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辽宁各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题4：图形的变换
锦元数学工作室 编辑
一、 选择题
1. （2012辽宁鞍山3分）如图，下面是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】根据主视图的定义，找到几何体从正面看所得到的图形即可：从正面可看到从左往右3列小正方形的个数依次为：1，1，1。故选C。
2. （2012辽宁本溪3分）如图所示的几何体的俯视图是【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】根据俯视图是从上面向下看得到的识图解答：
从上向下看，从左向右共3列，左边一列3个正方形，向右依次是一个正方形，且上齐。故选B。
3. （2012辽宁本溪3分）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是【 】
A、 B、 C、 D、
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【答案】C。
【考点】网格问题，利用平移设计图案。
【分析】根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可．
A、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误；
B、是利用图形的旋转和平移得到的，故本选项错误；
C、是利用图形的平移得到的，故本选项正确；
D、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误。
故选C。
4. （2012辽宁朝阳3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体
的俯视图是【 】
A.两个外离的圆 B. 两个相交的圆 C. 两个外切的圆 D. 两个内切的圆
【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从上面看所得到的图形即可：从上面看易得该几何体的俯视图是两个外切的圆。故选C。
5. （2012辽宁大连3分）下列几何体中，主视图是三角形的几何体是【 】
A. B. C. D.
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【答案】C。
【考点】简单几何体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看，主视图是三角形的几何体是圆锥。故选C。
6. （2012辽宁丹东3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是【 】
A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.三棱柱
【答案】B。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥。故选B。
7. （2012辽宁阜新3分）如图的几何体是由5个完全相同的正方体组成的，这个几何体的左视图是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，故选B。
8. （2012辽宁锦州3分）如图，在△ABC中，AB=AC, AB+BC=8.将△ABC折叠，使得点A落在点B处，
折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是【 】
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A. 8 B. 16 C. 4 D. 10
【答案】A。
【考点】折叠问题，折叠对称的性质。
【分析】由折叠对称的性质知，BF=AF。
∴BCF的周长=BC＋CF＋BF= BC＋CF＋AF= BC＋AC=BC＋AB=8。故选A。
9. （2012辽宁沈阳3分）左下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左往右小正方形的个数依次为：2，1。故选D。
10. （2012辽宁铁岭3分）下列图形中，不是中心对称的是【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，所给图形中不是中心对称的是C。故选C。
11. （2012辽宁铁岭3分）
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如图，桌面上是由长方体的茶叶盒与圆柱体的茶叶盒组成的一个立体图形，其
左视图是【 】
【答案】D。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】圆柱体形状的茶叶盒的左视图是圆，长方体的茶叶盒的左视图是矩形，且圆位于矩形的上方。故选D。
12. （2012辽宁铁岭3分）矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为【 】
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理。
【分析】设DF=x，则BF=x，CF=8－x。
在Rt△DFC中，DF2=CF2+DC2，即x2=（8－x）2+42，解得：x=5，即DF的长为5。故选C。
13. （2012辽宁营口3分）如图是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主
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视图是【 】
【答案】D。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得下层有4个正方形，中层有2个正方形，上层有1个正方形。故选D。
二、填空题
1. （2012辽宁本溪3分）如图，用半径为4cm，弧长为6πcm的扇形围成一个圆锥的侧面，则所得圆锥的高为 ▲ _cm。
【答案】。
【考点】圆锥的计算，勾股定理。
【分析】先根据扇形的弧长求得圆锥的底面的半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可
设圆锥的底面半径为r，
∵弧长为6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3cm。
∵扇形的半径为4cm，即圆锥的母线是4cm，
∴圆锥的高为（cm）。
2. （2012辽宁本溪3分）如图，矩形ABCD中，点P 、Q 分别是边AD和BC的中点，沿过C点的直线折叠矩形ABCD使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G，若BC长为3，则线段FG的长为 ▲ 。
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3. （2012辽宁朝阳3分）如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，则线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径是 ▲ 单位长度。
【答案】。
【考点】圆锥的计算，弧长的计算，旋转的性质，勾股定理。
【分析】根据题意得：，∠ACA′=90°。
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∴扇形的弧长为：。
设圆锥的半径为r，则2πr=，解得：r=。
4. （2012辽宁大连3分）如图，矩形ABCD中，AB＝15cm，点E在AD上，且AE＝9cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，则A'C＝ ▲ cm。
5. （2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正
方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 ▲ 个.
