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2012年中考数学压轴题70题精选4
【031】如图18,抛物线F:的顶点为P,抛物线:与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′:,抛物线F′与x轴的另一个交点为C.
⑴当a = 1,b=-2,c = 3时,求点C的坐标(直接写出答案);
⑵若a、b、c满足了
①求b:b′的值;
②探究四边形OABC的形状,并说明理由.
图 18
【032】已知二次函数()的图象经过点,,,直线()与轴交于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线()上有一点(点在第四象限),使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似,求点坐标(用含的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点,使得四边形为平行四边形?若存在,请求出的值及四边形的面积;若不存在,请说明理由.
y
x
O
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【033】如图,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上,点A、C的坐标分
别为(0,1)、(2,4).点P从点A出发,沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动,到
点C停止;点Q在x轴上,横坐标为点P的横、纵坐标之和.抛物线
经过A、C两点.过点P作x轴的垂线,垂足为M,交抛物线于点R.设点P的运动时间为t(秒),△PQR的面积为S(平方单位).
(1)求抛物线对应的函数关系式. (2)分别求t=1和t=4时,点Q的坐标.
(3)当0<≤5时,求S与t之间的函数关系式,并直接写出S的最大值.
【034】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点,点,如图所示:抛物线经过点.
(1)求点的坐标; (2)求抛物线的解析式;
B
A
C
x
y
(0,2)
(-1,0)
(第25题)
(3)在抛物线上是否还存在点(点除外),使仍然是以为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
【035】如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
C
P
B
y
A
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
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【036】已知:如图所示,关于的抛物线与轴交于点、点,与轴交于点.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点,使四边形为等腰梯形,写出点的坐标,并求出直线的解析式;
B
A
O
C
y
x
(第26题图)
(3)在(2)中的直线交抛物线的对称轴于点,抛物线上有一动点,轴上有一动点.是否存在以为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
B
O
A
·
x
y
第28题图
【037】如图,抛物线的顶点为A,与y 轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:.
(3)当最大时,求点P的坐标.
【038】如图13-1至图13-5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.
阅读理解:
图13-1
A
O1
O
O2
B
B
图13-2
A
C
n°
D
O1
O2
B
图13-3
O2
O3
O
A
O1
C
O4
(1)如图13-1,⊙O从⊙O1的位置出发,沿AB滚动到
⊙O2的位置,当AB = c时,⊙O恰好自转1周.
(2)如图13-2,∠ABC相邻的补角是n°,⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滚动,在点B处,必须由
⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置,⊙O绕点B旋
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转的角∠O1BO2 = n°,⊙O在点B处自转周.
实践应用:
(1)在阅读理解的(1)中,若AB = 2c,则⊙O自
转 周;若AB = l,则⊙O自转 周.在
阅读理解的(2)中,若∠ABC = 120°,则⊙O
在点B处自转 周;若∠ABC = 60°,则⊙O
在点B处自转 周.
(2)如图13-3,∠ABC=90°,AB=BC=c.⊙O从
⊙O1的位置出发,在∠ABC外部沿A-B-C滚动
到⊙O4的位置,⊙O自转 周.
O
A
B
C
图13-4
D
拓展联想:
(1)如图13-4,△ABC的周长为l,⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部,按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,⊙O自转了多少周?请说明理由.
(2)如图13-5,多边形的周长为l,⊙O从与某边相切于
D
图13-5
O
点D的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多
边形滚动,又回到与该边相切于点D的位置,直接写
出⊙O自转的周数.
【039】如图已知直线L:,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
(1)求点A、点B的坐标。
(2)设F为x轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P经过点B且与x轴相切于点F(不写作法,保留作图痕迹)。
(3)设92)中所作的⊙P的圆心坐标为P(x,y),求y关于x的函数关系式。
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(4)是否存在这样的⊙P,既与x轴相切又与直线L相切于点B,若存在,求出圆心P的坐标,若不存在,请说明理由。
【040】如图12,已知抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,抛物线的对称轴交轴于点E,点B的坐标为(,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
O
D
B
C
A
E
图12
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
【031】解:(1) C(3,0);
(2)①抛物线,令=0,则=, ∴A点坐标(0,c).
∵,∴ ,∴点P的坐标为().
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∵PD⊥轴于D,∴点D的坐标为(). ……………………………………5分
根据题意,得a=a′,c= c′,∴抛物线F′的解析式为.
又∵抛物线F′经过点D(),∴.……………6分
∴.又∵,∴.∴b:b′=.
②由①得,抛物线F′为.
令y=0,则. ∴.
∵点D的横坐标为∴点C的坐标为().
设直线OP的解析式为.∵点P的坐标为(),
∴,∴,∴.
∵点B是抛物线F与直线OP的交点,∴.∴.
∵点P的横坐标为,∴点B的横坐标为.
把代入,得.
∴点B的坐标为.∴BC∥OA,AB∥OC.(或BC∥OA,BC =OA),
∴四边形OABC是平行四边形.
又∵∠AOC=90°,∴四边形OABC是矩形.
