的次数为1；③若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角；④对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若  = ，则x=y．其中不正确的有（   ） ‎ A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 ‎5、如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（   ） ‎ A、60° B、50° C、40° D、30°‎ ‎6、时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（   ） ‎ A、90° B、100° C、105° D、110°‎ ‎7、如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（    ） ‎ A、互为余角 B、互为补角 C、互为对顶角 D、互为邻补角 ‎8、如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（   ） ‎ A、 B、 C、 D、不能确定 ‎9、已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（   ） ‎ A、相等 B、互余   C、互补 D、互为对顶角 ‎10、如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角之间关系为（   ） ‎ A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不能确定 ‎11、如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1互余的角有（   ） ‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎12、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（   ） ‎ A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 二、填空题（共5题；共6分）‎ ‎13、如果两个角互补，并且它们的差是30°，那么较大的角是________． ‎ ‎14、若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少2°，则这个角等于________． ‎ ‎15、如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为________． ‎ ‎16、如果∠1+∠2=90°，而∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是________． ‎ ‎17、看图填空，并在括号内说明理由： 如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明∠E=∠F． ∵∠BAP与∠APD互补，________ ‎ ‎∴∠E=∠F．________． ‎ 三、解答题（共3题；共15分）‎ ‎18、一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？ ‎ ‎19、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？ ‎ ‎20、已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：DE⊥AC． ‎ 四、综合题（共3题；共31分）‎ ‎21、如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD． ‎ ‎(1)写出图中与∠EOB互余的角； ‎ ‎(2)若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数． ‎ ‎22、如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°． ‎ ‎(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； ‎ ‎(2)若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数． ‎ ‎23、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． ‎ ‎(1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________； ‎ ‎(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； ‎ ‎(3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1、【答案】D 【考点】余角和补角，垂线 【解析】【解答】解：由OC⊥OD，可得∠DOC=90°， 如图1，当∠AOC=30°时，∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°； 如图2，当∠AOC=30°时，∠AOD=90°﹣30°=60°，此时，∠BOD=180°﹣∠AOD=120°． 故选D 【分析】根据题意可知，射线OC、OD可能在直线AB的同侧，也可能在直线AB的异侧，分两种情况进行讨论即可． ‎ ‎2、【答案】A 【考点】余角和补角，垂线 【解析】【解答】解：图中互余的角有：∠B与∠BAD，∠C，∠C与∠DAC，∠E与∠F，共4对． 故选A 【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可． ‎ ‎3、【答案】B 【考点】余角和补角 【解析】【解答】解：四个选项中，只有选项B满足∠1+∠2=90°， 即选项B中，∠1与∠2互为余角． 故选B． 【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解． ‎ ‎4、【答案】B 【考点】单项式，等式的性质，余角和补角，有理数的乘方 【解析】【解答】解：35=3×3×3×3×3，①说法正确，不符合题意； ﹣1是单项式，且它的次数为0，②说法错误，符合题意； 若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角，③说法正确，不符合题意； 对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若  = ，则x与y不一定线段，④说法错误，符合题意， 故选：B． 【分析】根据有理数的乘方的意义、单项式的概念、余角的定义、等式的性质进行判断即可． ‎ ‎5、【答案】A 【考点】余角和补角，平行线的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠1=30°， ∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°， ∵直尺两边互相平行， ∴∠2=∠3=60°． 故选：A． 【分析】根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3． ‎ ‎6、【答案】C 【考点】钟面角、方位角 【解析】【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30× =105°， 故选：C． 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． ‎ ‎7、【答案】A 【考点】余角和补角，对顶角、邻补角 【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等）， 又∵AB⊥CD， ∴∠1+∠COE=90°， ∴∠1+∠2=90°． 故选：A． 【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解． ‎ ‎8、【答案】C 【考点】余角和补角，对顶角、邻补角 【解析】【解答】解：∵∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β=180°， ∴ （∠α+∠β）=90°， ∴∠β的余角是：90°﹣∠β= （∠α+∠β）﹣∠β= （∠α﹣∠β）， 故选：C． 【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到 （∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：90°﹣∠β再利用等量代换可得 （∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可． ‎ ‎9、【答案】B 【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，垂线 【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等）， 又∵AB⊥CD， ∴∠1+∠COE=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴两角互余． ‎ 故选：B． 