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【答案】5。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。
【分析】如图，符合条件的Q点有5个。
当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点；
当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为，到AD的距离为，故在BC，CD，DA边上各有1点；
当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点。
又当Q在BC边上时，由于△BPQ是等边三角形，故3点重合。
因此，符合条件的Q点有5个。
三、解答题
1. （2012辽宁本溪12分）已知，在△ABC中，AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN。
（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，
①如图a，当=45°时，∠ANC的度数为_______；
②如图b，当≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；
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（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明。
【答案】解：（1）①450。
②不变。理由如下
过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。
∵∠BAC =90°，∴∠BAD＋∠EAC=90°。
∵BD⊥AP，∴∠ADB =90°。∴∠ABD＋∠BAD=90°。
∴∠ABD=∠EAC。
又∵AB=AC，∠ADB =∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA（AAS）。
∴AD=EC，BD=AE。
∵BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高，
∴BD=DN，∠BND=45°。
∴BN=BD=AE。∴DN－DE=AE－DE，即NE=AD=EC。
∵∠NEC =90°，∴∠ANC =45°。
（3）∠ANC =90°－∠BAC。
【考点】等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆周角定理。
【分析】（1）①∵BM=BN，∠MBN=90°，∴∠BMN=∠BNM=45°。
又∵∠CAN=45°，∴∠BMN=∠CAN。
又∵AB=AC，AN=AN，∴△BMN≌△CAN（SAS）。∴∠ANC=∠BNM=45°。
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②过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。通过证明△ADB≌△CEA从而证明△CEN是等腰直角三角形即可。
（2）如图，由已知得：
∠θ=1800－2∠ABC－∠1（∵AB=AC）
=1800－∠2－∠6－∠1（∵∠BAC=∠MBN，BM=BN）
=（1800－∠2－∠1）－∠6
=∠3＋∠4＋∠5－∠6（三角形内角和定理）
=∠6＋∠5－∠6=∠5（∠3＋∠4=∠ABC=∠6）。
∴点A、B、N、C四点共圆。
∴∠ANC =∠ABC ==90°－∠BAC。
2. （2012辽宁朝阳10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一动点（不与B、C重合）。连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F。
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论。
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°。
∴∠BAE+∠BEA=90°。
∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°。
∴∠BEA+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。
∴△ABE∽△ECF。
（2）E是中点时，∠BAE=∠EAF。证明如下：
连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，
∵E为BC中点，∴BE=CE。
∵AB∥DH，∴∠B=∠ECH。
∵∠AEB=∠CEH，∴△ABE≌△HCE（AAS）。∴AE=EH。
∵EF⊥AH，∴△AFH是等腰三角形。∴∠EAF=∠H。
∵AB∥DH，∴∠H=∠BAE。∴∠BAE=∠EAF。
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∴当点E在BC中点位置时，∠BAE=∠EAF。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质。
【分析】（1）由正方形的性质和已知条件证明∠BAE=∠FEC即可证明：△ABE∽△ECF；
（2）连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，当点E在BC中点位置时，通过证明三角形
全等和等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明∠BAE=∠EAF。
3. （2012辽宁大连11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点 B时，点P、Q同时停止运动。过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R。设点Q的运动时间 为t(s)，△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2)。
（1）t为何值时，点Q'恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）S能否为cm2？若能，求出此时的t值，若不能，说明理由。
【答案】解：（1）如图，连接QQ'，点Q'恰好落在AB上时，由AC＝8，BC＝6，根据轴对称的性质，得
CQ=CP=t，BQ=6－t，QQ'=2t，QQ'∥CA。
∴△BQQ'∽△BCA，∴，即。
解得，。
∴当时，点Q'恰好落在AB上。
（2）当时，点Q'在△PAR内，△PQ'R与△PAR重叠部分即△PQ'R。
∵PA=8－t，△PAR∽△CAB，∴，即
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。∴。
∴△PQ'R与△PAR重叠部分的面积。
当时，点Q'在△PAR外，如图，△PQ'R与△PAR重叠部分即△RDP。
设AB与PQ'相交于点D，过点D作DH⊥CA于点H。
由CP=CQ，∠C=900得∠QPC=450，
根据轴对称的性质，得∠Q'PA=∠PDH=450。∴DH=PH。
设DH=PH=x，则HA=8－t－x。
∵PH∥BC，∴△DHA∽△BCA，
∴，即。
∴。
∴。
综上所述，S与t的函数关系式为
。
（3）存在。或时，S=。
【考点】动点问题，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】（1）画出图形，根据点Q'恰好落在AB上的特点，利用△BQQ'∽△BCA而得到，求解即可。
（2）分和两种情况讨论即可。
（3）对和两种情况分别讨论：
对，有，整理得，解得。
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∵，∴。
对，有，整理得，解得。
∵，∴。
综上所述，当或时，S=。
4. （2012辽宁丹东12分）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于
点M．
（1）如图1，若AB=AC，AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE
则线段BD与CE的数量关系为 ，∠BMC= （用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）．
【答案】解：（1）如图1。
①BD=CE，理由如下：
∵AD=AE，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。同理可得：∠BAC=180°－2α。∴∠DAE=∠BAC。
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。
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在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。
②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。
（2）如图2，BD=kCE，α。
（3）作图如下：
。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质
【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE。
②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出
∠BMC=∠DAE=180°－2α。
（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=。
同理可得：∠BAC=。
∴∠DAE=∠BAC。
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。
∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。
在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。
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∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=。
（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=：
∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=。
同理可得：∠BAC=。
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。
∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。
在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。
∴∠BDA=∠CEA。
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=+α=。
5. （2012辽宁阜新12分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
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【答案】解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。
②结论：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。
延长BD交AC于F，交CE于H。
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC，
∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。
（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。
【分析】（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。
②BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。
（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。
6. （2012辽宁锦州12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D
不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
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(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：① BD⊥CF. ② CF=BC－CD.
