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安徽省蚌埠市2018届九年级数学上学期期中试题
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1. 下列函数中是二次函数的是 （ ）
A. y=3x-1 B. y=x3-2x-3 C. y=（x+1）2-x2 D. y=3x2-1
2. 已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC =15m，CD =30m，则河的宽度AB长为 （ ）
A. 90m B. 60m
C. 45m D. 30m
4. 若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为 （ ）
A. y =5（x-2）2+1
B. y =5（x+2）2+1
C. y =5（x-2）2-1
D. y =5（x+2）2-1
5. 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是 （ ）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
6. 已知点A（-1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则下列y1、y2、y3的大小关系为 （ ）
A. y1＜y2＜y3
B. y1＞y3＞y2
C. y1＞y2＞y3
D. y2＞y3＞y1
7. 如图，在△ABC中，∠A = 78°，AB = 4，AC = 6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 （ ）
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1. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下树高是 （ ）
A. 3.25m
B. 4.25m
C. 4.45m
D. 4.75m
第8题图 第9题图
2. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y =在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是 （ ）
A. 1 ≤ k ≤ 4
B. 2 ≤ k ≤ 8
C. 2 ≤ k ≤ 16
D. 8 ≤ k ≤ 16
3. 定义：若点P（a，b）在函数y =的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y = ax2+bx称为函数y =的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y =的图象上，则函数y =称为函数y =的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数y =的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y =的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是 （ ）
A. 命题（1）与命题（2）都是真命题
B. 命题（1）与命题（2）都是假命题
C. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
D. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
4. 若，，则 = __________．
5. 如图，直线y = -2 x + 2与x轴y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，
曲线y =在第一象限经过点D．则k = __________．
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第12题图 第14题图
1. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，
当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
2. 如图是二次函数y = ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线
x = -1，给出以下结论：
① abc＜0 ② b2-4ac＞0 ③ 4b+c＜0
④ 若B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2
⑤ 当-3 ≤ x ≤ 1时，y ≥ 0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15(8分)已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．
16(8分)已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．
(1)求证：BC = CE；
(2)求证：
17(8分)如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB．
18(8分)如图，已知一次函数的图象y = kx+b与反比例函数y =的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是 -2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
19(10分)某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40
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元，为了增加盈利并减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？
20(10分)已知：如图，二次函数y = x2+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）这条抛物线在x轴的下方的图象上有一点B，使△AOB的面积等于3，求点B的坐标．
21(12分)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y =（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
22(12分)定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．
（1）证明：AB2=AA1•AC；
（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）
（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交BC于B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An-1An．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）
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23(14分)如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．
（1） 证明：AB•CD=PB•PD．
（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
（3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．
2017-2018学年度第一学期期中考试试卷
初三数学答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C 9. C 10. D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 12. 3 13. 14. ②③⑤
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15.（8分） 解：设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，
把（0，-4）代入得：-4=9a-1，即a=-，则抛物线解析式为y=-（x-3）2-1．
16. （8分）
证明：(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．故△BCE是等腰三角形，BC=CE．
(2)∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得=，又∵BC=CE，∴=．
17. （8分）
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证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠ACP=∠PDB=120°．∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°．∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠B=60°．∴∠A=∠DPB．∴△ACP∽△PDB．
18. （8分）
解：（1）令反比例函数y=-中x=-2，则y=4，
∴点A的坐标为（-2，4）；
反比例函数y=-中y=-2，则-2=-，解得：x=4，∴点B的坐标为（4，-2）．
∵一次函数过A、B两点，∴，解得：， ∴一次函数的解析式为y=-x+2．
（2）设直线AB与y轴交于C，令为y=-x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），∴S△AOB=OC•（xB-xA）=×2×[4-（-2）]=6．
（3）观察函数图象发现：
当x＜-2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围为x＜-2或0＜x＜4．
19. （10分） 解：设每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，则
y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，
由， 解得：0≤x＜40，
故当x=15时，y最大=1250，
答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．
20. （10分）
解：（1）如图，∵二次函数y=x2+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于原点，
∴k+1=0，
解得，k=-1， 故该二次函数的解析式是：y=x2-3x．
（2）∵点B在X轴的下方，设B（x，y）（y＜0）．
令x2-3x=0，即（x-3）x=0，解得x=3或x=0， 则点A（3，0），故OA=3．
∵△AOB的面积等于3．∴OA•|y|=3，即×3|y|=3， 解得y=-2．
又∵点B在二次函数图象上，∴-2=x2-3x，解得x=2或x=1 故点B的坐标是（2，-2
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）、（1，-2）．
21. （12分）
解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC=2， ∵点D为BC的中点，
∴CD=1， ∴点D的坐标为（1，3），
代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3； ∴反比例函数的表达式y=，
∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上， ∴y=，∴点E的坐标为（2，）；
（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD=1，BE=，BC=2 ∵△FBC∽△DEB， ∴．
即：， ∴FC=， ∴点F的坐标为（0，），
22. （12分）
（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，
∵BA1平分∠ABC， ∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，
又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△AA1B， ∴=，即AB2=AA1•AC；
（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，
理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1， ∴AB2=AA1，
又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°， ∴A1B=A1C， ∴AB=A1C，
∴AA1=AC-A1C=AC-AB=1-AB， ∴AB2=1-AB，设AB=x，即x2=1-x，
∴x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，
又∵AC=1， ∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；
（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC-A1C=AC-AB=a-AB=a-a=a，
同理可得：A1A2=A1C-A1B1=AC-AA1-A1B1
=a-a-A1C
=a-a-[a-a] =（）3a． 故An-1An=a．
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23. （14分）
（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°，∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=PB•PD；
（2）AB•CD=PB•PD仍然成立．
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠CDP=90°，∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，∴∠APB+∠CPD=90°，∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=PB•PD；
（3）设抛物线解析式为（a≠0），
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），
∴， 把（0，-3）带入
得 y=x2-2x-3，
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点P的坐标为（1，-4），
解法一：过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，
则AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根据（2）的结论，AO•AC=OD•PC，∴1×2=OD•4，解得OD=，
∴点D的坐标为（0，），设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，所以，y=x+， 联立，
解得，（为点A坐标，舍去），所以，点Q的坐标为（，）．
解法二：过点P作PC⊥x轴于C，过点Q向x轴作垂线，垂足为E.
设QE=m，由第(2)题结论得AE=2m，则Q点坐标为（2m -1，m）带入y=x2-2x-3，
解得m=或m=0（舍去），把y=带入y=x2-2x-3，解得x=或x=（舍去）
∴点Q的坐标为（，）
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