《直线与圆》精要复习2(附答案和解析)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com ‎   复习课(二) 直线与圆 两直线的位置关系 两直线的位置关系是常考热点.主要以选择、填空题形式考查,多涉及求参数与直线方程求法,难度中档以下.‎ ‎1.求直线斜率的基本方法 ‎(1)定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tan α.‎ ‎(2)公式法:已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,则斜率k=.‎ ‎2.判断两直线平行的方法 ‎(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在,且分别为k1,k2,则k1=k2⇔l1∥l2.‎ ‎(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在,其倾斜角都为90°,则l1∥l2.‎ ‎3.判断两直线垂直的方法 ‎(1)若直线l1与l2的斜率都存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-1⇔l1⊥l2.‎ ‎(2)已知直线l1与l2,若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则l1⊥l2.‎ ‎[典例] 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.‎ ‎(1)l1⊥l2且l1过点(-3,-1);‎ ‎(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.‎ ‎[解] (1)∵l1⊥l2,‎ ‎∴a(a-1)-b=0,①‎ 又l1过点(-3,-1),‎ ‎∴-3a+b+4=0.②‎ 解①②组成的方程组得 ‎(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,‎ ‎∴直线l1的斜率存在.‎ ‎∴k1=k2,即=1-a.③‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,l1∥l2,‎ ‎∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,‎ 即=-(-b).④‎ 由③④联立,解得或 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 经检验此时的l1与l2不重合,故所求值为 或 ‎[类题通法]‎ 已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0‎ ‎(1)对于l1∥l2的问题,先由A1B2-A2B1=0解出其中的字母值,然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合,若重合,舍去.‎ ‎(2)对于l1⊥l2的问题,由A1A2+B1B2=0解出字母的值即可.‎ ‎1.经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是(  )‎ A.m<1         B.m>-1‎ C.-1<m<1 D.m>1或m<-1‎ 解析:选C ∵直线l的倾斜角为锐角,‎ ‎∴斜率k=>0,∴-1<m<1.‎ ‎2.直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为(  )‎ A.-3 B.- C.2 D.3‎ 解析:选D 由2a-6=0得a=3.故选D.‎ ‎3.已知直线x+2ay-1=0与直线(a-1)x+ay+1=0平行,则a的值为(  )‎ A. B.或0‎ C.0 D.-2‎ 解析:选A 当a=0时,两直线的方程化为x=1和x=1,显然重合,不符合题意;当a≠0时,=,解得a=.故选A.‎ 直线方程 直线方程的求法一直是考查重点,多以解答题形式考查,常涉及距离、平行、垂直等知识,有时与对称问题相结合,难度中档以上.‎ ‎1.直线方程的五种形式 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点斜式 一般 情况 y-y0=k(x-x0)‎ ‎(x0,y0)是直线上的一个定点,k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点 式 一般 情况 = ‎(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 +=1‎ a,b分别是直线在x轴,y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点 一般式 Ax+By+C=0‎ A,B不同时为0‎ A,B,C为系数 任何情况 ‎2.常见的直线系方程 ‎(1)经过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是待定系数.在这个方程中,无论λ取什么实数,都不能得到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线l2.‎ ‎(2)平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C).‎ ‎(3)垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0.‎ ‎[典例] 过点A(3,-1)作直线l交x轴于点B,交直线l1:y=2x于点C,若|BC|=2|AB|,求直线l的方程.‎ ‎[解] 当直线l的斜率不存在时,直线l:x=3,‎ ‎∴B(3,0),C(3,6).‎ 此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|,‎ ‎∴直线l的斜率存在.‎ 设直线l的方程为y+1=k(x-3),‎ 显然k≠0且k≠2.‎ 令y=0,得x=3+,‎ ‎∴B,‎ 由得点C的横坐标xC=.‎ ‎∵|BC|=2|AB|,∴|xB-xC|=2|xA-xB|,‎ ‎∴=2,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴--3=或--3=-,‎ 解得k=-或k=.‎ ‎∴所求直线l的方程为3x+2y-7=0或x-4y-7=0.‎ ‎[类题通法]‎ 求直线方程时,要根据给定条件,选择恰当的方程,常用以下两种方法求解:(1)直接法:直接选取适当的直线方程的形式,写出结果;(2)待定系数法:先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一个条件求出待定系数,从而求得方程.‎ ‎1.已知直线l1:3x-2y-1=0和l2:3x-2y-13=0,直线l与l1,l2的距离分别是d1,d2,若d1∶d2=2∶1,求直线l的方程.