【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余． ‎ ‎10、【答案】C 【考点】余角和补角，平行线的性质 【解析】【解答】解：两个角的两边互相平行， 如图（1）所示，∠1和∠2是相等关系， 如图（2）所示，则∠3和∠4是互补关系． 故选：C． 【分析】根据两个角的两边互相平行及平行线的性质，判断两角的关系即可，注意不要漏解． ‎ ‎11、【答案】C 【考点】余角和补角，垂线，平行线的性质 【解析】【解答】解：∵CE⊥BD， ∴∠CBD=∠EBD=90°， ∴∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°， 即∠ABC、∠EBF与∠1互余； ∵AB∥CD， ∴∠1=∠D， ∵∠C+∠D=90°， ∴∠C+∠1=90°， 即∠C与∠1互余； 图中与∠1互余的角有3个， 故选：C． 【分析】由垂线的定义得出∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，得出∠ABC、∠EBF与∠1互余；由平行线的性质和余角关系得出∠C+∠1=90°，得出∠C与∠1互余． ‎ ‎12、【答案】B 【考点】余角和补角，对顶角、邻补角，平行公理及推论，命题与定理 【解析】【解答】解：①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角，故①错误；②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误；③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误；④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确；⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤正确． 所以真命题有④⑤两个． 故选：B． 【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数． ‎ 二、填空题 ‎13、【答案】 【考点】余角和补角 【解析】【解答】解：设较大角为x，则其补角为180°﹣x， 由题意得：x﹣（180°﹣x）=30°， ‎ 解得：x=105°． 故答案为：105°． 【分析】设较大角为x，则其补角为180°﹣x，根据它们的差是30°可列出方程，解出即可． ‎ ‎14、【答案】71.6° 【考点】余角和补角 【解析】【解答】解：设这个角为x， 由题意得，3x=2（180°﹣x）﹣2°， 解得，x=71.6° 故答案为：71.6°． 【分析】设这个角为x，根据题意和补角的概念列出方程，解方程即可． ‎ ‎15、【答案】50° 【考点】余角和补角，平行线的性质 【解析】【解答】解：∵∠1=40°， ∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=50°． 故答案为：50°． 【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论． ‎ ‎16、【答案】相等 【考点】余角和补角 【解析】【解答】解：∵∠2与∠3互余， ∴∠2+∠3=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3． 故答案为：相等． 【分析】根据同角的余角相等解答． ‎ ‎17、【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【考点】余角和补角，平行线的判定与性质 【解析】【解答】证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BAP=∠APC（ 两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2（等量代换），即∠3=∠4， ∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． ‎ ‎【分析】先根据题意得出AB∥CD，再由平行线的性质得出∠BAP=∠APC，根据∠1=∠2可得出∠3=∠4，进而得出AE∥PF，据此可得出结论． ‎ 三、解答题 ‎18、【答案】解：设这个角的度数为x°， 则根据题意得：180﹣x=3（90﹣x）， 解得：x=45， 即这个锐角为45°． 【考点】余角和补角 【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则根据题意得出180﹣x=3（90﹣x），求出方程的解即可． ‎ ‎19、【答案】解：∠1=∠2， 理由：∵∠A=∠C=90°，根据四边形的内角和得，∠ADC+∠ABC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠EBC= ∠ABC，∠2= ∠ADC， ∴∠EBC+∠2= ∠ABC+ ∠ADC=90°， ∵FG⊥BE， ∴∠FGB=90°， ∴∠1+∠EBC=90°， ∴∠1=∠2 【考点】余角和补角，角平分线的性质，多边形内角与外角 【解析】【分析】先根据四边形的内角和求出∠ADC+∠ABC=180°，再结合角平分线得出∠EBC+∠2=90°，再利用直角三角形的两锐角互余得出，∠1+∠EBC=90°，即可得出结论． ‎ ‎20、【答案】证明：如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥HF， ∴∠2+∠3=180°， 又∵∠1与∠2互补， ∴∠2+∠1=180°， ∴∠1=∠3， ∴DE∥BC， ∵AC⊥BC， ∴DE⊥AC． 【考点】余角和补角，平行线的判定与性质 【解析】【分析】根据AC⊥BC，DE⊥AC，易证DE∥BC，那么∠2+∠3=180°，而∠1与∠2互补，从而可证∠1=∠3，即可得出DE∥BC，结合AC⊥BC，易得DE⊥AC． ‎ 四、综合题 ‎21、【答案】（1）解：∵OA平分∠COF， ∴∠COA=∠FOA=∠BOD， ∵OE⊥CD， ∴∠EOB+∠BOD=90°， ∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°， ∴与∠EOB互余的角是：∠COA，∠FOA，∠BOD （2）解：∵∠AOF=30°，由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°， ∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°， ∵OE⊥CD， ∴∠BOE=90°﹣30°=60° 【考点】角平分线的定义，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线 【解析】【分析】（1）由于OA平分∠COF和∠COA与∠BOD是对顶角，得到∠COA=∠FOA=∠BOD，根据垂直定义有∠EOB+∠BOD=90°，根据互为余角的定义即可得到结论；（2）由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，由平角的意义可求得∠DOF，根据垂直定义可求得∠BOE． ‎ ‎22、【答案】（1）解：（1）BF∥DE，理由如下： ∵∠AGF=∠ABC， ∴GF∥BC， ∴∠1=∠3， ∵∠1+∠2=180°， ∴∠3+∠2=180°， ∴BF∥DE； （2）解：∵BF∥DE，BF⊥AC， ∴DE⊥AC， ∵∠1+∠2=180°，∠2=150°， ∴∠1=30°， ∴∠AFG=90°﹣30°=60°． 【考点】余角和补角，垂线 【解析】【分析】（1）由于∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1+∠2=180°得出∠3+∠2=180°判断出BF∥DE；（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2=150°得出∠1=30°，得出∠AFG的度数 ‎ ‎23、【答案】（1）∠A+∠C=90°； （2）解：如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ‎ ‎∵AM∥CN， ∴∠C=∠CBG， ∴∠ABD=∠C； （3）解：如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）可得∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β，则 ∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）=180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，② 由①②联立方程组，解得α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【考点】余角和补角，平行线的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． ‎