2012年中考数学压轴题检测3.doc

天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎2012年中考数学压轴题精选3‎ ‎【021】已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26题图 y x D B C A E E O ‎【022】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B，又有定点P（2，0） .[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；‎ ‎（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；‎ ‎（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图像，求点P到直线AB的距离。‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎【023】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．‎ ‎　　(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；‎ ‎　　(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．‎ ‎①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；‎ ‎②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎(第24题)‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B C D ‎-4‎ ‎4‎ ‎【024】已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值； （Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．‎ ‎【025】如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。‎ ‎⑴求该抛物线的解析式；‎ ‎⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。‎ ‎⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 的值最大，求出点M的坐标。‎ ‎【026】如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．‎ ‎(1) 求直线l的函数解析式；‎ ‎(2) 求点D的坐标；‎ ‎(3) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图9‎ ‎【027】如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.‎ ‎(1)求a的值及直线AC的函数关系式；‎ ‎(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.‎ ‎①求线段PM长度的最大值；‎ ‎②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。 ‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎【028】已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[来源:学科网]‎ A C x y B O ‎【029】如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］‎ ‎（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．‎ 图14（1）　　　　　　图14（2）　　　　　　　　图14（3）‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎【030】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；‎ ‎（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ E x O ‎（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．‎ ‎【021】解：（1）由已知，得，，‎ ‎，‎ ‎．． （1分）‎ 设过点的抛物线的解析式为．将点的坐标代入，得．[来源:学&将和点的坐标分别代入，得 （2分）‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 解这个方程组，得[来源:学#科#网]故抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）成立． （4分）‎ 点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为． （5分）‎ y x D B C A E E O Ｍ F K G G 设的解析式为，‎ 将点的坐标分别代入，得 ‎ 解得 的解析式为．，． （7分）‎ 过点作于点，则．，‎ ‎．又，．‎ ‎．[来．．‎ ‎（3）点在上，，，则设．‎ ‎，，．‎ ‎①若，则，‎ 解得．，此时点与点重合．．‎ ‎②若，则，解得 ，，此时轴．‎ 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为．．‎ ‎③若，则，[来 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 解得，，此时，是等腰直角三角形．‎ 过点作轴于点，则，设，‎ y x D B C A E E O Q P H G G ‎(P)‎ ‎(Q)‎ Q ‎(P)‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得（舍去）．．（12分）‎ 综上所述，存在三个满足条件的点，即或或．‎ ‎【022】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则tan∠POB，得m=9n，又点B在函数 的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点B为，‎ 而AB∥x轴，所以点A（，），所以；‎ ‎（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a , a），B（，a），则AB=－ a = ,‎ 所以，解得 .‎ 当a = －3时，点A（―3，―3），B（―，―3），因为顶点在y = x上，所以顶点为（－，－），所以可设二次函数为，点A代入，解得k= －,所以所求函数解析式为 .‎ 同理，当a = 时，所求函数解析式为；‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎（3）设A（a , a），B（，a），由条件可知抛物线的对称轴为 .‎ ‎(第24题(1))‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6 Q B C D ‎-4‎ ‎4‎ P 设所求二次函数解析式为： .‎ 点A（a , a）代入，解得，，‎ 所以点P到直线AB的距离为3或。‎ ‎(第24题(2)①)‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ ‎【023】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得． ……1分 将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，‎ 则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 　……1分 直线AP的解析式是． 　……1分 令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)． 　……1分 ‎(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=， 　……1分 故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，‎ 此时抛物线的函数解析式为． ……1分 解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．‎ ‎(第24题(2)②)‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ B′′‎ 直线A′′B′的解析式为． 要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．‎ 故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为． ……1分 ‎②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ……‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎1分 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．‎ 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，‎ 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 　……1分 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分 ‎【024】解（Ⅰ），‎ ‎. 1分 将分别代入，得 ‎，‎ 解得.函数的解析式为． 3分 ‎（Ⅱ）由已知，得，设的高为，‎ ‎，即.‎ 根据题意，，由，得.‎ 当时，解得；‎ 当时，解得.‎ 的值为. 6分 ‎（Ⅲ）由已知，得.‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎，，‎ ‎，化简得.‎ ‎，得，　　　　　　.‎ 有.‎ 又，，，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，. 10分 ‎【025】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得 ‎∴抛物线的解折式为…（2分）‎ ‎（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为 ‎ 即 E点的坐标（，）又∵点E在直线上[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎∴ 解得（舍去），‎ ‎∴E的坐标为（4，3）……（4分）‎ ‎（Ⅰ）当A为直角顶点时 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得 即，∴a＝ ∴P1（，0）……（5分）‎ ‎（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）……（6分）‎ ‎（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE ‎ 由得 解得，‎ ‎∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）[来源:学科网]（Ⅲ）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB 要使最大，即是使最大 ‎ 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．易知直线AB的解折式为∴由 得 ‎ ∴M（，－）……（11分）‎ ‎【026】(1) 配方,得y=(x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．‎ 取x=0代入y=x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，‎ 点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． 2分 设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有 解得∴直线l的解析式为y=x–3．3分 ‎(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．[来源:Z。xx。k.Com]‎ 由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．‎ 据面积关系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．‎ 作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，‎ ‎∴ AF=·AC=，DF=·O′A=，5分 又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–= –，‎ ‎∴ 点D的坐标为(，–)．‎ ‎(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，‎ ‎∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．‎ 故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．‎ ‎ 过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 S△DPC ，‎ 故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．‎ 容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，‎ 据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．[来源:学_科_网]‎ 令x2–2x＋1=x–，解得 x1=2，x2=，代入y=x–，得y1= –1，y2=，‎ 因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC= S△DPB． ‎ ‎【027】解：（1）由题意得 6=a(－2＋3)(－2－1)，∴a=－2，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=－2(x＋3)(x－1)与x轴交于B（－3，0）、A（1，0）‎ 设直线AC为y=kx＋b，则有0=k＋b，6=－2k＋b，解得 k=－2，b=2，‎ ‎∴直线AC为y=－2x＋2‎ ‎（2）①设P的横坐标为a(－2≤a≤1)，则P（a，－‎2a＋2），M（a，－‎2a2－‎4a＋6）‎ ‎∴PM=－‎2a2－‎4a＋6－(－‎2a＋2)=－‎2a2－‎2a＋4=－‎2a2＋a＋14＋92‎ ‎=‎-2a+122+92，∴当a=-12时，PM的最大值为926分 ‎②M1（0，6）M2-14，678 ‎ ‎【028】解：（1）由题意得 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 3分 ‎（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.‎ ‎（第24题图）‎ O A C x y B E P D 点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ 设直线的表达式为则解得 ‎∴此直线的表达式为 把代入得∴点的坐标为 ‎（3）存在最大值，理由：∵即 ‎∴∴即 ‎∴‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 方法一：连结，‎ ‎=[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎=，∵∴当时， 9分 方法二：‎ ‎=‎ ‎=，∵∴当时， 9分 ‎【029】解：（1），（-1，0），B（3，0）． 3分 ‎（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．‎ ‎ 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，‎ ‎∴ 四边形 ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 6分 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．‎ ‎（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．‎ 则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， ‎ ‎ 图14（2）‎ ‎△DOB的面积=-（），‎ ‎∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 ‎==．‎ ‎∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为． ‎ ‎（4）有两种情况：‎ 图14（3） 图14（4）‎ 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q‎1C．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ‎ ‎∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为． 12分 由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）． 13分 如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ‎ ‎∴ 点F的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF的解析式为． 14分 由 解得 ‎ ‎∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），‎ 使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．‎ ‎【030】解：（1）设，把代入，得， 2分 ‎∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为． 5分 ‎（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，‎ 得解得．∴直线解析式为． 7分 ‎，∴ 9分 ‎ ． 10分 ‎∴当时，取得最大值，最大值为． 11分 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 ‎（3）当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．‎ ‎(E)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ x O F M H 作点关于直线的对称点，连接．‎ 法一：过作轴于，交轴于点．‎ 设，则．‎ 在中，由勾股定理，．‎ 解得．∵，∴．‎ 由，可得，．∴．‎ ‎∴坐标． 13分 法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．‎ 易证．∴．‎ ‎(E)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ x O F M H N M 设，则．∴，．‎ 由三角形中位线定理，．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴坐标． 13分 把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上． 14分 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机 天添资源网 www.ttzyw.com 教案 试题 公文 电脑 手机