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2017—2018学年第一学期初二数学期中模拟试卷
班级_______ 姓名_________ 学号_____ 成绩______
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分.)
1. 计算的结果是（ ）
A. B. 3 C. D. 81
2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在“线段、角、直角三角形、等边三角形”四个图形中，一定是轴对称图形的个数是（ ） A. 1 ； B. 2 ； C.3 ； D. 4
5. 如图，在中，于.则的大小是（ ） A. 20°； B. 30°； C. 40°； D. 50°
（第6题）
6. 如图，两个正方形的面积分别为64和49，则等于（ ）
A.15； B.17； C.23； D.113。
7.下列关于的说法中，错误的是（ ）
A.是无理数； B. ； C. 10的平方根是； D.是10的算术平方根
8.到三角形三个顶点的距离相等的点一定是（ ）
A.三边垂直平分线的交点 B.三条高的交点
C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点
9. 如图，和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接,则的度数是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
10．
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“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（第10题） 第16题图）
二、填空题:(本大题共8小题，每小题3分，共24分。)
11. 计算的结果是 .
12. 小明体重为48.96 kg，这个数精确到十分位的近似值为_______ kg
13.黑板上写着 那么正对着黑板的镜子里的像是_________.
14. 已知＜1，则化简的结果是_________．
15. 如图，中，分别是的垂直平分线，. 则的面积等于 .
16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若△ACE的周长是12cm，则△ABC的周长是_________．
17. 如图，在中，是边上的中线，于,,则= .
18.如图，等腰直角三角形中，=4 cm.点是边上的动点，以为直角边作等腰直角三角形.在点从点移动至点的过程中，点移动的路线长为 cm.
三、 解答题:(本大题共10小题，共76分.）
19. (本题满分12分，每小题4分)化简与计算:
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(1) (2) (3)
20．（每题4分，共8分）求下列各式中的x的值：
21.(本题满分4分)已知，求代数式的值.
22. (本题满分6分)探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ；y= ;
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ；
(3)拓展：已知，若，则z= 。
23. (本题满分6分)把由5个小正方形组成的十字形纸板(如图)剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形:
(1)如果剪4刀，应如何剪?
(2)最少只需剪 刀?应如何剪?
24.(本题满分8分)已知:如图，在四边形中，，点是的中点.
(1)求证:是等腰三角形:
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(2)当= ° 时，是等边三角形.
25.（本题满分8分）如图，一架2.5米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7米。（1）求OA的长度。（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？
26.(本题满分6分)【新知理解】
如图①，若点、在直线l同侧，在直线l上找一点，使的值最小.
作法:作点关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则点即为所求.
【解决问题】
如图②，是边长为6 cm的等边三角形的中线，点、分别在、上，则的最小值为 cm;
【拓展研究】
如图③，在四边形的对角线上找一点，使.(保留作图痕迹，并对作图方法进行说明)
27. (本题满分8分)在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为
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DE．（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 ；
（2）如果∠CAD：∠BAD=1：2，可得∠B的度数为 ；
操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．
28.（本题满分10分）如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D回到点A，设点P的运动时间为t秒。
（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三角形是直角三角形，且AP是斜边。
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参考答案
1—10.BDACA BCACC；11.3；12.49.0；13.50281；14.；15.24；16.17；17.；
18. 解：连接CE，如图：∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，∵==，∴△ACE∽△ABD，∴∠ACE=∠ABC=90°，
∴点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，
即点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，AB=AB=4，
当点D运动到点C时，CE=AC=4，∴点E移动的路线长为4cm．故答案为4．
【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形称为这个点运动的轨迹．解决此类问题的关键是确定不变的因素得到轨迹．
19.（1）；（2）；（3）；
20.（1）；（2）-2；
21.4；
22. 解：（1）x=0.1，y=10，故答案为：0.1，10；
（2）①=31.62，a=32400，故答案为：31.62，32400；
（4）z=0.012，故答案为：0.012．
【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
23. 解：如图所示．
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故答案为：2
【点评】本题考查了图形的拼接，关键在于根据正方形的面积求出所拼接成的正方形的边长．
24.
25. 解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC==2.4m，
∵AC=AA′+CA′，∴CA′=2m，∵在直角△A′B′C中，AB=A′B′，且A′B′为斜边，∴CB′=1.5m，
∴BB′=CB′﹣CB=1.5m﹣0.7m=0.8m。答：梯足向外移动了0.8m．
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【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB′的长度是解题的关键．
26. 解：（1）【解决问题】
如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，
当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF===3（cm），
∴PC+PE的最小值为3cm，故答案为：3；
（2）【拓展研究】方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．
方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．
【点评】本题属于轴对称﹣最短路线问题，本题考查了勾股定理、轴对称的性质，利用轴对称作图与基本作图等知识点的综合应用，熟知两点之间，线段最短以及垂线段最短是解答此题的关键．
27. 解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD=AD，∴AD+DC=BC=7．
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12cm．故答案为：12cm．
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（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x．由翻折的性质可知：∠BAD=∠CBA=2x，
∵∠B+∠BAC=90°，∴x+2x+2x=90°．解得；x=18°．∴2x=2×18°=36°．∴∠B=36°．
操作二：在Rt△ABC中，AC==6．由翻折的性质可知：ED=AD，DC⊥AB．
∵，∴10CD=6×8．∴CD=4.8．
在Rt△ADC中，AD===3.6．∴EA=3.6×2=7.2．∴BE=10﹣7.2=2.8．
【点评】主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
28. 解：（1）当t=3时，点P的路程为2×3=6cm，∵AB=4cm，BC=6cm，∴点P在BC上，
∴（cm2）．
（2）（Ⅰ）若点P在BC上，∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4，∴BP=2t﹣4=3，∴；
（Ⅱ）若点P在DC上，则在Rt△ADP中，AP是斜边，∵AD=6，∴AP＞6，∴AP≠5；
（Ⅲ）若点P在AD上，AP=5，则点P的路程为20﹣5=15，∴，
综上，当秒或时，AP=5cm．
（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，
∵BP=2t﹣4，CP=10﹣2t，∴AP2=AB2+BP2=42+（2t﹣4）2
由题意，有AD2+CP2=AP2，∴62+（10﹣2t）2=42+（2t﹣4）2，∴t=＜5，即t=．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，矩形性质的应用，注意要进行分类讨论．
选择题9的拓展：（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
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填空：①∠AEB的度数为 ；②AD与BE的数量关系 ．
（2）拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一只显示行，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据已知条件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度关系求得∠AEB=60°；（2）同（1）可证：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，可得CM=DE，进而可求得线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．
【解答】解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=60°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中 ，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°， 故答案为：60°，AD=BE；
（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°， 故∠AEB的度数为90°；
②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形，∴DM=DE（三线合一）∴CM=DE，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．
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【点评】此题考查旋转型全等，角度、线段之间的灵活转化，涉及了等腰三角形中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等基础知识．
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