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专项训练四 锐角三角函数
一、选择题
1.(2016·怀化中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC=6cm,则BC的长度为( )
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
2.(2016·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )
A.sinB= B.sinB= C.sinB= D.sinB=
第2题图 第4题图
3.在△ABC中,若三边BC,CA,AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,则cosB的值为( )
A. B. C. D.
4.数学活动课上,小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,尺寸如图.如果两个三角形的面积分别记作S△ABC,S△DEF,那么它们的大小关系是( )
A.S△ABC>S△DEF B.S△ABC<S△DEF C.S△ABC=S△DEF D.不能确定
5.(2016·金华中考)一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要( )
A.米2 B.米2 C.米2 D.(4+4tanθ)米2
第5题图 第6题图
6.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA=,BE=2,则tan∠DBE的值是( )
A. B.2 C. D.
7.(2016·长沙中考)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为( )
A.160m B.120m C.300m D.160m
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第7题图 第8题图
8.(2016·攀枝花中考)如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且+|1-tanB|=0,则∠C= .
10.(2016·岳阳中考)如图,一山坡的坡度为i=1∶,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了 米.
第10题图 第11题图 第12题图
11.(2016·娄底新化县一模)如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则cosC= .
12.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值为 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE= .
第13题图 第14题图
14.(2016·西宁中考)如图,为保护门源百里油菜花海,由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB,AC.若∠B=56°,∠C=45°,BC=100米,则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米(参考数据:sin56°≈0.8,tan56°≈1.5).
15.(2016·盐城中考)已知△ABC中,tanB=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,则△ABC的面积为 .
三、解答题
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16.计算:
(1)(2cos45°-sin60°)+;
(2)(-2)0-3tan30°+|-2|.
17.如图,AD是△ABC的中线,tanB=,cosC=,AC=.求:
(1)BC的长;
(2)sin∠ADC的值.
18.(2016·衡阳中考)在某次海上军事演习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O,B,C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域(只考虑在海平面上的探测).
(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?
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参考答案与解析
1.C 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A
8. D 解析:∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4.∵∠COD=90°,∴CD==5.连接CD,如图所示.∵∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD=sin∠OCD==.故选D.
9.75° 10.100 11. 12. 13. 14.60
15.8或24 解析:可分两种情况:如图①,△ABC为锐角三角形时,∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4.∵AD⊥BC,tanB=,∴AD=BD·tanB=4×=,∴S△ABC=BC·AD=×6×=8;如图②,△ABC为钝角三角形时,∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD⊥BC,tanB=,∴AD=BD·tanB=12×=8,∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24.综上所述,△ABC的面积为8或24.
16.解:(1)原式=2;
(2)原式=3-2.
17.解:(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE中,∵cosC=,∴CE=AC·cosC=×=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,∵tanB=,∴BE==3×1=3,∴BC=BE+CE=4;
(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE=1,∴∠DAE=∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.
18.解:(1)在Rt△OBC中,∵BO=80海里,BC=60海里,∠OBC=90°,∴OC===100(海里).∵OC=×100=50(海里),∴雷达的有效探测半径r至少为50海里;
(2)作AM⊥BC于M.∵∠ACB=30°,∠CBA=60°,∴∠CAB=90°,∴AB=BC=30海里.在Rt△ABM中,∵∠AMB=90°,AB=30海里,∠BAM=30°,∴BM=AB=15海里,AM=AB·cos∠BAM=15海里,∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里;
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(3)假设B军舰在点N处拦截到敌舰.在BM上取一点H,使得HB=HN.设MN=x海里.∵∠HBN=∠HNB=15°,∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°,∴HN=HB=2x海里,MH=x海里.∵BM=15海里,∴15=x+2x,x=30-15,∴AN=AM-MN=(30-30)海里,BN==15(-)海里.设B军舰速度为a海里/时,由题意≤,解得a≥20.∴B军舰速度至少为20海里/时,才能在此方向上拦截到敌舰A.
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