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专项训练（二） 一元二次方程
一、选择题
1.已知x=是一元二次方程x2+mx+=0错误！未找到引用源。的一个解，则m的值是 ( )
A.-1 B.1 C. D.
2.用配方法解一元二次方程2x2-12x-9=5，则方程可变形为（ ）
A.2（x-6）2=43 B.（x+6）2=43
C.2（x+3）2=16 D.（x+3）2=16
3. 三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．11 C．15或11 D．12或16
4.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-36
5. 若关于x的一元二次方程kx2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞-1
C.-1＜k＜1 D.-1＜k＜1且k≠0
6.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
7.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8.关于x的方程x2－ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）
A．-1或5 B．1 C．5 D．-1
二、填空题
9.已知关于x的方程（a-3）x︱a-1︱-a2+a=0是一元二次方程，则a的值或取值范围是________．
10.若︱b-1︱+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
11.若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（ ）
A.a＜l B.a＞1 C.a≤1 D.a≥1
12.计划在一长8米宽6米的矩形草坪中，修建一个面积为24米2的矩形花坛，且使花坛四边所留草坪的宽度相等，则该矩形花坛长与宽分别为 米．
13.《牧童王小良》的民歌中包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．根据民歌的大意，可知这群羊有 只.
14.已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）
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三、解答题
15.用适当的方法解下列方程：
⑴（x+4）2=5（x+4）； ⑵（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0；
⑶（x+3）2=（1﹣2x）2； ⑷2x2﹣10x=3．
16.根据下列条件写出一元二次方程方程：
（1）已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数.
17.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
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（2）是否存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19.如图，一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
参考答案与解析
1.A 解析：把x=代入原方程，得×（）2+m·+=0，解得m=-1.
2.D
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3.A 解析：解方程x2-10x+21=0，解得x1=3，x2=7.根据组成三角形的条件，取x=7，则这个三角形的周长为15．
4.C解析：这个数的十位数字为x，则个位数字为x＋3，根据题意得10x＋（x＋3）＝（x＋3）2，解得x1=2，x2=3，当x1=2时，个位数字为5，该数为25；当x2=3时，个位数字为6，该数为36.
方法点拨：在实际问题中，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，这两个根可能都符合实际问题的意义也可能不都符合实际问题的意义，因此应注意根据实际问题的意义对所得的一元二次方程的根进行检验，并能进行正确的取舍.
5.D 解析：因为关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=k，b=2，c=k，所以△=b2﹣4ac=22﹣4×k×k＞0且k≠0，解得-1＜k＜1且k≠0.
易错点拨：本题虽然难度不大但极易出错，其原因是只注重了方程有两个不相等的实数根的条件，而忽略了二次项系数不等于0的限制条件.
6.C 解析：根据题意得，△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得a≤，a≠1，所以整数a的最大值为0．
7.B.解析：根据两点确定一条直线的基本事实，设这个航空公司共有飞机场x个，则x(x-1)=10，解得x=5.
8.D 解析：根据一元二次方程中根与系数的关系，可知x1+x2=a，x1x2=2a，因为x12+x22=5，所以（x12+x2）2-2x1x2=a2-4a=5，解得，a=5或a=-1.又因为当a=5时，⊿=（-5）2-4×1×2×5=-15＜0，所以a=5舍去，取a=-1．
易错点拨：利用一元二次方程根与系数的关系求方程中的字母常数时，最容易出现的错误是忽略方程是否有实数根的限制条件，因此在利用一元二次方程根与系数的关系求得某个字母常数的值时，一定要检验是否满足根的判别式不小于0.
9.a=-1 解析：根据题意，，解得a=-1.
10.k≤4且k≠0 解析：因为︱b-1︱+=0，所以b﹣1=0，a-4=0，解得b=1，a=4；又因为一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，解得k≤4且k≠0．
方法点拨：几个非负数之和等于0，则这几个非负数一定都等于0，这个结论在初中数学的各个阶段都经常用到，望同学们认真理解.
11.B
12.6，4 解析：设所留草坪的宽度为x米，则（8-2x）（6-2x）=24，解得x=1或x=6（不合题意，舍去），则矩形花坛长与宽分别为8-2x=6(米)，宽为6-2x=4米.
13.9 解析：设这群羊有x只，根据等量关系：头数加只数+只数减头数+只数乘头数+只数除头数=100，得2x+0+x2+1=100，解得x=9或x=-9（舍去）.
14.①② 解析：方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0中，因为△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②因为x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；③因为x1+x2=a+b，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，故③错误．
15.解：（1）移项得：（x+4）2﹣5（x+4）=0，分解因式得：（x+4）（x-1）=0，
由x+4=0，解得：x1=﹣4；由x-1=0，解得x2=1.
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（2）原式可化为：（x﹣3）（x﹣3+4x）=0∴x﹣3=0或5x﹣3=0解得x1=3，x2=．
（3）两边开方，得x+3=±（1﹣2x），由x+3=1﹣2x，解得x1=；由x+3=﹣1+2x，解得x2=4.
（4）2x2﹣10x=3移项得：2x2﹣10x﹣3=0，∵b2﹣4ac=（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）=124，
∴x==，∴x1=，x2=．
16.解：（1）设方程x2+x-2=0的两根分别为α，β，则α+β=-1，α·β=-2.
∵所求方程的根分别是已知方程的根的相反数，
∴所求方程的根分别是-α，-β，且（-α）+（-β）=-（α+β）=1，（-α）·（-β）=-αβ=2，∴所求方程为x2-x-2=0.
(2)设方程ax2+bx+c=0的两根分别为α，β，则α+β=-，α·β=.
∵所求方程的根分别是已知方程的根的倒数，
∴所求方程的根分别是，，且+===-，·===，
∴所求方程为x2+x+=0，即cx2+bx+a=0.
17.解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得10（1+x）2=1.21，
解这个方程，得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）.
答：月平均增长率为10％。
（2）6月份的投递任务为：12.1×（1+0.1）13.31（万件）.∵13.31÷0.6≈22.1（人），
∴现有的21名投递员不能完成，至少还要增加2人。
18.解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）=4k2+4k+1﹣4k2﹣8k=1﹣4k≥0，∴k≤，即实数k的取值范围是k≤．
（2） 假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k.∵x1·x2-x12-x22≥0，∴3x1·x2-（x12+x2）2≥0.∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0.
整理，得﹣（k﹣1）2≥0，∴k=1又∵由（1）知k≤，∴实数k不存在.
19. 解：设轮船最初遇到台风的时间为t小时，t小时后轮船由A到达C，台风中心由点B移到点E，如图所示.∴AC=20t，AE=100-40t.根据题意，得AC2+AE2=CE2，
即（20t）2+（100-40t）2=（）2，解得t1=1，t2=3.∵t=3时，AE=100-40×3＜0，不合题意，舍去.∴t=1.
答：轮船在途中会遇到台风，最初遇到台风的时间为1小时后.
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思路点拨：在对解方程所得的根进行取舍时，不能简单的只根据根的正负进行取舍，还要从题目的字里行间发现隐含的限制条件.如本题中，AE是轮船初始位置与台风中心之间的距离就是一个隐含的限制条件，虽然方程的解都是正整数，貌似都符合题意，但根据AE是正数这个限制条件，即可发现t=3不符合题意.
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