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复习课(二) 直线与圆
两直线的位置关系
两直线的位置关系是常考热点．主要以选择、填空题形式考查，多涉及求参数与直线方程求法，难度中档以下．
1．求直线斜率的基本方法
(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝.
2．判断两直线平行的方法
(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2.
(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l1∥l2.
3．判断两直线垂直的方法
(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2.
(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2.
[典例] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
[解] (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)－b＝0，①
又l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.②
解①②组成的方程组得
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝－(－b)．④
由③④联立，解得或
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经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为
或
[类题通法]
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0
(1)对于l1∥l2的问题，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去．
(2)对于l1⊥l2的问题，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可．
1．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1
解析：选C ∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1.
2．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为( )
A．－3 B．－
C．2 D．3
解析：选D 由2a－6＝0得a＝3.故选D.
3．已知直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为( )
A. B.或0
C．0 D．－2
解析：选A 当a＝0时，两直线的方程化为x＝1和x＝1，显然重合，不符合题意；当a≠0时，＝，解得a＝.故选A.
直线方程
直线方程的求法一直是考查重点，多以解答题形式考查，常涉及距离、平行、垂直等知识，有时与对称问题相结合，难度中档以上．
1．直线方程的五种形式
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
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点斜式
一般
情况
y－y0＝k(x－x0)
(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率
直线不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
直线不垂直于x轴
两点
式
一般
情况
＝
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点
直线不垂直于x轴和y轴
截距式
＋＝1
a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距
直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax＋By＋C＝0
A，B不同时为0
A，B，C为系数
任何情况
2．常见的直线系方程
(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.
[典例] 过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
[解] 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，
∴B(3,0)，C(3,6)．
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，
显然k≠0且k≠2.
令y＝0，得x＝3＋，
∴B，
由得点C的横坐标xC＝.
∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，
∴＝2，
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∴－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
[类题通法]
求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．
1．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．
设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d1＝，d2＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
2．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
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化简得7x＋y＋22＝0.
圆的方程
主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．
求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：
①过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C2；
②过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ为参数，λ∈R)．
[典例] 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的方程．
[解] (1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．
又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，
即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，
则△ABC是等腰三角形，
所以AD⊥BC.
因为直线BC的斜率kBC＝2，
所以直线AD的斜率kAD＝－，
由直线的点斜式方程，得y－0＝－(x＋3)，
所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.
(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
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将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得解得
所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.
[类题通法]
利用待定系数法求圆的方程
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．
1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得解得
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
解：联立两圆的方程得方程组
相减得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.
再由解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为 ＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
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直线与圆的位置关系
多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查．
在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法．
1．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ
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