全等三角形难题2.doc

第 20 页 共 20 页 全等三角形复习 ‎【知识要点】‎ 一、全等三角形 ‎1．判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）、‎ 角角边（AAS）、边边边（SSS）、‎ 具备一般是继续的判定方法 斜边和直角边对应相等（HL）‎ 性质 ‎（1）对应边相等，对应角相等 ‎（2）对应中线相等、对应高相等、对应角平分线相等 ‎（3）面积相等、周长相等 注意：“AAA”与“SSA”是不能作为全等三角形的判定条件的。‎ ‎2．证题思路：‎ 例1 在中，，中线，则边的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例2 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图所示形式，使点、、、在同一直线上。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。‎ A B C D F E B F C D N M E P A 第 20 页 共 20 页 例3 若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系。并说明理由。‎ A B E D C F 例4 如图，点C在线段AB上，，，，且，，，，求的度数。‎ 练习 1． 如图，、分别是锐角和中、边上的高，且，，若使，请你补充条件（需要填写一个你认为适当的条件）。‎ A B C D A C D E O B ‎1题图 ‎2题图 2． 如图，，，，，则等于 。‎ 3． 如图，把大小为的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1,。请在下面图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形。‎ 图1‎ 画法1‎ 画法2‎ 画法2‎ 画法3‎ 第 20 页 共 20 页 1． 如图，已知和是分别沿着、边翻折形成的，若，的度数为 。‎ A B D C O E ‎5题图 A B C E D ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4题图 ‎ ‎ A B C D E F O ‎6题图 2． 如图，已知，，下列结论中：①；②；③连接，则平分，正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ 3． 如图，，，与交于点，于，于，那么图中全等的三角形有（ ）对 A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎7题图 A B D C 4． 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于，已知，求的度数。‎ 第 20 页 共 20 页 1． 如图，在中，，，直线经过点，且于，于。‎ ‎（1）当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：。‎ ‎（2）当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：。‎ ‎（3）当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。‎ A A A B B B C C C D D D E E E M M M N N N 图①‎ 图②‎ 图③‎ ‎8题图 2． 如图，已知平分，交于，，，那么 。‎ ‎10题图 A B C D E F A B C D E ‎9题图 A B C D ‎11题图 3． 如图，是的边上一点，交于点，给出三个论断：①；‎ ‎②；③。以其中一个论断为结论，其余两个条件为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 。‎ 4． 如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是 。‎ 5． 如图，在中，，，平分，交的延长线于点 第 20 页 共 20 页 ‎，为垂足。则结论：①；②；③；④；⑤。其中正确结论的个数是（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ 1． 如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．与的大小不确定 O A PO Q M N ‎15题图 A B C D E F A B D C ‎12题图 ‎13题图 2． 考察下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两个角和其中一角的平分线（或第三个角的平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3． ‎（2011年浙江衢州市）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ A B E C D ‎16题图 4． 如图，在四边形中，平分，过点作于，且。求的度数。‎ A B C E F D ‎17题图 5． 如图，中，是的中点，，试判断与 第 20 页 共 20 页 的大小关系，并证明你的结论。‎ 1． 已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC。‎ 求证：AB=AC。‎ A B C D E ‎18题图 2． 如图，在中，，、分别平分、，求证：。‎ A B C D O E ‎19题图 第 20 页 共 20 页 1． 如图，已知，，。（1）求证：，；‎ A B C D E F ‎20题图 ‎（2）若绕点旋转到的外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论。‎ 2． 如图，等腰直角三角形中，，为腰上的中线，交于。‎ 求证：。‎ A B E D C ‎1‎ ‎2‎ ‎21题图 第 20 页 共 20 页 1． ‎（2011年四川省内江市，18题，9分）如图，在中，，，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、。‎ A B C E D ‎22题图 试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想。‎ 2． ‎（2010年湖南省娄底市）如图，在四边形中，，是的中点，连接、，，延长交的延长线于点。‎ A D C F E B ‎23题图 求证：（1）；（2）。‎ 第 20 页 共 20 页 1． ‎（2009年临沂市）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平行线于点。求证：。‎ 经过思考，小敏展示了一种正确的解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以。‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎（2）小华提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ A B C E G F D A B C D E F G A B C G E F D 图1‎ 图2‎ 图3‎ 第 20 页 共 20 页 1． ‎（2009年牡丹江市）已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、。