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间
的关系；
(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.
【答案】解：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF 。
② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。
（2）CF=BC+CD。
（3）①CF=CD-BC 。
②△AOC是等腰三角形。理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。则∠ABD=180°-45°=135°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。
∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。
∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC=DF 。
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∵在正方形ADEF中，OA=AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。
【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到
∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。
由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。
（2）同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC＋CD，从而CF=BC＋CD。
（3）①同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD－BC，从而CF= CD－BC。
②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到∠FCD=90°。
由三角形中线的性质得到OC=DF。由正方形ADEF中，OA=AE ，AE=DF，从而得到△AOC是等腰三角形。
7. （2012辽宁铁岭12分）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？ （填“是”或“否”），∠BOE= 度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【答案】解：（1）①是； 120。
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②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE。
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ。
∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴∠ADB=∠AEC。
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°。
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠DAE+∠BOE=180°。
又∵∠DAE=60°，∴∠BOE=120°。
（2）当0°＜θ≤30°时，∠BOE =30°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=120°。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。
【分析】（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，
在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∵θ=20°，∴∠ABD=∠AEC=（180°﹣20°）=80°。
又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°﹣80°﹣80°﹣80°=120°。
②利用“SAS”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解。
（2）如图，∵AB=AB′，AC=AC′，∴。∴B′C′∥BC。
∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形。
根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴∠ABD=∠ACE。
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE）
=180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD）=180°﹣（∠ACB+∠ABC）
=180°﹣（60°+60°）=60°。
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当0°＜θ≤30°时，∠BOE=∠BOC=30°，
当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°。
8. （2012辽宁营口14分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动
点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．
(1) 如图1，求证：AE=DF；
(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
(3) 如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G．
① 直接写出线段AE长度的取值范围；
② 判断△GEF的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。
∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。
（2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下：
过点G作GH⊥AD于H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=2。
∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。
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∴∠AME＋∠GMH=90°。
∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。
又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。
∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。
由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。
又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。
∴△GEF是等腰直角三角形。
（3）①＜AE≤。
②△GEF是等边三角形。理由如下：
过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=2。
∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。
∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。
又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴。
在Rt△GME中，∴tan∠MEG=。∴∠MEG=600。
由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。
又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。
【考点】矩形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等边三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】（1）根据已知和矩形的性质由ASA得出△AEM≌△DFM，即可得到AE=DF。
（2）△GEF是等腰直角三角形。过点G作GH⊥AD于H，由AAS证明△AEM≌△HMG得到
ME=MG，从而∠EGM=45°。由（1）△AEM≌△DFM得ME=MF。由MG⊥EF得到GE=GF。从而证得
∠EGF=2∠EGM =90°。因此△GEF是等腰直角三角形。
另解：①过点M作MH⊥BC于H，得到△AEM≌△HGM。
② 过点G作GH⊥AD于H，证出△MGH≌△FMD，证出CF=BG，CG=BE，证
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出
△BEG≌△CGF。从而△GEF是等腰直角三角形。（若E与B重合时，则G与C重合，△GEF就是△CBF，易知△CBF是等腰直角三角形）。
（3）①如图，当点G与点C重合时， 由AD=4，M是AD的中点得MD=2；由AB=得DC=。
∴tan∠DMC=。
∴∠DMC=600。∴∠AME=300。
∴。
当点E与点B重合时，。
∴线段AE长度的取值范围为＜AE≤。
②△GEF是等边三角形。过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，则一方面由证明△AEM∽△HMG可得。在Rt△GME中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得∠MEG=600。另一方面由（1）△AEM≌△DFM得ME=MF，又由MG⊥EF根据线段垂直平分线的性质得GE=GF。从而得出△GEF是等边三角形。
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