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y
x
O
B
A
D
C
(x=m)
(F2)F1
E1 (E2)
【032】解:(1)根据题意,得
解得..(2分)
(2)当时,得或,
∵,当时,得,
∴,∵点在第四象限,∴. (4分)
当时,得,∴,
∵点在第四象限,∴. (6分)
(3)假设抛物线上存在一点,使得四边形为平行四边形,则
,点的横坐标为,
当点的坐标为时,点的坐标为,
∵点在抛物线的图象上,∴,∴,
∴,∴(舍去),∴,
∴. (9分)
当点的坐标为时,点的坐标为,
∵点在抛物线的图象上,∴,∴,
∴,∴(舍去),,∴,∴.
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【033】(1)由抛物线经过点A(0,1),C(2,4),
得解得
∴抛物线对应的函数关系式为:. (2分)
(2)当时,P点坐标为(1,1),∴Q点坐标为(2,0).
当时,P点坐标为(2,3),∴Q点坐标为(5,0). (5分)
(3)当≤2时,.S.
当≤5时,.S. (8分)
B
A
D
C
O
M
N
x
y
P1
P2
当时,S的最大值为2. (10分)
【034】(1)过点作轴,垂足为,
;
又,
,
点的坐标为; 4分
(2)抛物线经过点,则得到, 5分
解得,所以抛物线的解析式为; 7分
(3)假设存在点,使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形:
若以点为直角顶点;
则延长至点,使得,得到等腰直角三角形, 8分
过点作轴,;
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,可求得点; 11分
若以点为直角顶点;
则过点作,且使得,得到等腰直角三角形, 12分
过点作轴,同理可证; 13分
,可求得点; 14分
经检验,点与点都在抛物线上. 16分
【035】解:(1)令,得 解得,令,得
E
C
B
y
P
A
∴ A B C 3分
(2)∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB,∴PAB=,过点P作PE轴于E,
则APE为等腰直角三角形
令OE=,则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得,(不合题意,舍去) ∴PE= 4分
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE= 5分
(3). 假设存在∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G, ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中,OA=OC= ∴AC=,在Rt△PAE中,AE=PE= ∴AP= 6分
G
M
C
B
y
P
A
设M点的横坐标为,则M
①点M在轴左侧时,则
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(ⅰ) 当AMG PCA时,有=∵AG=,
MG=即 解得(舍去)
(舍去)………7分
G
M
C
B
y
P
A
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即 ,解得:(舍去)
∴M 8分
② 点M在轴右侧时,则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
M
B
E
A
C
N
D
F
G
图(1)
H
∵AG=,MG=
∴ 解得(舍去) ∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有= 即
解得:(舍去) ∴M
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似,
M点的坐标为,,
【036】解:(1)根据题意,得
B
A
O
C
y
x
第26题图
Q4
Q3
Q1
Q2
P3
P1
P2
D
C
P4
,解得
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抛物线的解析式为,顶点坐标是(2,4)
(2),设直线的解析式为
直线经过点点
(3)存在.,,,
B
O
A
·
x
y
第28题图
P
H
【037】解:(1)抛物线与y轴的交于点B,令x=0得y=2.
∴B(0,2)
∵ ∴A(—2,3)
(2)当点P是 AB的延长线与x轴交点时,
.
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,
在点P、A、B构成的三角形中,.
综合上述:
(3)作直线AB交x轴于点P,由(2)可知:当PA—PB最大时,点P是所求的点 8分
作AH⊥OP于H.∵BO⊥OP,∴△BOP∽△AHP
∴ 由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2,∴OP=4,故P(4,0)
【038】解:实践应用(1)2;.;.(2).
拓展联想(1)∵△ABC的周长为l,∴⊙O在三边上自转了周.
又∵三角形的外角和是360°,
∴在三个顶点处,⊙O自转了(周).
∴⊙O共自转了(+1)周.
(2)+1.
039】解(1)A(,0),B(0,3) 2分(每对一个给1分)
(2)满分3分.其中过F作出垂线1分,作出BF中垂线1分,找出圆心并画出⊙P给1分. (注:画垂线PF不用尺规作图的不扣分)
(3)过点P作PD⊥轴于D,则PD=,BD=, 6分
y
x
O
A
B
D
P
F
PB=PF=,∵△BDP为直角三形,∴
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∴,即
即∴与的函数关系为
(4)存在
解法1:∵⊙P与轴相切于点F,且与直线相切于点B
∴,∵,∴
∵AF= , ∴,∴ 11分
把代入,得
∴点P的坐标为(1,)或(9,15)12分
【040】(1)① 对称轴 (2分)
② 当时,有,解之,得 ,
∴ 点A的坐标为(,0). (4分)
(2)满足条件的点P有3个,分别为(,3),(2,3),(,). (7分)
(3)存在.当时, ∴ 点C的坐标为(0,3)
∵ DE∥轴,AO3,EO2,AE1,CO3
∴ ∽ ∴ 即 ∴ DE1 (9分)
∴ 4
在OE上找点F,使OF,此时2,直线CF把四边形DEOC
分成面积相等的两部分,交抛物线于点M. (10分)
设直线CM的解析式为,它经过点.则 (11分)
解之,得 ∴ 直线CM的解析式为 (12分)
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