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专项训练（六） 圆及圆与直线的位置关系
一、选择题
1.下列结论：①垂直于弦的半径一定平分这条弦；②平分弦的直径一定垂直于这条弦；③垂直于弦的直径一定平分弦所对的两条弧；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧.其中，正确的是（ ）
A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中正确的是（ ）
A.∠OCE=∠BDE B.OC=BC C.= D.OE=BE
第2题图 第3题图
3.如图所示，在圆内接正五边形ABCDE中，各边长均为5cm，分别以点A，B，C，D，E为圆心，1cm为半径画圆，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A.π B.π C.2π D.π
4.已知正三角形的边长为2a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶a∶R=（ ）
A.1∶∶2 B.1∶∶2 C.1∶2∶ D.1∶∶
5.如图，BE为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝OB，半圆O的半径为2，则BC的长为（ ）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图 第7题图
6.如图，AB切圆O1于B点，AC切圆O2于C点，BC分别交圆O1、圆O2于D、E两点．若∠BO1D=40°，∠CO2E=60°，则∠A的度数为何？（ ）
A．100 B．120 C．130 D．140
7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A.450 B.900 C.1350 D.450或1350
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8.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，已知AB//CD，AB=12cm，CD=16cm，则四边形ABCD的面积是（ ）
A.28cm2 B.196 cm2
C.28 cm2或196 cm2 D.28 cm2或168 cm2
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，如果∠COB=70°，·
则∠D=_____度．
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB = 50°，则∠OAC的度数是 ．
11.如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点射线PO交AB于点C，交⊙O于点D、E，则图中相等的角有 组，分别是 .
12.如图，大、小两圆的圆心均为O点，半径分别为3、2，且A点为小圆上的一固定点．若在大圆上找一点B，使得OA=AB，则满足上述条件的B点有 个，它们的位置是 .
第12题图 第13题图 第14题图
13. 如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣弧的长为 cm.
14.如图，已知PA与⊙O相切，切点为A，AB⊥OP，垂足为B，若OP=8cm，OB=2cm，则△APO的面积为 .
三、解答题
15. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，连接AD，BD，如果∠A＝∠B＝30°，求证BD是⊙O的切线．
16. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2.
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（1）求证：△ABC∽△CBD;
（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据）.
17.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB
(1)求证：AT是⊙O的切线
(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值
18.如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：DE是⊙O的切线．
19.2014年第10号台风“麦德姆”，是本年度对我国破坏性最大的一次台风，“麦德姆”台风从福建登陆后一路北上，在青岛荣成再次登陆.
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如图所示.，某时，台风“麦德姆”的中心在点O沿北偏东200的方向以30km/h的速度移动，在点O北偏西100的方向距离O点360km处有一个小岛B，如果台风中心的最大风力为14级，每远离台风中心20千米风力减弱一级.小岛A的风力达到四级或四级以上，则称其为受台风影响.
（1）小岛B是否会受到“麦德姆”台风的影响？
（2）如果小岛B会受到“麦德姆”台风的影响，从图示位置开始，最少经过几个小时将会受到影响？（精确到0.1h）
参考答案与解析
1.B 2.C
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3.B 解析：因为每个扇形的圆心角均为，则这五个扇形的圆心角之和是5400，即这五个扇形的面积之和等于其中一个圆的=倍，所以它们的面积之和为·π·12=π.
方法点拨：本题运用转化的方法求解，即：把五个相等的扇形，通过旋转的方法拼凑成一个圆的倍，从而把一个计算较为复杂的问题转化为一个计算简单的问题，达到了化繁为简的解题目的.
4.解析：因为正三角形的边长的一半、内切圆的半径和外接圆的半径构成一个含30°角的直角三角形，所以r∶a∶R=1∶∶2，故选B.
5.C 解析：由AB＝OB，得AB=OA，连接OD，则BC∥OD，得===，所以BC=.
6.C 解析由AB切圆O1于B点，AC切圆O2于C点，得到∠ABO1=∠ACO2=90°，由等腰三角形的性质得到∴∠O1BD=70°，∠O2CE=60°，所以∠A=1800-∠ABC-∠ACB=130°．
方法点拨：因为本题中有两个圆，因此考虑问题时要注意综合运用两个圆中的信息，既在两个圆中分别利用切线的性质定理与等腰三角形的性质，得到∠ABC与∠ACB的度数，进而根据根据三角形的内角和定理求得∠A.
7.D 解析：连接OB，OC，当点P在上时，∠BPC=∠BOC=450；当点P在上时，∠BPC=1800-∠BOC=1350.
