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期末检测卷
时间：120分钟 满分：150分
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如图，该几何体的俯视图是( )
2．已知反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点A(1，a)，B(3，b)，则a与b的关系正确的是( )
A．a＝b B．a＝－b C．a＜b D．a＞b
3．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
第3题图 第4题图
4．△ABC在网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )
A. B. C. D．2
5．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为( )
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
第5题图 第6题图
6．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1，3)两点．若＞k2x，则x的取值范围是( )
A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1
C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1
7．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移一个单位长度，再以原点O
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为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( )
A．(2，3) B．(3，1) C．(2，1) D．(3，3)
8．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2km.从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )
A．4km B．(2＋)km C．2km D．(4－)km
第8题图 第10题图
9．两个全等的等腰直角三角形(斜边长为2)按如图放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个三角形ABC的直角顶点A重合．若三角形ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的直角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E，F，设BF＝x，CE＝y，则y关于x的函数图象大致是( )
10．如图，直线y＝x与双曲线y＝(k>0，x>0)交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝(k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k的值为( )
A．3 B．6 C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是________．
12．已知函数y＝－，当自变量的取值为－1＜x＜0或x≥2时，函数值y的取值范围为________________．
13．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝________．
14． 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E在边BC上，且CE＝2BE.连接AE交BD于F，连接DE，取BD的中点O，取DE的中点G，连接OG.下列结论：①BF＝OF；②OG
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⊥CD；③AB＝5OG；④sin∠AFD＝；⑤＝.其中正确的结论是________(填序号)．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：－sin60°(1－sin30°)．
16．根据下列视图(单位：mm)，求该物体的体积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，3)，(－4，0)．
(1)将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出E，F的坐标；
(2)以O点为位似中心，将△AEF作位似变换且缩小为原来的，在网格内画出一个符合条件的△A1E1F1.
18．如图，在平面直角坐标系中，过点A(2，0)的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB＝
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，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1.
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若反比例函数y＝的图象经过点P，求m的值．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
(1)按要求填表：
n
1
2
3
xn
(2)第n个正方形的边长xn＝________．
20．某中学广场上有旗杆如图①所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)．
六、(本题满分12分)
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21．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且＝.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
七、(本题满分12分)
22．如图，直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为(－2，0)．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
八、(本题满分14分)
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23．(1)如图①，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请填空：＝________(直接写出答案)；
(2)如图②，将(1)中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，连接AO1，DC1，请你猜想线段AO1与DC1之间的数量关系，并证明；
(3)如图③，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点B，且∠BEF＝90°，∠EBF＝∠ABD＝30°，则的值是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定值，请简述理由．
参考答案与解析
1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B
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9．C 解析：由题意得∠B＝∠C＝45°，∠EAF＝45°.∵∠AFE＝∠C＋∠CAF＝45°＋∠CAF，∠CAE＝45°＋∠CAF，∴∠AFB＝∠CAE，∴△ACE∽△FBA，∴＝.又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC＝2，∴AB＝AC＝.∵BF＝x，CE＝y，∴＝，∴xy＝2(1＜x＜2)．故选C.
10．D 解析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，则易得△AOD∽△CBE，∴＝＝＝3.设点A的横坐标为3a，则其纵坐标为，即OD＝3a，AD＝，则BE＝＝a，CE＝＝.∵直线BC是由直线AO向上平移4个单位长度得到的，∴CO＝4，∴EO＝4＋，即点B的坐标为.又∵点A，B都在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3a·＝a，解得a＝1或a＝0(舍去)，∴k＝.故选D.
11．75° 12.y＞1或－≤y＜0 13.
14．①②④⑤ 解析：∵CE＝2BE，∴＝，∴＝.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∴△BFE∽△DFA，∴＝＝＝＝.∵O是BD的中点，G是DE的中点，∴OB＝OD，OG＝BE，OG∥BC，∴BF＝OF，OG⊥CD，①正确，②正确；OG＝BE＝BC＝AB，即AB＝6OG，③错误；连接OA，∴OA＝OB＝2OF，OA⊥BD，∴由勾股定理得AF＝OF，∴sin∠AFD＝＝＝，④正确；∵OG＝BE，△DOG∽△DBE，∴＝.设S△ODG＝a，则S△ABE＝S△BED＝4a.∵＝，∴S△BEF＝a，S△AFB＝3a，∴＝，⑤正确．故正确的结论是①②④⑤.