‎ 解:由直线l1,l2的方程知l1∥l2,又由题意知,直线l与l1,l2均平行(否则d1=0或d2=0,不符合题意).‎ 设直线l:3x-2y+m=0(m≠-1且m≠-13),由两平行直线间的距离公式,得d1=,d2=,又d1∶d2=2∶1,所以|m+1|=2|m+13|,解得m=-25或m=-9.‎ 故所求直线l的方程为3x-2y-25=0或3x-2y-9=0.‎ ‎2.已知直线l:3x-y+3=0,求:‎ ‎(1)点P(4,5)关于l的对称点;‎ ‎(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.‎ 解:设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′). ‎ ‎∵kPP′·kl=-1,即×3=-1.①‎ 又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,‎ ‎∴3×-+3=0.②‎ 由①②得 ‎(1)把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,‎ ‎∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).‎ ‎(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为--2=0,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 化简得7x+y+22=0.‎ 圆的方程 主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法,或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值.也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用.‎ 求圆的方程的主要方法是待定系数法,确定圆的方程需要三个独立的条件,求解时要注意结合图形,观察几何特征,简化运算.‎ ‎(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2‎ ‎(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0‎ ‎(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点,求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解:‎ ‎①过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数,λ≠-1),该方程不包括圆C2;‎ ‎②过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数,λ∈R).‎ ‎[典例] 在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),经过这三个点的圆记为M.‎ ‎(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程;‎ ‎(2)求圆M的方程.‎ ‎[解] (1)法一:由B(2,0),C(0,-4),知BC的中点D的坐标为(1,-2).‎ 又A(-3,0),所以直线AD的方程为=,‎ 即中线AD所在直线的一般式方程为x+2y+3=0.‎ 法二:由题意,得|AB|=|AC|=5,‎ 则△ABC是等腰三角形,‎ 所以AD⊥BC.‎ 因为直线BC的斜率kBC=2,‎ 所以直线AD的斜率kAD=-,‎ 由直线的点斜式方程,得y-0=-(x+3),‎ 所以直线AD的一般式方程为x+2y+3=0.‎ ‎(2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将A(-3,0),B(2,0),C(0,-4)三点的坐标分别代入方程,得解得 所以圆M的方程是x2+y2+x+y-6=0.‎ ‎[类题通法]‎ 利用待定系数法求圆的方程 ‎(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.‎ ‎(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,可选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,从而求出D,E,F的值.‎ ‎1.以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(  )‎ A.(x+1)2+(y+1)2=2‎ B.(x-1)2+(y-1)2=2‎ C.(x+1)2+(y+1)2=8‎ D.(x-1)2+(y-1)2=8‎ 解析:选B 直径的两端点分别为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.‎ ‎2.已知圆C经过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y-3=0上,求圆C的方程.‎ 解:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.‎ 由题意,得解得 所以圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.‎ ‎3.求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程.‎ 解:联立两圆的方程得方程组 相减得公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0.‎ 再由解得两圆交点坐标为(-1,2),(5,-6).‎ ‎∵所求圆以公共弦为直径,∴圆心C是公共弦的中点(2,-2),半径长为 =5.‎ ‎∴圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 直线与圆的位置关系 多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法,涉及直线与圆有关的基本问题,对于直线中内容很少单独考查.‎ 在解决直线与圆的问题时,充分发挥数形结合思想的运用,尤其是涉及弦长问题,多用几何法.‎ ‎1.直线与圆位置关系的判断方法 ‎(1)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径长为r.若dr,则直线和圆相离.‎ ‎(2)代数法:联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,其判别式为Δ.Δ=0⇔直线与圆相切;Δ>0⇔直线与圆相交;Δ

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