2012年江苏省各市中考数学分类解析专题9：三角形.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 江苏13市2012年中考数学试题分类解析汇编 专题9：三角形 一、 选择题 ‎1. （2012江苏苏州3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若 ‎∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是【 】‎ A.25° B.30° C.35° D. 40°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】旋转的性质。‎ ‎【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：‎ ‎∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，‎ ‎∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，‎ ‎∴∠AOB′=∠A′OA－∠A′OB=45°－15°=30°。故选B。‎ ‎2. （2012江苏无锡3分）sin45°的值等于【 】‎ ‎　 A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45°=。故选B。‎ ‎3. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎1. （2012江苏常州2分）若∠α=600，则∠α的余角为 ▲ ，cosα的值为 ▲ 。‎ ‎【答案】300，。‎ ‎【考点】余角定义，特殊角的三角函数值。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【分析】根据余角定义，∠α的余角为900－600=300；由特殊角的三角函数值，得cosα=。‎ ‎2. （2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=‎ ‎ ▲ 0。‎ ‎【答案】35。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD=∠CAD；由∠BAC=700，得∠BAD=350。‎ ‎3. （2012江苏南京2分）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为‎2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm ‎（结果精确到‎0.1 cm，参考数据：，，）‎ ‎【答案】2.7。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E。‎ 在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=‎2cm。‎ ‎∴CE=BD=‎2cm。‎ 在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵，∴OE≈‎2.7cm。‎ ‎∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为‎2.7cm。‎ ‎4. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点 D到AB的距离是 ▲ ． ‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】点到直线距离的概念，角平分线的性质。‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则DE即为点D到AB的距离。‎ ‎ ∵AD是∠BAC的平分线，CD=4，‎ ‎ ∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等性质，得DE= CD=4，‎ ‎ 即点D到AB的距离为4。‎ ‎5. （2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这 些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。‎ ‎【分析】如图，连接BE，交CD于点F。‎ ‎∵四边形BCED是正方形，‎ ‎∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。‎ 根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。‎ ‎∴DP：CP=BD：AC=1：3。∴DP=PF=CF= BF。‎ 在Rt△PBF中，。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。‎ ‎6. （2012江苏无锡2分） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=‎8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移‎1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　 ▲ 　cm．‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由∠ACB=90°，AB=8，D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得AD=BD=CD=AB=4。然后由平移的性质得GH∥CD，因此△AGH∽△ADC。 ∴。‎ ‎ 又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移‎1cm得到的， ∴AG=4－1=3。‎ ‎∴，解得GH=3。‎ ‎7. （2012江苏镇江2分）如图，∠1是Rt△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，∠1=1200，则∠2的度数是 ▲ 。‎ ‎【答案】300。‎ ‎【考点】平行线的性质，三角形内角定理。‎ ‎【分析】∵DE∥BC（已知），∴∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。‎ ‎ 又∵∠1=∠A＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和），‎ ‎∴∠1=∠A＋∠2（等量代换）。‎ 又∵∠1=1200（已知），∠A=900（直角的定义），‎ ‎∴1200=900＋∠2（等量代换）。∴∠2=1200－900=300（移项，合并）。‎ 三、解答题 - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，‎ 求证：∠DBC=∠DCB。‎ ‎【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。‎ ‎ 又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。‎ ‎ ∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。‎ ‎2. （2012江苏淮安10分）如图，△ABC中，∠C=900，点D在AC上，已知∠BDC＝450，BD＝，AB＝20，求∠A的度数。‎ ‎【答案】解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD= ，‎ ‎∴BC=BD•sin∠BDC=。‎ ‎∵∠C=90°，AB=20，∴。∴∠A=30°。‎ ‎【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可。‎ ‎3. （2012江苏连云港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为‎16km，一艘货轮从B港口以‎40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 观测点之间的距离AC的长(精确到‎0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)‎ ‎【答案】解：由路程=速度×时间，得BC＝40×＝10。‎ 在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，sin53.2°≈0.8，‎ ‎∴AB＝。‎ 如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，‎ 在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，‎ ‎∴tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH。‎ 又∵BH2＋AH2＝AB2，即BH2＋(2BH)2＝202，∴BH＝4， AH＝8。‎ 在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，即（4）2＋CH2＝102，解得CH＝2。‎ ‎∴AC＝AH－CH＝8－2＝6≈13.4。‎ 答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为‎13.4km。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，得出AB的长，从而得出tan∠BAH＝，求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，从而得出答案。‎ ‎4. （2012江苏南京8分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BEAC，与BD的垂线DE交于点E，‎ ‎（1）求证：△ABC≌△BDE ‎（2）三角形BDE可由三角形ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°。‎ ‎∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°。∴∠A=∠DBE。‎ ‎∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°。‎ 在△ABC和△BDE中，∵ ∠A=∠DBE ，AB=DB ，∠ABC=∠D，‎ ‎∴△ABC≌△BDE（ASA）。 （2）如图，点O就是所求的旋转中心。‎ ‎【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定，作图（旋转变换），线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】（1）利用已知得出∠A=∠DBE，从而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可。‎ ‎（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心也可。‎ ‎5. （2012江苏南通8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛‎100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．‎ ‎【答案】解：∵AB为南北方向，∴如图，△AEP和△BEP均为直角三角形。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在Rt△AEP中，∠APE=90°－60°=30°，AP=100，‎ ‎∴AE=AP=×100=50，EP=100×cos30°=50。‎ 在Rt△BEP中，∠BPE=90°－45°=45°，‎ ‎∴BE=EP=50。‎ ‎∴AB=AE＋BE=50＋50。‎ 答：测量船从A处航行到B处的路程为50＋‎50海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形，将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解。‎ ‎6. （2012江苏苏州8分）如图，已知斜坡AB长‎60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在 斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.（请 将下面2小题的结果都精确到‎0.1米，参考数据）.‎ ‎ ⑴若修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,则平台DE的长最多为 ▲ 米；‎ ‎⑵一座建筑物GH距离坡脚A点‎27米远（即AG=‎27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即 ‎∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？‎ ‎【答案】解：（1）11.0。‎ ‎（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P。‎ 在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，‎ PA=AD•cos30°= 30×。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=PA＋AG=+27。‎ 在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=（+27）×，‎ ‎∴GH=HM＋MG=15+≈45.6。‎ 答：建筑物GH高为‎45.6米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：‎ ‎∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°，‎ 当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长。‎ ‎∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=。‎ ‎∴DE=DF－EF=15（－1）≈11.0。‎ ‎（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD•cos30°，从而得出DM的长，利用 HM=DM•tan30°得出即可。‎ ‎7. （2012江苏宿迁10分）如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图.已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=‎1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF=60°，底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=‎2m，求壁画AB的高度.‎ ‎【答案】解：∵FC=DE=2，BC=1，∴BF=1。‎ ‎ 在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BF=1，∴。‎ ‎ 在Rt△ADF中，∠ADF=60°，，∴。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ∴壁画AB的高度为：AF＋BF=4。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】分别解Rt△BDF和Rt△ADF即可。‎ ‎8. （2012江苏泰州10分）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=‎30 m，点C与点A恰好在同一水平线 上，点A、B、P、C在同一平面内．‎ ‎（1）求居民楼AB的高度；‎ ‎（2）求C、A之间的距离．‎ ‎（精确到‎0.1m，参考数据：,,）‎ ‎【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，‎ 在Rt△CPE中，∵PC=‎30m，∠CPE=45°，‎ ‎∴。‎ ‎∴CE=PC•sin45°=30×（m）。‎ ‎∵点C与点A在同一水平线上，‎ ‎∴AB=CE=≈21.2（m）。‎ 答：居民楼AB的高度约为‎21.2m。‎ ‎（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴。‎ ‎∴（m）。‎ ‎∵PE=CE=m，‎ ‎∴AC=BE=≈33.4（m）。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 答：C、A之间的距离约为‎33.4m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题），锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由 得出EC 的长度，从而可求出答案。‎ ‎（2）在Rt△CPE中，由得出BP的长，从而得出PE的长，即可得出答案。‎ ‎9. （2012江苏徐州8分）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高‎3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高‎3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。