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山东各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题10：四边形
一、 选择题
1. （2012山东滨州3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为【 】
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】 C。
【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1。故选C。
2. （2012山东济南3分）下列命题是真命题的是【 】
A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．四个角是直角的四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形
【答案】D。
【考点】命题与定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定。
【分析】根据矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定义即可作出判断：
A、对角线相等的平形四边形才是矩形，故选项错误；
B、一组邻边相等的平形四边形才是菱形，故选项错误；
C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；
D、正确。故选D。
3. （2012山东莱芜3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90º，BC＝2AD，F、E分别是BA、
BC的中点，则下列结论不正确的是【 】
A．△ABC是等腰三角形 B．四边形EFAM是菱形
C．S△BEF＝S△ACD D．DE平分∠CDF
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【答案】D。
【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理。
【分析】如图，连接AE，由AD∥BC，∠BCD＝90º，BC＝2AD，可得四边形AECD是矩形，∴AC=DE。
∵F、E分别是BA、BC的中点，∴ADBE。∴四边形ABED
是平行四边形。∴AB=DE。
∴AB= AC，即△ABC是等腰三角形。故结论A正确。
∵F、E分别是BA、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC=AB=AF。
∵四边形ABED是平行四边形，∴AF∥ME。
∴四边形EFAM是菱形。故结论B正确。
∵△BEF和△ACD的底BE=AD，△BEF的BE边上高=△ACD的AD边上高的一半，
∴S△BEF＝S△ACD。故结论C正确。
以例说明DE平分∠CDF不正确。如图，若∠B=450，
则易得∠ADE=∠CDE=450。
而∠FDE＜∠ADE=∠CDE。
∴DE平分∠CDF不正确（只有在∠B=600时才成立）。故结论D不正确。故选D。
4. （2012山东聊城3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是【 】
A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：
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A、当DF=BE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
B、当AF=CE时，由平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
C、当CF=AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；
D、当CF∥AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE。
故选C。
5. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【 】
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。
【分析】A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。
C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误。
D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。
故选C。
6. （2012山东日照3分）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F， 若EC=2BE，则 的值是【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】B。
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【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】如图，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，∴。
又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE。
∴。故选B。
7. （2012山东泰安3分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为【 】
A．53° B．37° C．47° D．123°
【答案】B。
【考点】平行四边形的性质，对项角的性质，平行的性质。
【分析】设CE与AD相交于点F。
∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，∴∠EFA=90°﹣53°=37°。∴∠DFC=37
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC。
∴∠BCE=∠DFC=37°。故选B。
8. （2012山东泰安3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为【 】
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
【答案】C。
【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理。
【分析】∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE。
设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x。，
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在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x 2=22+（4－x）2 ，解得x=2.5，即CE的长为2.5。
故选C。
9. （2012山东威海3分）如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是【 】
A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC是∠EAF的平分线
10. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为
（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【 】
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A．4 B．5 C．6 D．不能确定
【答案】B。
【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。
【分析】如图，连接BD，
由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。
又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。故选B。
二、填空题
1. （2012山东德州4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只要填写一种情况）
【答案】AD=BC（答案不唯一）。
【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：
∵AB=CD，∴当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
当AB∥CD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
当∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°时，四边形ABCD是平行四边形。
故此时是中心对称图形。
故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等（答案不唯一）。
2. （2012山东临沂3分）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= ▲ °．
【答案】70。
【考点】菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质。
【分析】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形。∴DB=DE。
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∵∠BDE=70°，∴∠ABD==55°。
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°。
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°。∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°。
三．解答题
1. （2012山东滨州9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
【答案】解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）。理由如下：
连接AF并延长交BC的延长线于点G。
∵AD∥BC，∴∠ADF=∠GCF。
在△ADF和△GCF中，
∠ADF=∠GCF，DF=CF，∠DFA=∠CFG，
∴△ADF≌△GCF（ASA）。∴AF=FG，AD=CG。
又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=BG。
∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。
【分析】连接AF并延长交BC于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。
2. （2012山东东营10分）
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
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（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．
【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。
（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF。
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°。
又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。
∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。
（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。
又∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCD 为正方形。 ∴AG＝BC。
已知∠DCE＝45°，
根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。
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∴10=4+DG，即DG=6。
设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，
在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。
解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。
∴AB=12。
∴。
∴梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。
【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，从而可得GE=BE+GD。
（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。
3. （2012山东济南7分）（1）如图1，在ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，AD=CB ，∠A=∠C ，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）。∴DE=BF；
（2）解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°－40°）=70°，
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又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°。
∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=75°。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质，角平分线的定义，角形的内角和定理。
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，
在加上已知的一对边的相等，由“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得
证。
（2）根据AB=AC，利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知
的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数。
4. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
(1)求证：⊙D与边BC也相切；
(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；
(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝S△MDF时，求动点M经过的
弧长(结果保留)．
【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N。
∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC。