15．解：原式＝－＝＋－＋＝.(8分)
16．解：这是上下两个圆柱的组合图形．(3分)V＝16×π×＋4×π×＝1088π(mm3)．(7分)
答：该物体的体积是1088πmm3.(8分)
17．解：(1)△AEF如图所示，(3分)E(3，3)，F(3，－1)．(5分)
(2)△A1E1F1如图所示(注：若同向位似画出△A1E1F1同样得分)．(8分)
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18．解：(1)∵点A的坐标为(2，0)，∴OA＝2.∵tan∠OAB＝＝，∴OB＝1，∴点B的坐标为(0，1)．(2分)设直线l的函数解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线l的函数解析式为y＝－x＋1.(4分)
(2)∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，∴点P的横坐标为－1.又∵点P在直线l上，∴点P的纵坐标为－×(－1)＋1＝，∴点P的坐标是.(6分)∵反比例函数y＝的图象经过点P，∴＝，∴m＝－1×＝－.(8分)
19．解：(1) (6分) 解析：设第一个正方形的边长是x，它落在AB，BC，AC上的顶点分别为D，E，F，则△BED∽△BCA，∴＝＝，同理得到＝＝x，两式相加得到＋x＝1，解得x＝.同理可得第二个正方形的边长是＝，第三个正方形的边长是＝.
(2)(10分)
20．解：过点C作CM∥AB交AD于M，过点M作MN⊥AB于N，则MN＝BC＝4米，BN＝CM.(3分)由题意得＝，即＝，∴CM＝米，∴BN＝米．(5分)∵在Rt△AMN中，MN＝4米，∠AMN＝72°，∴tan72°＝，∴AN≈12.3米．(7分)∴AB＝AN＋BN≈12.3＋＝13.8(米)．(9分)
答：旗杆的高度约为13.8米．(10分)
21．(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＋∠ABC＝180°.又∵∠ABE＋∠ABC＝180°，∴∠CDA＝∠ABE.(2分)∵＝，∴∠DCA＝∠BAE，∴△ADC∽△EBA.(6分)
(2)解：∵A是的中点，∴＝，∴AB＝AC＝8.(8分)由(1)可知△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，＝，(10分)∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝.(12分)
22．解：(1)把A(－2，0)代入y＝ax＋1中得a＝，∴直线的解析式为y＝x＋1.当y＝2时，
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x＝2，∴点P的坐标为(2，2)．(2分)把P(2，2)代入y＝中得k＝4，∴双曲线的解析式为y＝.(4分)
(2)设点Q的坐标为(a，b)．∵Q(a，b)在双曲线y＝上，∴b＝.∵直线y＝x＋1交y轴于B点，∴点B的坐标为(0，1)，∴BO＝1.∵点A的坐标为(－2，0)，∴AO＝2.(6分)当△QCH∽△BAO时，＝，即＝，∴a－2＝2b，a－2＝2×，解得a＝4或a＝－2(舍去)，∴点Q的坐标为(4，1)．(9分)当△QCH∽△ABO时，＝，即＝，∴2a－4＝，解得a＝1＋或a＝1－(舍去)，∴点Q的坐标为(1＋，2－2)．综上所述，点Q的坐标为(4，1)或(1＋，2－2)．(12分)
23．解：(1)(3分) 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，△AOD是等腰直角三角形，∴＝，∴＝.
(2)猜想：＝.(4分)证明如下：∵△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，∴∠ABO＝∠CBO＝∠O1BC1，∴∠ABO1＝∠DBC1.∵四边形ABCD是正方形，∴＝.又∵＝＝，∴＝.又∵∠ABO1＝∠DBC1，∴△ABO1∽△DBC1，∴＝＝.(8分)
(3)为定值．(9分)在Rt△EBF中，∠EBF＝30°，∴＝.在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴＝，∴＝.∵∠EBF＝∠ABD，∴∠EBA＝∠FBD，∴△AEB∽△DFB，∴＝＝.(14分)
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