小亮的眼睛离地面高度EF=‎1.5m，量得CE=‎2m，EC1=‎6m，C1E1=‎3m。‎ ‎（1）△FDM∽△ ▲ ，△F1D1N∽△ ▲ ；‎ ‎（2）求电线杆AB的高度。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎10. （2012江苏盐城10分）如图所示,当小华站立在镜子前处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为；如果小华向后退‎0.5米到处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为.求小华的眼睛到地面的距离.(结果精确到‎0.1米,参考数据:)‎ ‎【答案】解：设，则在中，∵, ∴。‎ ‎ 又在中，∵。∴。‎ ‎∴。‎ 由对称性知：，，∴，即。‎ 解得。‎ ‎∴小华的眼睛到地面的距离约为。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质。‎ ‎【分析】设，利用等腰直角三角形的性质得出，从而由 ‎ 得出，由对称的性质得，即，求出即可。‎ ‎11. （2012江苏扬州10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE＝DE．‎ ‎【答案】证明：作CF⊥BE，垂足为F， 21世纪教育网 ‎∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°。‎ ‎∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，∠CBE＋∠ABE＝90°，‎ ‎∠BAE＋∠ABE＝90°。‎ ‎∴∠BAE＝∠CBF。∴四边形EFCD为矩形。∴DE＝CF。‎ ‎∵在△BAE和△CBF中，∠CBE＝∠BAE，∠BFC＝∠BEA＝90°，AB＝BC，‎ ‎∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴BE＝CF。‎ 又∵CF＝DE，∴BE＝DE。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。‎ ‎【分析】作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF＝∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE＝CF即可。‎ ‎12. （2012江苏扬州10分）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【答案】解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°。‎ 设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，‎ 在Rt△ABD中，可得BD＝.‎ 又∵BC＝20，∴x＋＝20，解得：x =。‎ ‎∴AC＝ (海里)。‎ 答：A、C之间的距离为‎10.3海里。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题，）锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】构造直角三角形：作AD⊥BC，垂足为D，设CD＝x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，从而可得出BD，结合题意BC＝CD＋BD＝‎20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案。‎ ‎13. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。‎ ‎ ∵E是AB的中点，∴AE=BE。‎ ‎ 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ （2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：‎ ‎ ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，‎ ‎∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。‎ ‎ 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。‎ ‎∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。‎ ‎ （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。‎ ‎14. （2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ ‎（2）设BP=x。‎ ①若，BM=，求x的值；‎ ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，‎ ‎ ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。‎ ‎ ∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，‎ ‎ ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。‎ ‎ 解得x=或x=。‎ ‎ ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。‎ ‎ ∵△ADM≌△APN，∴。‎ ‎∴。‎ 如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。‎ 在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，‎ ‎∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。‎ ‎∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴当x=1时，S的最小值为。‎ ③连接PG，设DE交AP于点O。‎ 若∠BAD=150，‎ ‎∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。‎ ‎∵△APD和△APE都是等边三角形，‎ ‎∴AD=DP=AP=PE=EA。‎ ‎∴四边形ADPE是菱形。‎ ‎∴DO垂直平分AP。‎ ‎∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴∠PGA =900。‎ 设BG=t，‎ 在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。‎ ‎∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。‎ ‎∴当BP=2－2时，∠BAD=150。‎ 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。‎ ‎∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。‎ 设AO=a，则AD=AE=‎2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。‎ 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。‎ ‎∵DH=AD=‎2a，‎ ‎∴GH=DH－DG=‎2a－（－1）a=（3－）a，‎ HE=2DO－DH=‎2‎a－‎2a=2（－1）a。‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴。‎ ‎∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。‎ ‎ （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。‎ ‎ ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，‎ 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。‎ ‎ ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。‎ ‎ 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。‎ - 19 -‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