易错点拨：本题容易出现的错误是对关键性词语“任意”的含义理解不透，因而不能正确的进行分类讨论而丢解.
8.C 解析：因为AB//CD，所以四边形ABCD是梯形，梯形的高为AB，CD之间的距离.当AB，CD在点O的同侧时，AB，CD之间的距离为8-6=2cm，则S梯形ABCD=×（12+16）×2=28 cm2；当AB，CD在点O的异侧时，AB，CD之间的距离为8+6=14cm，则S梯
形ABCD=×（12+16）×14=196cm2.
9.55° 10.25°
11.5 相等的角是（角的名称不唯一）：∠APO=∠BPO；∠ABO=∠BAO；∠AOP=∠BOP；∠PAO=∠PBO=∠ACP=∠BCP=∠ACO=∠BCO=900；∠PAB=∠PBA.
12.2 以点A为圆心、OA为半径的圆与大圆的交点
13.2π 解析：连接OB，OC，因为BC∥AO，∠A＝30°，所以∠OBC＝90°-∠A＝60°，则
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∠BOC＝60°，所以的长为=2π.
14.8 解析：根据切线的性质，可知OA⊥AP，则∠ABO=∠PAO=900，∠P=∠BAO，所以△PAB∽△AOB，得=，解得AB=2，则S△APO=OP·AB=×8×2=8.
15.证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ADO＝∠A＝30°.∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ADB＝1800-（∠A+∠B）＝1200.∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=1200-300=900.
∴BD是⊙O的切线.
16.解析：（1）观察图形发现∠B是△ABC和△CBD的公共角，因此要证明△ABC∽△CBD，只需再找一对角对应相等即可，由于AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，CD⊥AB得∠CDB=90°。得∠ACB=∠CDB；（2）观察图形可知，阴影部分的面积等于半圆得面积减去Rt△ABC得面积．
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°.
在△ABC与△CBD中，∵∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B， ∴△ABC∽△CBD
（2）解：∵△ABC∽△CBD，∴=，得BC2=AB·BD.∵AB=8，DB=2， ∴CB=4.
在Rt△ABC中，AC===4，∴S△ABC=AC·BC=×4×4=8.∴S阴影=×42- S△ABC =8-8≈11.3.
17.解：（1）∵AB=AT，∴∠ABT=∠ATB=45°.∴∠BAT=90°，即AT为⊙O的切线
（2）过点C作CD⊥AB于D，如图所示.∵CD∥AT，∴∠TAC=∠ACD，且△OCD～△OTA.
∴==2.设OD=x，则CD=2x，OA=OC==x.
∴AD=OA-OD=(-1)x.∴tan∠TAC=tan∠ACD===.
18.解：（1）连结CD，如图所示.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90˚.则CD^AB.
∵AD=DB，∴AC=BC=2OC=10.
（2）证明：连结OD，如图所示.∵∠ADC=90˚，E为AC的中点，∴DE=CE=AC，
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∴∠CDE=∠DCE.∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC. ∵AC切⊙O于点C，∴AC^OC.
∴∠CDE+∠ODC=∠OCD+∠DCE=900，则OD^DE.∴DE是⊙O的切线．
19.解析：在（1）中，由于台风中心的最大风力为14级，每远离台风中心20千米风力减弱一级，所以受台风影响的区域，是一个以台风中心为圆心、200km为半径的圆.为此，作BC⊥OA，垂足为C，则台风中心到达点C时，小岛B到台风中心的距离最小，如果这个最小距离不大于200km，则小岛会受到台风的影响，否则不会；在（2）中，如果小岛会受到台风的影响，设台风中心到达点D时，小岛开始受台风影响，则OD的长度除以台风中心的移动速度，则为所求的时间.
解：（1）会受到影响.理由如下：过点B作BC⊥OA，垂足为C，如图29-1-15所示，则∠BOC=200+100=300.在Rt△BOC中，∵OB=360米，∴BC=OB=180米.
∵台风中心的最大风力为14级，每远离台风中心20千米风力减弱一级，20×（14-4）=200（km），∴台风影响的区域是一个以台风中心为圆心、200km为半径的圆.
∵180米km＜200km，∴小岛B会受到台风的影响.
（2） 设台风中心到达点D时，小岛B开始受到台风影响，则点B在以点D为圆心、200km为半径的圆上.∴BD=200km，OC=OB·cos∠BOC=OB=180km.
∴CD===40.
设经过th小岛B开始受到台风影响，则t===≈4.6（h）.
答：最少经过4.6h小岛B将会受到台风影响.
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