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∵⊙D与边AB相切于点E，∴DE⊥AB。∴DN=DE。
∴⊙D与边BC也相切。
（2）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝2。
又∵∠A＝60º，∴DE＝ADsin600＝3，即⊙D的半径是3。
又∵∠HDF＝∠HADC＝60º，DH＝DF，∴△HDF是等边三角形。
过点H作HG⊥DF，垂足为点G，则HG＝3sin600＝。
∴。
∴。
（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝S△MDF，过点M1作M1P⊥DF，垂足为点P，则，解得。
∴。∴∠M1DF＝30º。
此时动点M经过的弧长为：。
过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，
则满足，
此时∠M2DF＝150º，动点M经过的弧长为：。
综上所述，当S△HDF＝S△MDF时，动点M经过的弧长为或。
【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。
【分析】（1）连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N，则根据菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE，即BC垂直于过⊙D上点N的半径，从而得到⊙D与边BC也相切的结论。
（2）求出△HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。
（3）根据S△HDF＝S△MDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。注意有两点。
5. （2012山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
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(1)求证：⊙D与边BC也相切；
(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；
(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝S△MDF时，求动点M经过的
弧长(结果保留)．
【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N。
∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC。
∵⊙D与边AB相切于点E，∴DE⊥AB。∴DN=DE。
∴⊙D与边BC也相切。
（2）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝2。
又∵∠A＝60º，∴DE＝ADsin600＝3，即⊙D的半径是3。
又∵∠HDF＝∠HADC＝60º，DH＝DF，∴△HDF是等边三角形。
过点H作HG⊥DF，垂足为点G，则HG＝3sin600＝。
∴。
∴。
（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝S△MDF，过点M1作M1P⊥DF，垂足为点P，则，解得。
∴。∴∠M1DF＝30º。
此时动点M经过的弧长为：。
过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，
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则满足，
此时∠M2DF＝150º，动点M经过的弧长为：。
综上所述，当S△HDF＝S△MDF时，动点M经过的弧长为或。
【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。
【分析】（1）连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N，则根据菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE，即BC垂直于过⊙D上点N的半径，从而得到⊙D与边BC也相切的结论。
（2）求出△HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。
（3）根据S△HDF＝S△MDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。注意有两点。
6. （2012山东聊城7分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD。
∴四边形OCED是菱形。
【考点】矩形的性质，菱形的判定。
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。
7. （2012山东临沂7分）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
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【答案】（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。
∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌DEF（SAS）。∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF。
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：连接BE，交CF与点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形。
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=。
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC。
∴，即。∴。
∵FG=CG，∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣。
∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．
【考点】平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形。
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值。
8. （2012山东青岛8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于
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F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。
∵点O是EF的中点，∴OE=OF。
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）。
（2）四边形ABCD是矩形。理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形。
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC。∴平行四边形ABCD是矩形。
【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定。
【分析】（1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角
∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF。
（2）根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。
9. （2012山东日照9分）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）.
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10. （2012山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。
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∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
（2）△ABH∽△ECM。证明如下：
∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。
由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。
（3）作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。
∴∠MER=45°，CR=2MR。
∴MR=ER=。∴EM=。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF。
（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得
△ABH∽△ECM。
（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB： BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM= 即可求得答案。
11. （2012山东威海10分）
（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F
求证：AE=CF。
（2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1
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处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。
求证：EI=FG。
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC。
∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AE=CF。
（2）由（1）得，AE=CF。
∵由折叠性质，得AE=A1E，∴A1E=CF。
∵∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，
∴∠EIA1=∠DIH=1800－∠D－∠DHI=1800－∠B1－∠B1HG=∠B1GH=∠FGC。
在△EIA1和△FGC中，∵∠A1=∠C，∠EIA1 =∠FGC，A1E=CF，
∴△EIA1≌△FGC（AAS）。∴EI=FG。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质， 三角形内角和定理，对顶角的性质。
【分析】（1）要证AE=CF，只要△AOE和△COF全等即可。一方面由平行四边形对边平行的性质和平行线内错角相等的性质，可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；另一方面由平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC。从而根据AAS可证。
（2）要证EI=FG，只要△EIA1和△FGC全等即可。一方面由（1）可得AE=CF；另一方面由折叠的性质、三角形内角和定理和对顶角相等的性质，可得∠A1=∠C，∠EIA1 =∠FGC。从而根据AAS可证。
12. （2012山东潍坊10分）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．
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【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。
又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD。
∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN。∴AE∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。
在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF=90，AD=CB，∠ADE=∠FBC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）。
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分。
∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），
∴AC与BD互相垂直平分。
∴ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）。
∴AB=BC（菱形的邻边相等）。
∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴△ABM≌△CAM。
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。∴△ABC为等边三角形。
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°。
在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=。
又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=。
【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形
【分析】（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出结论。
（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知平行四边形ABCD
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是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tan∠CBF= ，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=。
13. （2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
【答案】解：（1）证明：连接AC。
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。
∴AB＝BC。
（2）证明：过C作CF⊥BE于F。
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。
又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴AE＝BF。
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。
【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。
（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.
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