2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：2.3.3　直线与平面垂直的性质 Word版含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第二章 2.3 ‎‎2.3.3‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是 (　C　)‎ A．平行　　 B．异面　　 C．垂直　　 D．不相交 ‎[解析]　∵α∥β，b⊥β，∴b⊥α.‎ 又∵a∥α，∴b⊥a.‎ ‎2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.(　C　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎[解析]　∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C．‎ ‎3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　C　)‎ A．PA＝PB＞PC B．PA＝PB＜PC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PA≠PC ‎[解析]　∵PM⊥平面ABC，MC⊂平面ABC，‎ ‎∴PM⊥MC，PM⊥AB.‎ 又∵M为AB中点，∠ACB＝90°，‎ ‎∴MA＝MB＝MC.∴PA＝PA＝PC.‎ ‎4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　B　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．EF⊥平面α　　 B．EF⊥平面β C．PQ⊥GE　　 D．PQ⊥FH ‎[解析]　因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．‎ ‎5．下列命题正确的是(　A　)‎ ‎①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α.‎ A．①②　　 B．①②③　　 C．②③④　　 D．①②④‎ ‎[解析]　由性质定理可得(1)(2)正确．‎ ‎6．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　A　)‎ A．线段B‎1C B．线段BC1‎ C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B‎1C1中点连成的线段 ‎[解析]　∵DD1⊥平面ABCD，‎ ‎∴D1D⊥AC，‎ 又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，‎ ‎∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B‎1C.‎ 又∵B‎1C∩AC＝C，‎ ‎∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB‎1C.‎ 又P∈平面BB‎1C1C，∴P点轨迹为平面AB‎1C与平面BB‎1C1C的交线B‎1C.故选A．‎ 二、填空题 ‎7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为__4__. ‎[解析]　如图，设AB的中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，‎ 四边形AA1B1B为直角梯形，‎ AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，‎ ‎∴MM1＝4.‎ ‎8．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是____. ‎[解析]　如图，‎ 由已知得PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，‎ ‎∴PA⊥平面PBC.‎ 又PB⊥PC，PB＝PC，BC＝2，‎ ‎∴PB＝PC＝.‎ ‎∴VP－ABC＝VA－PBC＝PA·S△PBC＝××××＝.‎ 三、解答题 ‎9．如图，四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝. 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 证明：A‎1C⊥平面BB1D1D.‎ ‎[解析]　∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.‎ 又底面ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A‎1C.‎ 又OA1是AC的中垂线，‎ ‎∴A‎1A＝A‎1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A‎1C2，‎ ‎∴△AA‎1C是直角三角形，∴AA1⊥A‎1C.‎ 又BB1∥AA1，∴A‎1C⊥BB1，∴A‎1C⊥平面BB1D1D.‎ ‎10.如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC. ‎(1)求证：D‎1C⊥AC1；‎ ‎(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．‎ ‎[解析]　(1)连接C1D.‎ ‎∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D‎1C.‎ ‎∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，‎ ‎∴AD⊥平面DCC1D1，D‎1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D‎1C.又AD∩DC1＝D，∴D‎1C⊥平面ADC1.‎ 又AC1⊂平面ADC1，∴D‎1C⊥AC1.‎ ‎(2)如图，连接AD1、AE、D1E，‎ 设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.‎ ‎∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，‎ 要使D1E∥平面A1BD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，‎ ‎∴N是AE的中点．‎ 又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.‎ 即E是DC的中点．‎ 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　C　)‎ A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 ‎2．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是(　D　)‎ A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1‎ C．AH的延长线经过点C1‎ D．直线AH和BB1所成角为45°‎ ‎[解析]　A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；‎ 易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；‎ 连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，‎ ‎∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，‎ ‎∴A、H、C1三点共线，∴C正确，利用排除法选D．‎ ‎3．如图所示，PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC.其中正确的个数为(　C　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．1　　 B．‎2 ‎C．3　　 D．4‎ ‎[解析]　∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC.∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF，∴③正确．又AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，∴①正确．又AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，∴②正确．若AE⊥BC，则由AE⊥PB，得AE⊥平面PBC，此时E、F重合，与已知矛盾，∴④错误．故选C．‎ 二、填空题 ‎4．已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的体积为__π__. ‎[解析]　如图所示 取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，‎ ‎∴BC⊥PC.∴OA＝PB，OC＝PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O为外接球的球心．‎ 又PA＝2，AC＝BC＝1，‎ ‎∴AB＝，PB＝，‎ ‎∴外接球的半径R＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴V球＝πR3＝×()3＝π.‎ ‎5．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为‎2 cm、‎3 cm、‎4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为__‎3 cm__. ‎[解析]　如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，‎ ‎△ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，‎ 又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，‎ 则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CG︰GE＝2︰1，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.‎ C级　能力拔高 ‎1．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B‎1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA‎1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎[解析]　(1)由题意知，E为B‎1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA‎1C1C，AC⊂平面AA‎1C1C，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以DE∥平面AA‎1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，‎ BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1，‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B‎1C⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B‎1C.‎ 因为AC，B‎1C⊂平面B‎1AC，AC∩B‎1C＝C，所以BC1⊥平面B‎1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B‎1AC，所以BC1⊥AB1.‎ ‎2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点. ‎(1)证明：BD⊥平面APC；‎ ‎(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；‎ ‎(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．‎ ‎[解析]　(1)设点O为AC、BD的交点．‎ 由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分线段AC.‎ 所以O为AC的中点，BD⊥AC.‎ 又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD.‎ 又PA∩AC＝A，‎ 所以BD⊥平面APC.‎ ‎(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角．‎ 由题意得OG＝PA＝.‎ 在△ABC中，‎ 因为AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以∠ABO＝∠ABC＝60°，‎ 所以AO＝OC＝AB·sin60°＝.‎ 在Rt△OCD中，OD＝＝2.‎ 在Rt△OGD中，tan∠OGD＝＝.‎ 所以DG与平面APC所成角的正切值为.‎ ‎(3)因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.‎ 在Rt△PAC中，PC＝＝.‎ 所以GC＝＝.‎ 从而PG＝，‎ 所以＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费