当绕点旋转到于时（如图1），易证：。当绕点旋转到与不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的 ？请写出你的猜想，不需证明。‎ A B C D E F A A B B C C E D F D F E 图1‎ 图2‎ 图3‎ 第 20 页 共 20 页 1． ‎（2008年山东省泰安市）两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的集合图形，、、在同一直线上，连接。‎ ‎（1）请找出图2中的全等三角形，并给与证明（说明：结论中不得含有未标示的字母）；‎ A B C E D 图1‎ 图2‎ ‎（2）证明：。‎ 2． 在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，。探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系。‎ ‎（1）如图1，当点、在边、上，且时，之间的数量关系是 ‎ ；此时， 。‎ ‎（2）如图2，当点、分别在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。‎ A B C D M N A B C D M N A B C M N D 图1‎ 图2‎ 图3‎ 第 20 页 共 20 页 1． 如图，中，平分，，于，于。‎ ‎（1）说明的理由；（2）如果，，求、的长。‎ A B C G D F E 2． 如图，已知在中，，的角平分线、相交于点。‎ A B C D O E 求证：。‎ 3． 如图，中，，平分，且。求证：。‎ A B C D 第 20 页 共 20 页 A B C D E 1． 在中，，，点、分别在、上，，。求的度数。‎ 2． 在中，，平分，交于点，，求的度数。‎ A B C D A B C D E N M F 3． 在直角中，，，点、是直线上的两个动点，且，，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点，试判断三角形的形状，并加以证明。‎ 第 20 页 共 20 页 1． 如图，在中，，是上的一点，且，点是的中点，连接。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若，，那么的周长是多少？‎ B A C E D 2． 如图①，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：‎ ‎（1）如图②，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点，请你判断并写出与之间的数量关系；‎ ‎（2）如图③，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ A B C D E F P M O N A B C D E F 第 20 页 共 20 页 1． 如图1，在正方形中，是上一点，是的延长线上一点，且。‎ ‎（1）求证“；‎ ‎（2）在图1中，若点在上，且，则成立吗？为什么？‎ ‎（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：‎ 如图2，在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，求的长。‎ A B C D G F A B C D E 图1‎ 图2‎ 第 20 页 共 20 页 1． 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在直线上。‎ ‎（1）若与相交于，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系然后证明你的猜想。‎ ‎（2）在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当时，是什么三角形？‎ A B C D A B C E F D A A B B C C D D M H E F F E G M 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ ‎（3）在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于），此时，变成，同样取的中点，连接、（如图4）。请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明。并说明为何值时，为等边三角形。‎ 第 20 页 共 20 页 1． 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。‎ ‎（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；‎ ‎（2）如图，在中，点、分别在上，设、相交于点，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；‎ A B C D E O ‎（3）在中，如果是不等于的锐角，点、是线段上，。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。‎ 第 20 页 共 20 页 1． 如图1，中，，点、是线段上两动点，且，，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点。‎ 是判断的形状，并加以证明。‎ 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的办法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写三步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。‎ 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。‎ ‎①画出将沿方向平移长，然后顺时针旋转后得图形；‎ ‎②点在线段上，且四边形为等腰梯形（，如图2）。‎ 附加题：如图3，若点、是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断的形状，并说明理由。‎ B B B A A A C C C D D D E E E M M K N M F N 图1‎ 图2‎ 图3‎ 2． 如图a，，请按下列要求准确画图：‎ 第 20 页 共 20 页 ‎①在射线、上分别取点、，使，连接得直角；‎ ‎②在边上取一点，使，在射线上取一点，使，直线、相交于。‎ ‎（1）请用量角器度量的度数为 （精确到）；‎ ‎（2）请用说理的方法求出的度数；‎ ‎（3）若将①中的条件“”改为“”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出的度数吗？‎ B F F B E E 图a 图b A B C D E ‎1‎ ‎2‎ 1． 已知：如图，四边形中，平分，于，且。求证：。‎ 2． 如图，在梯形中，，为中点，连接并延长交的延长线于点。（1）求证：；（2）若，，当为多少时，点在线段 第 20 页 共 20 页 的垂直平分线上，为什么？‎ A B C F E D ‎ ‎ 1． 已知：如图，在梯形中，，，平分，，的延长线交于点E。求证：‎ A B C D E F ‎（1）；‎ ‎（2）。‎